Страница 83 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.201. У хозяйки спросили: «Хорошо ли несутся ваши куры?» — «Считайте сами, — был ответ, — полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца, а всего у меня 12 кур». Сколько яиц несут куры в день?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить, сколько яиц несет одна курица за один день (её производительность), а затем умножить это значение на общее количество кур.

1. Найдем производительность одной курицы.

Из условия мы знаем, что $1,5$ курицы за $1,5$ дня несут $1,5$ яйца.
Сначала выясним, сколько яиц несут $1,5$ курицы за один день. для этого разделим количество яиц на количество дней:

$ \frac{1,5 \text{ яйца}}{1,5 \text{ дня}} = 1 \text{ яйцо в день} $

Итак, $1,5$ курицы несут $1$ яйцо в день.
Теперь найдем, сколько яиц в день несет одна курица. для этого разделим количество яиц, которое несут в день, на количество кур:

$ \frac{1 \text{ яйцо}}{1,5 \text{ курицы}} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3} \text{ яйца} $

Таким образом, производительность одной курицы составляет $ \frac{2}{3} $ яйца в день.

2. Рассчитаем, сколько яиц несут 12 кур в день.

Теперь, зная производительность одной курицы, мы можем найти, сколько яиц снесут все 12 кур за один день. для этого умножим количество кур на производительность одной курицы:

$ 12 \text{ кур} \times \frac{2}{3} \frac{\text{яйца}}{\text{курица} \cdot \text{день}} = \frac{12 \times 2}{3} = \frac{24}{3} = 8 \text{ яиц} $

Следовательно, 12 кур за один день снесут 8 яиц.

Ответ: 8

2.202. Зарплата в 100 условных единиц повысилась на 10 %, потом ещё на 10 %. На сколько процентов повысилась зарплата за 2 раза?

Чтобы найти общее процентное изменение, необходимо последовательно рассчитать размер зарплаты после каждого повышения.

1. Первое повышение
Начальная зарплата составляет 100 условных единиц. Первое повышение составляет 10%.
Найдем новую зарплату: $100 + 100 \cdot \frac{10}{100} = 100 + 10 = 110$ условных единиц.

2. Второе повышение
Второе повышение на 10% рассчитывается уже от новой суммы в 110 условных единиц.
Найдем итоговую зарплату: $110 + 110 \cdot \frac{10}{100} = 110 + 11 = 121$ условная единица.

3. Общее процентное изменение
Теперь сравним итоговую зарплату (121 у.е.) с начальной (100 у.е.), чтобы найти общее повышение в процентах.
Изменение в условных единицах: $121 - 100 = 21$ условная единица.
Поскольку начальная сумма равна 100, то увеличение на 21 условную единицу соответствует увеличению на 21%.
Формула для расчета процентного изменения: $\frac{\text{конечное значение} - \text{начальное значение}}{\text{начальное значение}} \cdot 100\% = \frac{121 - 100}{100} \cdot 100\% = 21\%$

Ответ: За 2 раза зарплата повысилась на 21%.

2.203. Цена товара в 100 условных единиц понизилась на 10%, потом ещё на 10%. На сколько процентов понизилась цена товара за 2 раза?

Чтобы найти, на сколько процентов понизилась цена товара за два раза, выполним вычисления по шагам.

Шаг 1: Находим цену после первого понижения.

Первоначальная цена товара составляет 100 условных единиц. Цена понизилась на 10%. Найдем, на сколько условных единиц уменьшилась цена:

$100 \cdot \frac{10}{100} = 10$ условных единиц.

Теперь рассчитаем новую цену товара:

$100 - 10 = 90$ условных единиц.

Шаг 2: Находим цену после второго понижения.

Второе понижение на 10% происходит от новой цены в 90 условных единиц. Найдем, на сколько условных единиц цена уменьшилась во второй раз:

$90 \cdot \frac{10}{100} = 9$ условных единиц.

Рассчитаем итоговую цену после второго понижения:

$90 - 9 = 81$ условная единица.

Шаг 3: Находим общее процентное понижение.

Чтобы определить общее понижение в процентах, нужно сравнить начальную цену (100) и конечную (81).

Общее изменение цены в условных единицах:

$100 - 81 = 19$ условных единиц.

Так как начальная цена была 100 условных единиц, то понижение на 19 единиц эквивалентно понижению на 19%.

Можно также рассчитать по формуле:

$\frac{\text{начальная цена} - \text{конечная цена}}{\text{начальная цена}} \cdot 100\% = \frac{100 - 81}{100} \cdot 100\% = \frac{19}{100} \cdot 100\% = 19\%$.

Ответ: 19%.

2.204. Цена товара в 100 условных единиц сначала понизилась на 10%, потом повысилась на 10%. На сколько процентов понизилась или повысилась цена товара за 2 раза?

