Номер 2.185, страница 78 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Вычисление площади фигуры на клетчатой бумаге. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.185, страница 78.

Условие.

2.185. При решении задачи ученик, рассуждая как в примере 3, получил границы для значения площади фигуры F: $a < S < b$, где

$a$ — число полных клеток наибольшей по площади фигуры, содержащейся внутри фигуры $F$, $b$ — число полных клеток наименьшей по площади фигуры, содержащей фигуру $F$.

а) Сколько неполных клеток содержит фигура $F$?

б) Покажите, что сумма площадей полных и неполных клеток, содержащихся внутри фигуры $F$, приближённо равна $\frac{a+b}{2}$

(площадь неполной клетки считайте равной $\frac{1}{2}$).

Решение 1.

Решение 5.

а) По условию задачи, $a$ — это число полных клеток, полностью находящихся внутри фигуры $F$. Величина $b$ — это общее число клеток, которые необходимы, чтобы полностью покрыть фигуру $F$. Эти клетки можно разделить на два типа: те, что полностью лежат внутри $F$ (полные клетки), и те, что пересекаются границей фигуры $F$ (неполные клетки).

Пусть $n$ — это количество неполных клеток. Тогда общее число клеток $b$, покрывающих фигуру $F$, складывается из числа полных клеток $a$ и числа неполных клеток $n$.

Таким образом, мы можем записать равенство:

$b = a + n$

Из этого равенства выразим число неполных клеток $n$:

$n = b - a$

Ответ: Фигура $F$ содержит $b-a$ неполных клеток.

б) Нам нужно показать, что сумма площадей полных и неполных клеток, содержащихся внутри фигуры $F$, приближённо равна $\frac{a+b}{2}$. Будем считать, что площадь одной полной клетки равна 1.

Приближенная площадь фигуры $S_{прибл.}$ вычисляется как сумма площадей всех полных клеток и всех неполных клеток.

1. Количество полных клеток внутри фигуры $F$ равно $a$. Их общая площадь составляет $a \cdot 1 = a$.

2. Количество неполных клеток, как мы выяснили в пункте а), равно $n = b-a$.

3. В условии сказано, что площадь неполной клетки следует считать равной $\frac{1}{2}$. Следовательно, общая площадь всех неполных клеток приближенно равна $n \cdot \frac{1}{2} = (b-a) \cdot \frac{1}{2}$.

Теперь сложим площади полных и неполных клеток, чтобы найти приближенную площадь всей фигуры $F$:

$S_{прибл.} = (\text{Площадь полных клеток}) + (\text{Площадь неполных клеток})$

$S_{прибл.} = a + (b-a) \cdot \frac{1}{2}$

Преобразуем полученное выражение:

$S_{прибл.} = a + \frac{b-a}{2} = \frac{2a}{2} + \frac{b-a}{2} = \frac{2a + b - a}{2} = \frac{a+b}{2}$

Таким образом, мы показали, что сумма площадей полных и неполных клеток, содержащихся внутри фигуры $F$, при заданных условиях приближенно равна $\frac{a+b}{2}$.

Ответ: Сумма площадей полных клеток ($a$) и приближенная площадь неполных клеток ($(b-a) \cdot \frac{1}{2}$) равна $a + \frac{b-a}{2} = \frac{2a+b-a}{2} = \frac{a+b}{2}$, что и требовалось доказать.