Номер 2.178, страница 75 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Отношения, пропорции, проценты. Дополнения к главе 2. Вероятность события - номер 2.178, страница 75.

Условие.

Придумываем задачу

2.178. Придумайте справедливую и несправедливую игру:

а) с двумя игральными кубиками;

б) с двумя монетами.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Игра называется справедливой, если у всех игроков равные шансы на победу. В противном случае игра является несправедливой.

а) с двумя игральными кубиками

При броске двух игральных кубиков общее число равновозможных исходов равно $6 \times 6 = 36$.

Справедливая игра:
Два игрока бросают два кубика. Игрок 1 выигрывает, если сумма выпавших очков является чётным числом. Игрок 2 выигрывает, если сумма выпавших очков является нечётным числом.
Проверим, равны ли шансы игроков.
Количество исходов, при которых сумма чётная (выигрыш Игрока 1):(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6). Всего 18 исходов.
Вероятность выигрыша Игрока 1: $P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Количество исходов, при которых сумма нечётная (выигрыш Игрока 2):(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5). Всего 18 исходов.
Вероятность выигрыша Игрока 2: $P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Так как вероятности выигрыша игроков равны, игра является справедливой.

Несправедливая игра:
Два игрока бросают два кубика. Игрок 1 выигрывает, если сумма очков больше 8. Игрок 2 выигрывает, если сумма очков не превышает 8.
Найдём количество исходов для каждого игрока.
Исходы для Игрока 1 (сумма > 8):
Сумма 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) - 4 исхода
Сумма 10: (4,6), (5,5), (6,4) - 3 исхода
Сумма 11: (5,6), (6,5) - 2 исхода
Сумма 12: (6,6) - 1 исход
Всего для Игрока 1: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ исходов. Вероятность выигрыша: $P(A) = \frac{10}{36}$.
Количество исходов для Игрока 2 (сумма ≤ 8) можно найти, вычтя исходы Игрока 1 из общего числа исходов: $36 - 10 = 26$ исходов. Вероятность выигрыша: $P(B) = \frac{26}{36}$.
Так как $\frac{10}{36} \neq \frac{26}{36}$, шансы игроков не равны. Эта игра является несправедливой.

Ответ: Примеры справедливой и несправедливой игр с двумя кубиками приведены выше. Справедливая игра: один игрок выигрывает при чётной сумме, другой — при нечётной. Несправедливая игра: один игрок выигрывает, если сумма больше 8, а другой — если сумма не больше 8.

б) с двумя монетами

При броске двух монет возможны 4 равновероятных исхода: Орёл-Орёл (ОО), Орёл-Решка (ОР), Решка-Орёл (РО), Решка-Решка (РР).

Справедливая игра:
Два игрока бросают две монеты. Игрок 1 выигрывает, если выпали одинаковые стороны (ОО или РР). Игрок 2 выигрывает, если выпали разные стороны (ОР или РО).
Количество исходов для Игрока 1: 2 (ОО, РР). Вероятность выигрыша: $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Количество исходов для Игрока 2: 2 (ОР, РО). Вероятность выигрыша: $P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Вероятности выигрыша равны, следовательно, игра справедливая.

Несправедливая игра:
Два игрока бросают две монеты. Игрок 1 выигрывает, если выпало два орла (ОО). Игрок 2 выигрывает во всех остальных случаях (ОР, РО, РР).
Количество исходов для Игрока 1: 1 (ОО). Вероятность выигрыша: $P(A) = \frac{1}{4}$.
Количество исходов для Игрока 2: 3 (ОР, РО, РР). Вероятность выигрыша: $P(B) = \frac{3}{4}$.
Так как $\frac{1}{4} \neq \frac{3}{4}$, игра является несправедливой.

Ответ: Примеры справедливой и несправедливой игр с двумя монетами приведены выше. Справедливая игра: один игрок выигрывает, если стороны одинаковые, другой — если разные. Несправедливая игра: один игрок выигрывает, если выпало два орла, а другой — в остальных случаях.