Номер 2.209, страница 84 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Отношения, пропорции, проценты. Дополнения к главе 2. Занимательные задачи - номер 2.209, страница 84.

Условие.

ИССЛЕДУЕМ

2.209. Две фигуры называют равновеликими, если их площади равны.

а) Постройте прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см. Постройте два прямоугольника, равновеликие с построенным.

б) Какие стороны может иметь прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 8 см?

в) Какой наибольший периметр имеет прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 10 см?

Стороны прямоугольников выражаются натуральными числами.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

В задаче используется понятие равновеликих фигур. Две фигуры называются равновеликими, если их площади равны. Также дано условие, что стороны всех прямоугольников выражаются натуральными числами.

а) Постройте прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см. Постройте два прямоугольника, равновеликие с построенным.

Сначала найдем площадь исходного прямоугольника. Пусть его стороны равны $a = 6$ см и $b = 4$ см. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$.

$S = 6 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

Равновеликие прямоугольники — это прямоугольники с такой же площадью. Нам нужно найти два других прямоугольника, площадь которых также равна 24 см², а стороны выражены натуральными числами. Для этого найдем все пары натуральных чисел, произведение которых равно 24. Пары множителей для числа 24: (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6). Пара (4, 6) соответствует исходному прямоугольнику, поэтому мы должны выбрать две другие пары. Например, можно построить:

1. Прямоугольник со сторонами 1 см и 24 см. Его площадь: $1 \text{ см} \times 24 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

2. Прямоугольник со сторонами 2 см и 12 см. Его площадь: $2 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

Ответ: Можно построить прямоугольники со сторонами 1 см и 24 см, а также 2 см и 12 см (или 3 см и 8 см).

б) Какие стороны может иметь прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 8 см?

Найдем площадь квадрата со стороной 8 см. Пусть сторона квадрата $a_{кв} = 8$ см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{кв} = a_{кв}^2$.

$S_{кв} = (8 \text{ см})^2 = 64 \text{ см}^2$.

Прямоугольник, равновеликий этому квадрату, должен иметь площадь 64 см². Пусть стороны этого прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. Тогда их произведение должно быть равно 64: $a \times b = 64$. Найдем все пары натуральных делителей числа 64: $1 \times 64 = 64$; $2 \times 32 = 64$; $4 \times 16 = 64$; $8 \times 8 = 64$.

Следовательно, стороны такого прямоугольника могут быть:

- 1 см и 64 см

- 2 см и 32 см

- 4 см и 16 см

- 8 см и 8 см (этот прямоугольник также является квадратом)

Ответ: Прямоугольник может иметь стороны 1 см и 64 см, 2 см и 32 см, 4 см и 16 см, или 8 см и 8 см.

в) Какой наибольший периметр имеет прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 10 см?

Найдем площадь квадрата со стороной 10 см. Пусть сторона квадрата $a_{кв} = 10$ см. Его площадь:

$S_{кв} = (10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2$.

Прямоугольник, равновеликий этому квадрату, должен иметь площадь 100 см². Пусть его стороны равны $a$ и $b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. Тогда $a \times b = 100$. Возможные пары сторон $(a, b)$: (1, 100), (2, 50), (4, 25), (5, 20), (10, 10). Теперь вычислим периметр для каждой пары сторон. Периметр $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Для сторон (1, 100): $P = 2(1 + 100) = 2 \times 101 = 202$ см.

Для сторон (2, 50): $P = 2(2 + 50) = 2 \times 52 = 104$ см.

Для сторон (4, 25): $P = 2(4 + 25) = 2 \times 29 = 58$ см.

Для сторон (5, 20): $P = 2(5 + 20) = 2 \times 25 = 50$ см.

Для сторон (10, 10): $P = 2(10 + 10) = 2 \times 20 = 40$ см.

Сравнивая полученные значения периметров, видим, что наибольший периметр равен 202 см. Это соответствует прямоугольнику со сторонами 1 см и 100 см. Вообще, для фиксированной площади прямоугольник имеет наибольший периметр, когда его стороны максимально отличаются друг от друга.

Ответ: 202 см.