Номер 2.208, страница 83 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Отношения, пропорции, проценты. Дополнения к главе 2. Занимательные задачи - номер 2.208, страница 83.

Условие.

Доказываем

2.208. Две равные фигуры наложили друг на друга (рис. 41). Докажите, что площади закрашенных фигур равны. Рис. 41

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Обозначим две равные фигуры как Фигура 1 (синяя) и Фигура 2 (коричневая). Пусть их площади равны $S_{Ф1}$ и $S_{Ф2}$ соответственно.

По условию задачи, фигуры равны. Основное свойство равных фигур заключается в том, что их площади равны. Следовательно:

$S_{Ф1} = S_{Ф2}$

При наложении фигур друг на друга образуются три области. Обозначим их площади:

$S_{синяя}$ — площадь закрашенной синей части (часть Фигуры 1, которая не пересекается с Фигурой 2).

$S_{коричневая}$ — площадь закрашенной коричневой части (часть Фигуры 2, которая не пересекается с Фигурой 1).

$S_{общая}$ — площадь их общей части (незакрашенная область пересечения).

Площадь каждой из исходных фигур можно представить как сумму площадей ее составляющих частей:

Площадь Фигуры 1: $S_{Ф1} = S_{синяя} + S_{общая}$

Площадь Фигуры 2: $S_{Ф2} = S_{коричневая} + S_{общая}$

Так как мы знаем, что $S_{Ф1} = S_{Ф2}$, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$S_{синяя} + S_{общая} = S_{коричневая} + S_{общая}$

Теперь вычтем из обеих частей этого равенства площадь общей части $S_{общая}$:

$S_{синяя} + S_{общая} - S_{общая} = S_{коричневая} + S_{общая} - S_{общая}$

В результате получаем:

$S_{синяя} = S_{коричневая}$

Таким образом, мы доказали, что площади закрашенных фигур равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Площади закрашенных фигур равны. Это следует из того, что площадь каждой закрашенной фигуры равна разности площади соответствующей ей исходной фигуры и площади их общей части. Поскольку по условию площади исходных фигур равны, то и площади их незакрашенных частей (остатков) также будут равны.