Страница 81 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.186. Разменяйте 25-рублёвую купюру одиннадцатью купюрами достоинством 1, 3 и 5 р.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество купюр достоинством 1 рубль, $y$ — количество купюр достоинством 3 рубля, и $z$ — количество купюр достоинством 5 рублей. По условию, $x$, $y$ и $z$ должны быть целыми неотрицательными числами.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Уравнение по общему количеству купюр, которое равно 11:
$x + y + z = 11$

2. Уравнение по общей сумме денег, которая должна составлять 25 рублей:
$1 \cdot x + 3 \cdot y + 5 \cdot z = 25$

Таким образом, получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x + y + z = 11 \\ x + 3y + 5z = 25 \end{cases}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:
$(x + 3y + 5z) - (x + y + z) = 25 - 11$
$2y + 4z = 14$

Разделим обе части полученного уравнения на 2:
$y + 2z = 7$

Отсюда можно выразить $y$ через $z$:
$y = 7 - 2z$

Поскольку количество купюр $y$ и $z$ не может быть отрицательным ($y \ge 0$ и $z \ge 0$), мы можем определить возможные значения для $z$. Из уравнения $y = 7 - 2z$ следует, что $7 - 2z \ge 0$, то есть $2z \le 7$, или $z \le 3.5$. Так как $z$ — целое число, оно может принимать значения 0, 1, 2, 3. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: $z=0$
Тогда $y = 7 - 2(0) = 7$.
Подставим $y$ и $z$ в первое уравнение системы: $x + 7 + 0 = 11$, откуда $x = 4$.
Проверяем: $4 \cdot 1 + 7 \cdot 3 + 0 \cdot 5 = 4 + 21 = 25$.
Получаем первое решение: 4 купюры по 1 р., 7 купюр по 3 р., 0 купюр по 5 р.

Случай 2: $z=1$
Тогда $y = 7 - 2(1) = 5$.
Подставим $y$ и $z$ в первое уравнение системы: $x + 5 + 1 = 11$, откуда $x = 5$.
Проверяем: $5 \cdot 1 + 5 \cdot 3 + 1 \cdot 5 = 5 + 15 + 5 = 25$.
Получаем второе решение: 5 купюр по 1 р., 5 купюр по 3 р., 1 купюра по 5 р.

Случай 3: $z=2$
Тогда $y = 7 - 2(2) = 3$.
Подставим $y$ и $z$ в первое уравнение системы: $x + 3 + 2 = 11$, откуда $x = 6$.
Проверяем: $6 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 5 = 6 + 9 + 10 = 25$.
Получаем третье решение: 6 купюр по 1 р., 3 купюры по 3 р., 2 купюры по 5 р.

Случай 4: $z=3$
Тогда $y = 7 - 2(3) = 1$.
Подставим $y$ и $z$ в первое уравнение системы: $x + 1 + 3 = 11$, откуда $x = 7$.
Проверяем: $7 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 = 7 + 3 + 15 = 25$.
Получаем четвертое решение: 7 купюр по 1 р., 1 купюра по 3 р., 3 купюры по 5 р.

Если $z$ будет равно 4 или больше, значение $y$ станет отрицательным, что невозможно. Следовательно, мы нашли все возможные варианты.

Ответ: Задачу можно решить четырьмя способами:

• 4 купюры по 1 рублю, 7 купюр по 3 рубля;
• 5 купюр по 1 рублю, 5 купюр по 3 рубля, 1 купюра по 5 рублей;
• 6 купюр по 1 рублю, 3 купюры по 3 рубля, 2 купюры по 5 рублей;
• 7 купюр по 1 рублю, 1 купюра по 3 рубля, 3 купюры по 5 рублей.

2.187. Из книги вырвали 25 листов (все страницы на них пронумерованы). Может ли сумма номеров вырванных страниц быть равной 200? Ответ обоснуйте.

Каждый лист книги имеет две страницы, номера которых являются двумя последовательными целыми числами. Пусть номер одной страницы на листе равен $n$, тогда номер второй страницы будет $n+1$. Сумма номеров страниц на одном листе равна их сумме: $S_{лист} = n + (n+1) = 2n + 1$.

