Номер 2.193, страница 82 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Занимательные задачи. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.193, страница 82.

Условие.

2.193. В цехе работают новые и старые токарные станки. Известно, что каждый токарь за одно и то же время вытачивает в 2 раза больше деталей, чем каждый ученик токаря. Ещё известно, что за 2 ч 4 токаря на новых станках и 12 учеников токаря на старых станках вытачивают столько же деталей, сколько за 3 ч вытачивают 5 токарей на старых станках и 4 ученика токаря на новых станках. Определите, во сколько раз производительность каждого нового станка больше производительности каждого старого станка.

Решение 5.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $P_У$ — производительность ученика токаря (деталей в час, на условном станке с коэффициентом 1).
• $P_Т$ — производительность токаря (деталей в час, на условном станке с коэффициентом 1).
• $K_Н$ — коэффициент производительности нового станка.
• $K_С$ — коэффициент производительности старого станка.

Таким образом, фактическая производительность рабочего на станке равна произведению его личной производительности на коэффициент производительности станка. Например, производительность токаря на новом станке равна $P_Т \cdot K_Н$.

1. Учет производительности токаря и ученика

Из условия известно, что каждый токарь за одно и то же время вытачивает в 2 раза больше деталей, чем каждый ученик токаря. Это означает, что производительность токаря в 2 раза выше производительности ученика:

$P_Т = 2 \cdot P_У$

2. Составление уравнения на основе работы

Теперь составим уравнение, исходя из того, что количество деталей, изготовленных в двух разных ситуациях, одинаково. Общее количество деталей равно сумме произведений количества рабочих, их производительности, коэффициента станка и времени работы.

Ситуация 1: 4 токаря на новых станках и 12 учеников на старых станках работают 2 часа.

Количество деталей: $2 \cdot (4 \cdot P_Т \cdot K_Н + 12 \cdot P_У \cdot K_С)$

Ситуация 2: 5 токарей на старых станках и 4 ученика на новых станках работают 3 часа.

Количество деталей: $3 \cdot (5 \cdot P_Т \cdot K_С + 4 \cdot P_У \cdot K_Н)$

Приравниваем количество деталей, полученных в обеих ситуациях:

$2 \cdot (4 \cdot P_Т \cdot K_Н + 12 \cdot P_У \cdot K_С) = 3 \cdot (5 \cdot P_Т \cdot K_С + 4 \cdot P_У \cdot K_Н)$

3. Решение уравнения

Подставим в полученное уравнение соотношение $P_Т = 2 \cdot P_У$, чтобы выразить всё через производительность ученика $P_У$:

$2 \cdot (4 \cdot (2 P_У) \cdot K_Н + 12 \cdot P_У \cdot K_С) = 3 \cdot (5 \cdot (2 P_У) \cdot K_С + 4 \cdot P_У \cdot K_Н)$

Упростим выражения в скобках:

$2 \cdot (8 P_У K_Н + 12 P_У K_С) = 3 \cdot (10 P_У K_С + 4 P_У K_Н)$

Так как $P_У$ (производительность ученика) не равна нулю, мы можем сократить на $P_У$ обе части уравнения:

$2 \cdot (8 K_Н + 12 K_С) = 3 \cdot (10 K_С + 4 K_Н)$

Раскроем скобки:

$16 K_Н + 24 K_С = 30 K_С + 12 K_Н$

Теперь сгруппируем слагаемые с $K_Н$ в левой части, а с $K_С$ — в правой:

$16 K_Н - 12 K_Н = 30 K_С - 24 K_С$

$4 K_Н = 6 K_С$

Нам нужно найти, во сколько раз производительность нового станка больше производительности старого, то есть найти отношение $\frac{K_Н}{K_С}$:

$\frac{K_Н}{K_С} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$

Таким образом, производительность каждого нового станка в 1,5 раза больше производительности каждого старого станка.

Ответ: в 1,5 раза.