Номер 2.186, страница 81 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Отношения, пропорции, проценты. Дополнения к главе 2. Занимательные задачи - номер 2.186, страница 81.

Условие.

2.186. Разменяйте 25-рублёвую купюру одиннадцатью купюрами достоинством 1, 3 и 5 р.

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество купюр достоинством 1 рубль, $y$ — количество купюр достоинством 3 рубля, и $z$ — количество купюр достоинством 5 рублей. По условию, $x$, $y$ и $z$ должны быть целыми неотрицательными числами.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Уравнение по общему количеству купюр, которое равно 11:
$x + y + z = 11$

2. Уравнение по общей сумме денег, которая должна составлять 25 рублей:
$1 \cdot x + 3 \cdot y + 5 \cdot z = 25$

Таким образом, получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x + y + z = 11 \\ x + 3y + 5z = 25 \end{cases}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:
$(x + 3y + 5z) - (x + y + z) = 25 - 11$
$2y + 4z = 14$

Разделим обе части полученного уравнения на 2:
$y + 2z = 7$

Отсюда можно выразить $y$ через $z$:
$y = 7 - 2z$

Поскольку количество купюр $y$ и $z$ не может быть отрицательным ($y \ge 0$ и $z \ge 0$), мы можем определить возможные значения для $z$. Из уравнения $y = 7 - 2z$ следует, что $7 - 2z \ge 0$, то есть $2z \le 7$, или $z \le 3.5$. Так как $z$ — целое число, оно может принимать значения 0, 1, 2, 3. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: $z=0$
Тогда $y = 7 - 2(0) = 7$.
Подставим $y$ и $z$ в первое уравнение системы: $x + 7 + 0 = 11$, откуда $x = 4$.
Проверяем: $4 \cdot 1 + 7 \cdot 3 + 0 \cdot 5 = 4 + 21 = 25$.
Получаем первое решение: 4 купюры по 1 р., 7 купюр по 3 р., 0 купюр по 5 р.

Случай 2: $z=1$
Тогда $y = 7 - 2(1) = 5$.
Подставим $y$ и $z$ в первое уравнение системы: $x + 5 + 1 = 11$, откуда $x = 5$.
Проверяем: $5 \cdot 1 + 5 \cdot 3 + 1 \cdot 5 = 5 + 15 + 5 = 25$.
Получаем второе решение: 5 купюр по 1 р., 5 купюр по 3 р., 1 купюра по 5 р.

Случай 3: $z=2$
Тогда $y = 7 - 2(2) = 3$.
Подставим $y$ и $z$ в первое уравнение системы: $x + 3 + 2 = 11$, откуда $x = 6$.
Проверяем: $6 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 5 = 6 + 9 + 10 = 25$.
Получаем третье решение: 6 купюр по 1 р., 3 купюры по 3 р., 2 купюры по 5 р.

Случай 4: $z=3$
Тогда $y = 7 - 2(3) = 1$.
Подставим $y$ и $z$ в первое уравнение системы: $x + 1 + 3 = 11$, откуда $x = 7$.
Проверяем: $7 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 = 7 + 3 + 15 = 25$.
Получаем четвертое решение: 7 купюр по 1 р., 1 купюра по 3 р., 3 купюры по 5 р.

Если $z$ будет равно 4 или больше, значение $y$ станет отрицательным, что невозможно. Следовательно, мы нашли все возможные варианты.

Ответ: Задачу можно решить четырьмя способами:

• 4 купюры по 1 рублю, 7 купюр по 3 рубля;
• 5 купюр по 1 рублю, 5 купюр по 3 рубля, 1 купюра по 5 рублей;
• 6 купюр по 1 рублю, 3 купюры по 3 рубля, 2 купюры по 5 рублей;
• 7 купюр по 1 рублю, 1 купюра по 3 рубля, 3 купюры по 5 рублей.