Номер 2.181, страница 75 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Отношения, пропорции, проценты. Дополнения к главе 2. Вероятность события - номер 2.181, страница 75.

Условие.

2.181. Задача Эйлера.

Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно.

Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу?

Решение 1.

Решение 5.

Это классическая задача комбинаторики, известная как "задача о беспорядках" или "задача о шляпах". Нам нужно найти количество способов раздать шляпы так, чтобы ни один из трех господ не получил свою собственную.

Обозначим господ как Г1, Г2, Г3, а их шляпы как Ш1, Ш2, Ш3 соответственно.

Сначала найдем общее количество способов, которыми можно раздать три шляпы трем господам. Это число всех возможных перестановок из 3 элементов:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Теперь перечислим все 6 возможных вариантов распределения шляп и проверим, какие из них удовлетворяют условию (никто не получает свою шляпу). В скобках указано, какую шляпу получил каждый господин (Г1, Г2, Г3):

1. (Ш1, Ш2, Ш3) — все получили свои шляпы. Этот вариант не подходит.
2. (Ш1, Ш3, Ш2) — Г1 получил свою шляпу. Этот вариант не подходит.
3. (Ш2, Ш1, Ш3) — Г3 получил свою шляпу. Этот вариант не подходит.
4. (Ш2, Ш3, Ш1) — Г1 получил Ш2, Г2 получил Ш3, а Г3 получил Ш1. Никто не получил свою шляпу. Этот вариант подходит.
5. (Ш3, Ш1, Ш2) — Г1 получил Ш3, Г2 получил Ш1, а Г3 получил Ш2. Никто не получил свою шляпу. Этот вариант подходит.
6. (Ш3, Ш2, Ш1) — Г2 получил свою шляпу. Этот вариант не подходит.

Таким образом, из 6 возможных способов раздачи шляп только 2 удовлетворяют условию задачи.

Более формально, число таких вариантов называется субфакториалом числа $n$ (в данном случае $n=3$) и обозначается как $!n$ или $D_n$. Формула для вычисления:
$D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$

Для $n=3$:
$D_3 = 3! \left( \frac{(-1)^0}{0!} + \frac{(-1)^1}{1!} + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} \right) = 6 \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) = 6 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) = 6 \left( \frac{3-1}{6} \right) = 2$

Ответ: 2.