Номер 2.190, страница 81 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Занимательные задачи. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.190, страница 81.

Условие.

2.190. В первом стакане налито молока столько, сколько чёрного кофе во втором. Ложку молока перелили в стакан кофе, тщательно перемешали, потом ложку полученной смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего стало больше — молока в кофе или кофе в молоке? Ответ обоснуйте.

Решение 5.

Эта задача является классическим логическим парадоксом, который можно решить как с помощью рассуждений, так и с помощью математических вычислений. Оба подхода показывают, что итоговые количества примесей равны.

Логическое обоснование

Изначально в обоих стаканах был одинаковый объем жидкости. После того как мы перелили ложку молока в кофе, а затем ложку смеси обратно, объемы жидкостей в стаканах снова стали равными. Это ключевой момент, так как общий объем жидкости в каждом стакане в конце такой же, как и в начале.

Рассмотрим стакан, в котором изначально было только молоко. В конце эксперимента в нем есть некоторое количество кофе. Это кофе заняло место точно такого же объема молока, которое покинуло этот стакан. Куда делось это "ушедшее" молоко? Оно может находиться только в одном месте — в стакане с кофе.

Следовательно, объем кофе, который теперь находится в молоке, в точности равен объему молока, которое теперь находится в кофе. Их количества равны.

Ответ: количество молока в кофе и количество кофе в молоке одинаково.

Математическое доказательство

Для большей строгости проведем расчеты. Пусть $V$ — первоначальный объем молока и кофе в стаканах, а $v$ — объем ложки.

Шаг 1: Переливаем ложку молока в стакан с кофе.
После первого переливания состав жидкостей будет следующим:
- В первом стакане: $V - v$ молока.
- Во втором стакане: $V$ кофе и $v$ молока. Общий объем смеси в нем стал $V + v$.

Концентрация кофе во втором стакане составляет $\frac{V}{V+v}$, а концентрация молока — $\frac{v}{V+v}$.

Шаг 2: Переливаем ложку полученной смеси обратно в стакан с молоком.
Мы зачерпываем ложку смеси объемом $v$ из второго стакана. В этой ложке будет содержаться:
- Кофе: $v \cdot (\text{концентрация кофе}) = v \cdot \frac{V}{V+v} = \frac{vV}{V+v}$.
- Молока: $v \cdot (\text{концентрация молока}) = v \cdot \frac{v}{V+v} = \frac{v^2}{V+v}$.

Шаг 3: Определяем финальный состав.
Теперь подсчитаем, сколько "чужой" жидкости оказалось в каждом стакане.

Количество кофе в молоке:
Это то количество кофе, которое мы перелили из второго стакана в первый на шаге 2. Оно равно:$C_{в\;молоке} = \frac{vV}{V+v}$.

Количество молока в кофе:
На шаге 1 мы добавили $v$ молока во второй стакан. На шаге 2 мы забрали из него $\frac{v^2}{V+v}$ молока. Оставшееся количество молока во втором стакане равно:$M_{в\;кофе} = v - \frac{v^2}{V+v} = \frac{v(V+v) - v^2}{V+v} = \frac{vV + v^2 - v^2}{V+v} = \frac{vV}{V+v}$.

Сравнивая результаты, мы видим, что количество кофе в молоке и количество молока в кофе абсолютно одинаковы:$C_{в\;молоке} = M_{в\;кофе} = \frac{vV}{V+v}$.

Ответ: количество молока в кофе и количество кофе в молоке одинаково.