Страница 88 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.9. Какие числа называют противоположными? Приведите примеры противоположных чисел.

Какие числа называют противоположными?

Противоположными называют два числа, которые равны по модулю (абсолютной величине), но имеют разные знаки. Если некоторое число обозначить буквой $a$, то противоположное ему число будет $-a$.

Основные свойства противоположных чисел:

• На координатной прямой точки, соответствующие противоположным числам, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета (нуля), но в разных направлениях от него.
• Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю. Это можно записать в виде формулы: $a + (-a) = 0$.
• Число, противоположное положительному числу, является отрицательным. Например, для числа $10$ противоположным будет $-10$.
• Число, противоположное отрицательному числу, является положительным. Например, для числа $-5$ противоположным будет $-(-5) = 5$.
• Число $0$ является противоположным самому себе, так как $-0 = 0$.

Приведите примеры противоположных чисел

Ниже приведены несколько примеров пар противоположных чисел:

• $8$ и $-8$
• $-25$ и $25$
• $3.14$ и $-3.14$
• $\frac{2}{7}$ и $-\frac{2}{7}$
• $0$ и $0$

Ответ: Противоположные числа — это числа, которые отличаются друг от друга только знаком, например, $8$ и $-8$. Их сумма всегда равна нулю.

3.10. Какое число противоположно числу $0$?

Противоположными называются числа, которые равны по модулю (абсолютной величине), но имеют разные знаки. На числовой прямой они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но в разных направлениях. Например, числа 5 и -5 являются противоположными.

В общем виде, для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$. Их сумма всегда равна нулю: $a + (-a) = 0$.

Применим это определение к числу 0. Чтобы найти противоположное ему число, мы должны взять число $-0$.

Число 0 является особенным, так как оно не является ни положительным, ни отрицательным. Умножение нуля на любое число, включая -1, дает в результате ноль. То есть, $-0 = -1 \cdot 0 = 0$.

Таким образом, число, противоположное числу 0, — это само число 0.

Проверим свойство суммы: $0 + (-0) = 0 + 0 = 0$. Свойство выполняется.

Ответ: 0.

3.11. Что получится, если перед целым числом поставить:

а) знак «+»;

б) знак «-»?

а) знак «+»

Если перед целым числом поставить знак «+», то число не изменится. Знак «+» указывает на то, что число является положительным, но его также можно поставить и перед отрицательным числом или нулём, не изменив их значения. Например:

• Если взять положительное число, например $5$, то $+5$ будет равно $5$.
• Если взять отрицательное число, например $-3$, то $+(-3)$ будет равно $-3$.
• Если взять ноль, то $+0$ будет равно $0$.

Таким образом, для любого целого числа $a$ верно равенство $+(a) = a$.

Ответ: получится то же самое число.

б) знак «–»

Если перед целым числом поставить знак «–», то получится число, противоположное данному. Противоположные числа — это числа, которые имеют одинаковый модуль (абсолютную величину), но разные знаки. Например:

• Если взять положительное число, например $8$, то получится противоположное ему отрицательное число $-8$.
• Если взять отрицательное число, например $-4$, то получится противоположное ему положительное число $-(-4) = 4$.
• Если взять ноль, то получится ноль, так как ноль противоположен самому себе: $-0 = 0$.

Таким образом, для любого целого числа $a$ постановка знака «–» перед ним даёт число $-a$, которое является противоположным числу $a$.

Ответ: получится число, противоположное данному.

3.12. Что называют модулем:

а) положительного целого числа;

б) отрицательного целого числа;

в) числа нуль?

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от начала координат (точки 0) до точки на координатной прямой, которая соответствует этому числу. Модуль числа всегда является неотрицательной величиной, то есть больше или равен нулю.

Формальное определение модуля числа $x$ (обозначается $|x|$):

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

а) положительного целого числа

Модулем положительного целого числа называют само это число. Это следует из определения: если число $a$ положительное ($a > 0$), то оно удовлетворяет условию $a \ge 0$, и, следовательно, его модуль равен самому числу. Например, модуль числа 15 равен 15, что записывается как $|15| = 15$.

Ответ: Модулем положительного целого числа является само это число.

б) отрицательного целого числа

Модулем отрицательного целого числа называют противоположное ему положительное число. Если число $b$ отрицательное ($b < 0$), то по определению его модуль равен $-b$. Так как $b$ — отрицательное число, то $-b$ будет положительным. Например, модуль числа -8 равен 8, что записывается как $|-8| = -(-8) = 8$.

Ответ: Модулем отрицательного целого числа является противоположное ему положительное число.

в) числа нуль

Модуль числа нуль равен нулю. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным и удовлетворяет условию $x \ge 0$. Поэтому, согласно первой части определения, $|0| = 0$. Расстояние от нуля до самого себя на координатной прямой равно нулю.

Ответ: Модуль числа нуль равен нулю.

3.13. Какие числа имеют одинаковый модуль? Приведите примеры.

Одинаковый модуль имеют противоположные числа. Это числа, которые равны по величине (абсолютному значению), но имеют разные знаки. Для любого ненулевого числа $a$, число $-a$ является ему противоположным.

Геометрически модуль числа — это расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета (нуля). Противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, поэтому их модули равны. Это можно записать в виде формулы: $|a| = |-a|$.

Примеры:

• Числа 10 и -10.
  Модуль числа 10 равен 10: $|10| = 10$.
  Модуль числа -10 также равен 10: $|-10| = 10$.
  Следовательно, их модули равны: $|10| = |-10|$.
• Числа 4,7 и -4,7.
  $|4,7| = 4,7$ и $|-4,7| = 4,7$.
  Следовательно, $|4,7| = |-4,7|$.
• Числа $\frac{2}{5}$ и $-\frac{2}{5}$.
  $|\frac{2}{5}| = \frac{2}{5}$ и $|-\frac{2}{5}| = \frac{2}{5}$.
  Следовательно, $|\frac{2}{5}| = |-\frac{2}{5}|$.

Единственное число, у которого нет отличного от него противоположного, — это ноль. Его модуль равен нулю: $|0| = 0$.

Ответ: одинаковый модуль имеют противоположные числа, то есть числа, отличающиеся только знаком (например, 21 и -21).

3.14 Для какого числа модуль — противоположное ему число?

Пусть искомое число — это $x$. Условие задачи, что модуль числа равен противоположному ему числу, можно записать в виде уравнения:

$|x| = -x$

По определению, модуль числа $|x|$ всегда является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$.

Из уравнения следует, что его правая часть, $-x$, также должна быть неотрицательной:

$-x \ge 0$

Чтобы найти $x$, умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le 0$

Это означает, что условию задачи могут удовлетворять только ноль или отрицательные числа (все неположительные числа).

Давайте проверим это, рассмотрев два возможных случая для $x \le 0$:

1. Если $x = 0$

Подставим значение в исходное уравнение $|x| = -x$:

$|0| = -0$

$0 = 0$

Равенство верное, значит, число 0 является решением.

2. Если $x$ — отрицательное число ($x < 0$)

По определению модуля, если число отрицательное, то его модуль равен противоположному ему числу: $|x| = -x$.

Подставим это выражение для модуля в наше исходное уравнение $|x| = -x$:

$-x = -x$

Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого отрицательного числа $x$.

Таким образом, все неположительные числа (ноль и все отрицательные числа) удовлетворяют условию задачи.

Ответ: Любое неположительное число (то есть ноль или любое отрицательное число).