Номер 2.192, страница 82 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Занимательные задачи. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.192, страница 82.

Условие.

2.192. От пола комнаты вертикально вверх по стене поползли две мухи. Поднявшись до потолка, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и той же скоростью, а вторая хотя и поднималась вдвое быстрее первой, но зато спускалась вдвое медленнее. Какая из мух раньше приползёт обратно?

Решение 5.

Для того чтобы определить, какая из мух вернется к полу раньше, необходимо рассчитать и сравнить общее время, которое каждая из них затратит на путь от пола до потолка и обратно.

Введем следующие обозначения:
$S$ – расстояние от пола до потолка (высота стены).
$v$ – скорость первой мухи.

Расчет для первой мухи
Первая муха ползет и вверх, и вниз с одинаковой постоянной скоростью $v$.
Время, затраченное на подъем: $t_{1, вверх} = \frac{S}{v}$.
Время, затраченное на спуск: $t_{1, вниз} = \frac{S}{v}$.
Общее время в пути для первой мухи ($T_1$) будет равно сумме времени подъема и спуска: $$T_1 = t_{1, вверх} + t_{1, вниз} = \frac{S}{v} + \frac{S}{v} = \frac{2S}{v}$$

Расчет для второй мухи
Вторая муха поднималась вдвое быстрее первой, значит, ее скорость при подъеме была $v_{2, вверх} = 2v$.
Время, затраченное на подъем: $t_{2, вверх} = \frac{S}{2v}$.
Спускалась вторая муха вдвое медленнее первой, следовательно, ее скорость при спуске была $v_{2, вниз} = \frac{v}{2}$.
Время, затраченное на спуск: $t_{2, вниз} = \frac{S}{v/2} = \frac{2S}{v}$.
Общее время в пути для второй мухи ($T_2$) также является суммой времени подъема и спуска: $$T_2 = t_{2, вверх} + t_{2, вниз} = \frac{S}{2v} + \frac{2S}{v} = \frac{S}{2v} + \frac{4S}{2v} = \frac{5S}{2v} = 2.5 \frac{S}{v}$$

Сравнение результатов
Теперь сравним полученные значения общего времени для обеих мух:
Время первой мухи: $T_1 = 2 \frac{S}{v}$
Время второй мухи: $T_2 = 2.5 \frac{S}{v}$
Поскольку $2 < 2.5$, то $T_1 < T_2$. Это означает, что первая муха затратит на весь путь меньше времени, чем вторая. Хотя вторая муха и выигрывает время на подъеме, она проигрывает значительно больше времени на медленном спуске.

Ответ: первая муха приползет обратно раньше.