Номер 2.189, страница 81 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Занимательные задачи. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.189, страница 81.

Условие.

2.189. На белом листе бумаги нарисована квадратная таблица. В ней 9 строк и 9 столбцов. Можно ли покрасить некоторые клетки этой таблицы в чёрный цвет так, чтобы во всех строках было поровну чёрных клеток, во всех столбцах было поровну белых клеток и чёрных клеток в каждой строке было бы столько же, сколько белых клеток в каждом столбце? Если можно — покажите как. Если нельзя — объясните почему.

Решение 5.

Обозначим через $N$ размер таблицы, в данном случае $N=9$.

Пусть $k$ — это количество чёрных клеток в каждой строке. Согласно условию, это число одинаково для всех 9 строк.

Пусть $m$ — это количество белых клеток в каждом столбце. Согласно условию, это число одинаково для всех 9 столбцов.

Третье условие задачи гласит, что количество чёрных клеток в каждой строке должно быть равно количеству белых клеток в каждом столбце. Запишем это в виде уравнения: $k = m$

Теперь посчитаем общее количество чёрных клеток в таблице двумя способами.

Способ 1: Считаем по строкам. В таблице 9 строк, и в каждой из них по $k$ чёрных клеток. Следовательно, общее число чёрных клеток $B_{total}$ равно: $B_{total} = 9 \cdot k$

Способ 2: Считаем по столбцам. В каждом столбце $m$ белых клеток. Поскольку всего в столбце 9 клеток, то количество чёрных клеток в каждом столбце равно $9 - m$. Так как по условию $k = m$, количество чёрных клеток в каждом столбце равно $9 - k$. В таблице 9 столбцов, значит, общее число чёрных клеток $B_{total}$ равно: $B_{total} = 9 \cdot (9 - k)$

Поскольку общее число чёрных клеток в таблице — это одна и та же величина, мы можем приравнять выражения, полученные двумя способами: $9 \cdot k = 9 \cdot (9 - k)$

Разделим обе части уравнения на 9: $k = 9 - k$

Решим это уравнение относительно $k$: $2k = 9$ $k = 9 / 2 = 4.5$

Получилось, что количество чёрных клеток в каждой строке должно быть равно 4.5. Однако количество клеток не может быть дробным числом, оно всегда целое. Следовательно, мы пришли к противоречию. Это означает, что выполнить все условия задачи одновременно невозможно.

Ответ: Покрасить клетки требуемым образом невозможно, так как это приводит к логическому противоречию: количество чёрных клеток в строке должно быть равно 4.5, что невозможно.