Как видно из формулы, сумма номеров страниц на одном листе ($2n + 1$) всегда является нечетным числом, так как это сумма четного числа ($2n$) и нечетного числа (1).

Из книги вырвали 25 листов. Общая сумма номеров всех вырванных страниц будет равна сумме 25 нечетных чисел (по одному нечетному числу от каждого листа).

При сложении нечетных чисел действует правило: сумма четного количества нечетных чисел — четна, а сумма нечетного количества нечетных чисел — нечетна. Поскольку мы складываем 25 (нечетное число) нечетных слагаемых, итоговая сумма должна быть нечетным числом.

В задаче спрашивается, может ли эта сумма быть равной 200. Число 200 является четным.

Таким образом, возникает противоречие: с одной стороны, сумма номеров страниц 25 вырванных листов обязательно должна быть нечетной, а с другой — предлагается значение 200, которое является четным. Следовательно, такая ситуация невозможна.

Ответ: нет, не может.

2.188. Можно ли расставить различные натуральные натуральные числа в клетки таблицы $3 \times 3$ так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце получилась сумма 99?

Да, можно расставить различные натуральные числа в клетки таблицы 3×3 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце получилась сумма 99.

Чтобы такое расположение было возможным, сумма всех девяти чисел в таблице должна быть равна сумме чисел в трех строках (или столбцах). Вычислим эту общую сумму $S$:

$S = 3 \times 99 = 297$

Следовательно, нам нужно найти 9 различных натуральных чисел, сумма которых равна 297. Среднее арифметическое этих чисел должно быть:

$\frac{297}{9} = 33$

Мы можем выбрать набор чисел, симметричный относительно 33, чтобы их среднее было равно 33. Например, возьмем следующий набор из девяти различных натуральных чисел:

29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37.

Проверим их сумму:

$29+30+31+32+33+34+35+36+37 = (33-4)+(33-3)+(33-2)+(33-1)+33+(33+1)+(33+2)+(33+3)+(33+4) = 9 \times 33 = 297$

Теперь расположим эти числа в таблице так, чтобы выполнить условия задачи. Один из возможных вариантов — это построение магического квадрата:

Проверим суммы по строкам и столбцам для приведенного примера:

Суммы по строкам:

• Первая строка: $30 + 37 + 32 = 99$
• Вторая строка: $35 + 33 + 31 = 99$
• Третья строка: $34 + 29 + 36 = 99$

Суммы по столбцам:

• Первый столбец: $30 + 35 + 34 = 99$
• Второй столбец: $37 + 33 + 29 = 99$
• Третий столбец: $32 + 31 + 36 = 99$

Таким образом, все условия задачи выполнены: в таблице расставлены различные натуральные числа, и сумма в каждой строке и в каждом столбце равна 99.

Ответ: да, можно.

2.189. На белом листе бумаги нарисована квадратная таблица. В ней 9 строк и 9 столбцов. Можно ли покрасить некоторые клетки этой таблицы в чёрный цвет так, чтобы во всех строках было поровну чёрных клеток, во всех столбцах было поровну белых клеток и чёрных клеток в каждой строке было бы столько же, сколько белых клеток в каждом столбце? Если можно — покажите как. Если нельзя — объясните почему.

Обозначим через $N$ размер таблицы, в данном случае $N=9$.

Пусть $k$ — это количество чёрных клеток в каждой строке. Согласно условию, это число одинаково для всех 9 строк.

Пусть $m$ — это количество белых клеток в каждом столбце. Согласно условию, это число одинаково для всех 9 столбцов.

Третье условие задачи гласит, что количество чёрных клеток в каждой строке должно быть равно количеству белых клеток в каждом столбце. Запишем это в виде уравнения: $k = m$

Теперь посчитаем общее количество чёрных клеток в таблице двумя способами.