Для того чтобы определить, на сколько процентов изменилась цена товара, необходимо последовательно рассчитать ее значение после каждого изменения.

1. Цена после понижения на 10%

Изначальная цена товара составляет 100 условных единиц. Найдем 10% от этой суммы, чтобы определить величину скидки.

$100 \times \frac{10}{100} = 10$ условных единиц.

Теперь вычтем эту сумму из начальной цены, чтобы найти новую цену:

$100 - 10 = 90$ условных единиц.

Таким образом, после понижения на 10% цена товара составила 90 условных единиц.

2. Цена после повышения на 10%

Следующим шагом цена повысилась на 10%. Важно учесть, что повышение рассчитывается от новой цены, то есть от 90 условных единиц.

Найдем 10% от 90:

$90 \times \frac{10}{100} = 9$ условных единиц.

Теперь прибавим эту сумму к текущей цене, чтобы найти конечную цену:

$90 + 9 = 99$ условных единиц.

3. Расчет общего изменения цены

Первоначальная цена была 100 условных единиц, а конечная цена стала 99 условных единиц. Сравним эти два значения.

Изменение цены в условных единицах: $100 - 99 = 1$ условная единица.

Чтобы найти процентное изменение, нужно разделить абсолютное изменение на первоначальную цену и умножить на 100%.

$\frac{1}{100} \times 100\% = 1\%$

Так как конечная цена (99) меньше начальной (100), то цена понизилась.

Ответ: Цена товара понизилась на 1%.

2.205. Цена товара в 100 условных единиц сначала повысилась на 10%, потом понизилась на 10%. На сколько процентов понизилась или повысилась цена товара за 2 раза?

Для решения этой задачи нужно последовательно вычислить цену товара после каждого изменения.

1. Повышение цены на 10%

Первоначальная цена товара составляет 100 условных единиц. Сначала она повышается на 10%. Найдем величину повышения:

$100 \times \frac{10}{100} = 10$ условных единиц.

Новая цена после повышения будет:

$100 + 10 = 110$ условных единиц.

2. Понижение цены на 10%

Далее цена понижается на 10% от новой цены, то есть от 110 условных единиц. Найдем величину понижения:

$110 \times \frac{10}{100} = 11$ условных единиц.

Итоговая цена после понижения составит:

$110 - 11 = 99$ условных единиц.

3. Определение общего изменения цены

Теперь сравним итоговую цену (99 условных единиц) с первоначальной (100 условных единиц).

Разница составляет:

$100 - 99 = 1$ условная единица.

Чтобы найти процентное изменение, нужно разделить разницу на первоначальную цену и умножить на 100%.

$\frac{1}{100} \times 100\% = 1\%$.

Поскольку итоговая цена оказалась меньше первоначальной, цена товара понизилась.

Ответ: цена товара понизилась на 1%.

2.206. Известно, что площади равных фигур равны и площадь фигуры равна сумме площадей составляющих её частей. Вычислите площадь (рис. 39):

а) прямоугольника $ABCD$;

б) треугольника $ABC$;

в) треугольника $ADC$.

Рис. 39

а) Площадь прямоугольника $ABCD$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ – длины его смежных сторон. Из рисунка видно, что длина стороны $AD$ равна 3 см, а длина стороны $DC$ равна 2 см. Следовательно, площадь прямоугольника $ABCD$ равна:
$S_{ABCD} = AD \cdot DC = 3 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$.
Ответ: $6 \text{ см}^2$.

б) Треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как угол $\angle B$ – это угол прямоугольника $ABCD$. Его катеты – это стороны $AB$ и $BC$. Длина стороны $AB$ равна длине стороны $DC$, то есть $AB = 2$ см. Длина стороны $BC$ равна длине стороны $AD$, то есть $BC = 3$ см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 3 \text{ см}^2$.
Также можно заметить, что диагональ $AC$ делит прямоугольник на два равных треугольника, поэтому площадь каждого из них равна половине площади прямоугольника:
$S_{ABC} = \frac{S_{ABCD}}{2} = \frac{6 \text{ см}^2}{2} = 3 \text{ см}^2$.
Ответ: $3 \text{ см}^2$.

в) Треугольник $ADC$ является прямоугольным, так как угол $\angle D$ – это угол прямоугольника $ABCD$. Его катеты – это стороны $AD$ и $DC$. Длины катетов известны из условия: $AD = 3$ см и $DC = 2$ см. Площадь прямоугольного треугольника $ADC$ равна:
$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 3 \text{ см}^2$.
Как и в предыдущем пункте, площадь треугольника $ADC$ равна половине площади прямоугольника $ABCD$. Кроме того, треугольники $ABC$ и $ADC$ равны, следовательно, их площади также равны.
Ответ: $3 \text{ см}^2$.

