Номер 2.179, страница 75 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 2. Вероятность события. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.179, страница 75.

Условие.

2.179. Витя задумал число, записанное цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения. Коля пытается это число угадать. Какова вероятность того, что Коля угадает число с первого раза, если это число:

а) двузначное;

б) трёхзначное;

в) четырёхзначное?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Вероятность события определяется по формуле классической вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $m$ - число благоприятных исходов, а $n$ - общее число равновозможных исходов. В данном случае благоприятный исход один - Коля угадал загаданное число, поэтому $m=1$. Общее число исходов $n$ - это количество всех возможных двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения. Это число равно числу размещений из 5 элементов по 2. Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=5$ и $k=2$. $n = A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 4 \cdot 5 = 20$. Таким образом, существует 20 различных двузначных чисел, которые можно составить из данных цифр. Вероятность угадать число с первого раза равна: $P = \frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{1}{20}$

б) Аналогично пункту а), число благоприятных исходов $m=1$. Общее число исходов $n$ - это количество всех возможных трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения. Это число равно числу размещений из 5 элементов по 3. В данном случае $n=5$ и $k=3$. $n = A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{1 \cdot 2} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$. Таким образом, существует 60 различных трёхзначных чисел. Вероятность угадать число с первого раза равна: $P = \frac{1}{60}$.
Ответ: $\frac{1}{60}$

в) Число благоприятных исходов $m=1$. Общее число исходов $n$ - это количество всех возможных четырёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения. Это число равно числу размещений из 5 элементов по 4. В данном случае $n=5$ и $k=4$. $n = A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$. Таким образом, существует 120 различных четырёхзначных чисел. Вероятность угадать число с первого раза равна: $P = \frac{1}{120}$.
Ответ: $\frac{1}{120}$