Способ 1: Считаем по строкам. В таблице 9 строк, и в каждой из них по $k$ чёрных клеток. Следовательно, общее число чёрных клеток $B_{total}$ равно: $B_{total} = 9 \cdot k$

Способ 2: Считаем по столбцам. В каждом столбце $m$ белых клеток. Поскольку всего в столбце 9 клеток, то количество чёрных клеток в каждом столбце равно $9 - m$. Так как по условию $k = m$, количество чёрных клеток в каждом столбце равно $9 - k$. В таблице 9 столбцов, значит, общее число чёрных клеток $B_{total}$ равно: $B_{total} = 9 \cdot (9 - k)$

Поскольку общее число чёрных клеток в таблице — это одна и та же величина, мы можем приравнять выражения, полученные двумя способами: $9 \cdot k = 9 \cdot (9 - k)$

Разделим обе части уравнения на 9: $k = 9 - k$

Решим это уравнение относительно $k$: $2k = 9$ $k = 9 / 2 = 4.5$

Получилось, что количество чёрных клеток в каждой строке должно быть равно 4.5. Однако количество клеток не может быть дробным числом, оно всегда целое. Следовательно, мы пришли к противоречию. Это означает, что выполнить все условия задачи одновременно невозможно.

Ответ: Покрасить клетки требуемым образом невозможно, так как это приводит к логическому противоречию: количество чёрных клеток в строке должно быть равно 4.5, что невозможно.

2.190. В первом стакане налито молока столько, сколько чёрного кофе во втором. Ложку молока перелили в стакан кофе, тщательно перемешали, потом ложку полученной смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего стало больше — молока в кофе или кофе в молоке? Ответ обоснуйте.

Эта задача является классическим логическим парадоксом, который можно решить как с помощью рассуждений, так и с помощью математических вычислений. Оба подхода показывают, что итоговые количества примесей равны.

Логическое обоснование

Изначально в обоих стаканах был одинаковый объем жидкости. После того как мы перелили ложку молока в кофе, а затем ложку смеси обратно, объемы жидкостей в стаканах снова стали равными. Это ключевой момент, так как общий объем жидкости в каждом стакане в конце такой же, как и в начале.

Рассмотрим стакан, в котором изначально было только молоко. В конце эксперимента в нем есть некоторое количество кофе. Это кофе заняло место точно такого же объема молока, которое покинуло этот стакан. Куда делось это "ушедшее" молоко? Оно может находиться только в одном месте — в стакане с кофе.

Следовательно, объем кофе, который теперь находится в молоке, в точности равен объему молока, которое теперь находится в кофе. Их количества равны.

Ответ: количество молока в кофе и количество кофе в молоке одинаково.

Математическое доказательство

Для большей строгости проведем расчеты. Пусть $V$ — первоначальный объем молока и кофе в стаканах, а $v$ — объем ложки.

Шаг 1: Переливаем ложку молока в стакан с кофе.
После первого переливания состав жидкостей будет следующим:
- В первом стакане: $V - v$ молока.
- Во втором стакане: $V$ кофе и $v$ молока. Общий объем смеси в нем стал $V + v$.

Концентрация кофе во втором стакане составляет $\frac{V}{V+v}$, а концентрация молока — $\frac{v}{V+v}$.

Шаг 2: Переливаем ложку полученной смеси обратно в стакан с молоком.
Мы зачерпываем ложку смеси объемом $v$ из второго стакана. В этой ложке будет содержаться:
- Кофе: $v \cdot (\text{концентрация кофе}) = v \cdot \frac{V}{V+v} = \frac{vV}{V+v}$.
- Молока: $v \cdot (\text{концентрация молока}) = v \cdot \frac{v}{V+v} = \frac{v^2}{V+v}$.

Шаг 3: Определяем финальный состав.
Теперь подсчитаем, сколько "чужой" жидкости оказалось в каждом стакане.

Количество кофе в молоке:
Это то количество кофе, которое мы перелили из второго стакана в первый на шаге 2. Оно равно:$C_{в\;молоке} = \frac{vV}{V+v}$.

Количество молока в кофе:
На шаге 1 мы добавили $v$ молока во второй стакан. На шаге 2 мы забрали из него $\frac{v^2}{V+v}$ молока. Оставшееся количество молока во втором стакане равно:$M_{в\;кофе} = v - \frac{v^2}{V+v} = \frac{v(V+v) - v^2}{V+v} = \frac{vV + v^2 - v^2}{V+v} = \frac{vV}{V+v}$.

Сравнивая результаты, мы видим, что количество кофе в молоке и количество молока в кофе абсолютно одинаковы:$C_{в\;молоке} = M_{в\;кофе} = \frac{vV}{V+v}$.

Ответ: количество молока в кофе и количество кофе в молоке одинаково.