Номер 2.184, страница 78 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Отношения, пропорции, проценты. Дополнения к главе 2. Вычисление площади фигуры на клетчатой бумаге - номер 2.184, страница 78.

Условие.

2.184. Найдите площадь фигуры с криволинейной границей, изображенной на рисунке 38.

а) б) в) г) Рис. 38

Решение 1.

Решение 5.

а) Фигура, изображенная на рисунке, представляет собой эллипс. Из сетки видно, что его большая ось (вертикальная) равна 8 клеткам, а малая ось (горизонтальная) — 6 клеткам. Соответственно, большая полуось $a = 8 / 2 = 4$, а малая полуось $b = 6 / 2 = 3$. Площадь эллипса вычисляется по формуле $S = \pi ab$.
Подставив значения полуосей, получаем:
$S = \pi \cdot 4 \cdot 3 = 12\pi$.
Ответ: $12\pi$ кв. ед.

б) Эту фигуру можно представить как композицию нескольких простых фигур: центрального прямоугольника и четырех полукругов, пристроенных к его сторонам.
1. Центральный прямоугольник имеет размеры 4 на 2 клетки. Его площадь $S_{прям} = 4 \cdot 2 = 8$.
2. К верхней и нижней сторонам прямоугольника пристроены два полукруга. Диаметр каждого из них равен 4, значит радиус $r_1 = 2$. Суммарная площадь этих двух полукругов равна площади целого круга с радиусом 2: $S_1 = \pi r_1^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.
3. К левой и правой сторонам пристроены два полукруга. Диаметр каждого из них равен 2, значит радиус $r_2 = 1$. Их суммарная площадь равна площади круга с радиусом 1: $S_2 = \pi r_2^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$.
Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих частей:
$S = S_{прям} + S_1 + S_2 = 8 + 4\pi + \pi = 8 + 5\pi$.
Ответ: $8 + 5\pi$ кв. ед.

в) Фигура представляет собой квадрат, из которого вырезан круг.
1. Сторона квадрата равна 8 клеткам. Его площадь $S_{квадрат} = 8^2 = 64$.
2. Диаметр вырезанного круга равен 4 клеткам, следовательно, его радиус $r = 4 / 2 = 2$. Площадь круга $S_{круг} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.
Площадь закрашенной фигуры равна разности площадей квадрата и круга:
$S = S_{квадрат} - S_{круг} = 64 - 4\pi$.
Ответ: $64 - 4\pi$ кв. ед.

г) Площадь данной фигуры можно найти методом перестроения (или компенсации). Фигура симметрична относительно горизонтальной линии, проходящей на уровне 4 клеток от низа.
Рассмотрим прямоугольник размером 8 на 2 клетки, расположенный между вертикальными линиями на расстоянии 1 и 9 от левого края и горизонтальными линиями на расстоянии 3 и 5 от нижнего края. Его площадь $S_{прям} = 8 \cdot 2 = 16$.
Верхняя граница фигуры "изгибается" вокруг верхней стороны этого прямоугольника ($y=5$). При этом площадь выпуклой части (над отрезком от $x=3$ до $x=7$) в точности компенсируется площадями двух вогнутых частей (под отрезками от $x=1$ до $x=3$ и от $x=7$ до $x=9$). То есть, "добавленная" площадь равна "вырезанной". Аналогичная ситуация и с нижней границей фигуры, которая изгибается вокруг нижней стороны прямоугольника ($y=3$).
Таким образом, общая площадь фигуры равна площади этого центрального прямоугольника.
$S = 8 \cdot 2 = 16$.
Ответ: 16 кв. ед.