Номер 2.191, страница 82 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Занимательные задачи. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.191, страница 82.

Условие.

2.191. В первом стакане налито молока столько, сколько чёрного кофе во втором. Из первого стакана во второй налили 4 ложки молока, потом из второго в первый налили 3 ложки полученной смеси, затем из первого стакана во второй добавили ещё 1 ложку, а из второго в первый — 2 ложки. После каждого переливания смеси тщательно перемешивали. Чего стало больше — молока в кофе или кофе в молоке? Ответ обоснуйте.

Решение 5.

Для решения этой задачи не нужно отслеживать точный состав смеси после каждого шага. Можно применить более общее рассуждение, основанное на сохранении объемов.

Пусть начальный объем молока в первом стакане и начальный объем кофе во втором стакане одинаковы и равны $V$.

Проанализируем все переливания:

• Из первого стакана во второй перелили: $4$ ложки $+ 1$ ложка $= 5$ ложек.
• Из второго стакана в первый перелили: $3$ ложки $+ 2$ ложки $= 5$ ложек.

Поскольку объем жидкости, перелитой из каждого стакана, равен объему жидкости, влитой обратно, конечный объем жидкости в каждом стакане остался таким же, как и вначале, то есть равен $V$.

Теперь рассмотрим состав жидкостей в стаканах в конце всех манипуляций. Пусть $V_{м1}$ — это конечный объем молока в первом стакане, а $V_{к1}$ — конечный объем кофе в первом стакане. Общий объем жидкости в первом стакане равен $V$, следовательно:

$V_{м1} + V_{к1} = V$

Изначально общее количество молока в системе было $V$. В конце оно распределено между двумя стаканами. Если в первом стакане осталось $V_{м1}$ молока, то во второй стакан попало некоторое количество молока, обозначим его $V_{м2}$. Общее количество молока не изменилось, поэтому:

$V_{м1} + V_{м2} = V$

Теперь у нас есть два равенства, правые части которых равны $V$:

$V_{м1} + V_{к1} = V$

$V_{м1} + V_{м2} = V$

Приравнивая левые части этих уравнений, получаем:

$V_{м1} + V_{к1} = V_{м1} + V_{м2}$

Вычтем из обеих частей $V_{м1}$:

$V_{к1} = V_{м2}$

Величина $V_{к1}$ — это объем кофе, оказавшийся в первом стакане (то есть «кофе в молоке»). Величина $V_{м2}$ — это объем молока, оказавшийся во втором стакане (то есть «молока в кофе»). Таким образом, мы доказали, что количество молока в кофе в точности равно количеству кофе в молоке.

Ответ: Количество молока в кофе равно количеству кофе в молоке.