2.207. Вычислите площадь многоугольника (длины сторон в сантиметрах указаны на рисунке 40).

а) $5$, $5$, $6$, $3$

б) $2$, $4$, $10$, $6$

Рис. 40

а)

Чтобы вычислить площадь данного многоугольника, его можно разбить на два прямоугольника. Проведем воображаемую вертикальную линию от внутреннего угла фигуры вниз. В результате мы получим два прямоугольника: левый и правый.

Размеры левого прямоугольника составляют 5 см в ширину и 5 см в высоту.

Размеры правого прямоугольника: ширина — 3 см, а высота равна сумме длин двух вертикальных отрезков: $5 + 6 = 11$ см.

Теперь вычислим площадь каждого прямоугольника и сложим полученные значения.

Площадь левого прямоугольника: $S_1 = 5 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 25 \text{ см}^2$.

Площадь правого прямоугольника: $S_2 = 3 \text{ см} \times 11 \text{ см} = 33 \text{ см}^2$.

Общая площадь многоугольника равна сумме площадей этих двух прямоугольников:

$S = S_1 + S_2 = 25 \text{ см}^2 + 33 \text{ см}^2 = 58 \text{ см}^2$.

Ответ: $58 \text{ см}^2$.

б)

Площадь этого многоугольника удобно найти, представив его как большой прямоугольник, из которого вырезали меньшую прямоугольную часть (выемку). Этот метод также называют методом дополнения.

Сначала определим площадь большого прямоугольника, в который можно вписать данную фигуру. Его высота равна 10 см, а ширина — 6 см. Его площадь составляет:

$S_{большой} = 10 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 60 \text{ см}^2$.

Теперь найдем размеры вырезанной части. Из рисунка видно, что левая сторона фигуры состоит из трех вертикальных сегментов: верхнего длиной 2 см, нижнего длиной 4 см и выемки между ними. Таким образом, высота выемки равна общей высоте фигуры минус сумма длин верхнего и нижнего сегментов:

$h_{выемки} = 10 \text{ см} - (2 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 10 \text{ см} - 6 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Ширина выемки на рисунке явно не указана. В таких задачах часто предполагается, что одно из неизвестных измерений совпадает с одним из чисел, указанных на схеме. Основываясь на этом, предположим, что ширина выемки равна 2 см.

Теперь мы можем найти площадь выемки, умножив ее высоту на ширину:

$S_{выемки} = 4 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$.

Итоговая площадь многоугольника равна площади большого прямоугольника за вычетом площади выемки:

$S = S_{большой} - S_{выемки} = 60 \text{ см}^2 - 8 \text{ см}^2 = 52 \text{ см}^2$.

Ответ: $52 \text{ см}^2$.

Доказываем

2.208. Две равные фигуры наложили друг на друга (рис. 41). Докажите, что площади закрашенных фигур равны. Рис. 41

Обозначим две равные фигуры как Фигура 1 (синяя) и Фигура 2 (коричневая). Пусть их площади равны $S_{Ф1}$ и $S_{Ф2}$ соответственно.

По условию задачи, фигуры равны. Основное свойство равных фигур заключается в том, что их площади равны. Следовательно:

$S_{Ф1} = S_{Ф2}$

При наложении фигур друг на друга образуются три области. Обозначим их площади:

$S_{синяя}$ — площадь закрашенной синей части (часть Фигуры 1, которая не пересекается с Фигурой 2).

$S_{коричневая}$ — площадь закрашенной коричневой части (часть Фигуры 2, которая не пересекается с Фигурой 1).

$S_{общая}$ — площадь их общей части (незакрашенная область пересечения).

Площадь каждой из исходных фигур можно представить как сумму площадей ее составляющих частей:

Площадь Фигуры 1: $S_{Ф1} = S_{синяя} + S_{общая}$

Площадь Фигуры 2: $S_{Ф2} = S_{коричневая} + S_{общая}$

Так как мы знаем, что $S_{Ф1} = S_{Ф2}$, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$S_{синяя} + S_{общая} = S_{коричневая} + S_{общая}$

Теперь вычтем из обеих частей этого равенства площадь общей части $S_{общая}$:

$S_{синяя} + S_{общая} - S_{общая} = S_{коричневая} + S_{общая} - S_{общая}$

В результате получаем:

$S_{синяя} = S_{коричневая}$

Таким образом, мы доказали, что площади закрашенных фигур равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Площади закрашенных фигур равны. Это следует из того, что площадь каждой закрашенной фигуры равна разности площади соответствующей ей исходной фигуры и площади их общей части. Поскольку по условию площади исходных фигур равны, то и площади их незакрашенных частей (остатков) также будут равны.