Страница 87 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.3. Как называют числа, расположенные в ряду целых чисел:

а) справа от нуля;

б) слева от нуля?

а) В ряду целых чисел, который обычно представляют на числовой прямой, точкой отсчета является ноль. Числа, расположенные справа от нуля, имеют значения больше нуля. Такие числа называют положительными целыми числами или, короче, положительными числами. К ним относятся, например, числа $1, 2, 3, 10, 48$. Множество всех положительных целых чисел ($Z^+ = \{1, 2, 3, \dots\}$) также полностью совпадает с множеством натуральных чисел.
Ответ: положительные числа.

б) Числа, расположенные в ряду целых чисел слева от нуля, имеют значения меньше нуля. Такие числа называют отрицательными целыми числами или просто отрицательными числами. Каждое отрицательное число является противоположным некоторому положительному числу (например, $-5$ противоположно $5$). Примеры отрицательных чисел: $-1, -2, -9, -150$. Множество отрицательных целых чисел можно обозначить как $Z^- = \{\dots, -3, -2, -1\}$.
Ответ: отрицательные числа.

а) справа от нуля;

б) слева от нуля.

3.4. Является ли число $0$:

а) положительным;

б) отрицательным?

Число 0 занимает особое место в математике. Оно не является ни положительным, ни отрицательным. Ноль — это точка отсчёта на числовой оси, разделяющая множество положительных чисел и множество отрицательных чисел.

а) положительным

По определению, число является положительным, если оно строго больше нуля ($x > 0$). Для числа 0 это условие не выполняется, так как неравенство $0 > 0$ является ложным. Следовательно, число 0 не является положительным. Однако, 0 относится к множеству неотрицательных чисел, то есть чисел, которые больше или равны нулю ($x \ge 0$).

Ответ: нет, число 0 не является положительным.

б) отрицательным

По определению, число является отрицательным, если оно строго меньше нуля ($x < 0$). Для числа 0 это условие также не выполняется, поскольку неравенство $0 < 0$ является ложным. Следовательно, число 0 не является отрицательным. Однако, 0 относится к множеству неположительных чисел, то есть чисел, которые меньше или равны нулю ($x \le 0$).

Ответ: нет, число 0 не является отрицательным.

3.5. Прочитайте числа: $+2$, $-3$, $0$, $+7$, $-9$.

а) Какие из этих чисел расположены в ряду целых чисел справа от нуля; слева от нуля?

б) Какие из этих чисел являются положительными; отрицательными?

Прочитаем числа: плюс два, минус три, ноль, плюс семь, минус девять.

а) На числовой прямой справа от нуля находятся числа, которые больше нуля (положительные), а слева от нуля — числа, которые меньше нуля (отрицательные). Число $0$ является началом отсчета и не расположено ни справа, ни слева от себя.
Из заданного ряда чисел $+2, -3, 0, +7, -9$:
• Числа $+2$ и $+7$ больше нуля, поэтому они расположены справа от нуля.
• Числа $-3$ и $-9$ меньше нуля, поэтому они расположены слева от нуля.
Ответ: Справа от нуля: $+2, +7$. Слева от нуля: $-3, -9$.

б) Положительные числа — это числа, которые больше нуля. Отрицательные числа — это числа, которые меньше нуля. Число $0$ не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам.
Из заданного ряда чисел $+2, -3, 0, +7, -9$:
• Положительные числа (больше $0$): $+2$ и $+7$.
• Отрицательные числа (меньше $0$): $-3$ и $-9$.
Ответ: Положительные: $+2, +7$. Отрицательные: $-3, -9$.

3.6. Прочитайте записи и объясните их смысл:

Москва $-2^\circ$, Калуга $-8^\circ$,

Тверь $+3^\circ$.

Эти записи показывают температуру воздуха в различных городах. Температура измеряется в градусах Цельсия ($^\circ$). Знак «минус» ($-$) перед числом означает, что температура ниже нуля (мороз), а знак «плюс» ($+$) — что температура выше нуля (тепло).

Москва $-2^\circ$
Эта запись означает, что в городе Москва температура воздуха составляет 2 градуса ниже нуля, или минус два градуса Цельсия. Такую температуру в разговорной речи называют «два градуса мороза».
Ответ: В Москве температура воздуха составляет $-2^\circ$ (два градуса мороза).

Калуга $-8^\circ$
Эта запись означает, что в городе Калуга температура воздуха составляет 8 градусов ниже нуля, или минус восемь градусов Цельсия. Такую температуру в разговорной речи называют «восемь градусов мороза».
Ответ: В Калуге температура воздуха составляет $-8^\circ$ (восемь градусов мороза).

Тверь $+3^\circ$
Эта запись означает, что в городе Тверь температура воздуха составляет 3 градуса выше нуля, или плюс три градуса Цельсия. Такую температуру в разговорной речи называют «три градуса тепла».
Ответ: В Твери температура воздуха составляет $+3^\circ$ (три градуса тепла).

3.7. Используя знаки «+» и «–», запишите:

а) $3^\circ$ тепла;

б) $4^\circ$ тепла;

в) $6^\circ$ выше нуля;

г) $2^\circ$ мороза;

д) $5^\circ$ ниже нуля;

е) $1^\circ$ холода.

а) Понятие «тепла» применительно к температуре означает, что она выше нуля. Положительные значения принято записывать со знаком «+».
Ответ: $+3°$

б) Аналогично предыдущему пункту, «4° тепла» означает положительную температуру.
Ответ: $+4°$

в) Выражение «выше нуля» прямо указывает на положительное значение температуры, которое записывается со знаком «+».
Ответ: $+6°$

г) Понятие «мороза» означает, что температура ниже нуля. Отрицательные значения принято записывать со знаком «-».
Ответ: $-2°$

д) Выражение «ниже нуля» прямо указывает на отрицательное значение температуры, которое записывается со знаком «-».
Ответ: $-5°$

е) Понятие «холода», как и «мороза», означает, что температура ниже нуля, то есть является отрицательной.
Ответ: $-1°$

3.8. Приведите пример:

а) конечного множества чисел;

б) бесконечного множества чисел.

а) Конечное множество — это множество, которое содержит определенное, конечное число элементов. Это означает, что мы можем, по крайней мере теоретически, пересчитать все его элементы.
Например, множество дней в неделе: {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}. Это множество содержит 7 элементов.
В качестве примера конечного множества чисел можно привести множество цифр десятичной системы счисления.
Ответ: Множество цифр $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

б) Бесконечное множество — это множество, содержащее неограниченное число элементов. Элементы такого множества невозможно пересчитать, так как за любым элементом всегда найдется следующий.
Примерами бесконечных множеств чисел являются основные числовые множества:
- Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.
- Множество целых чисел $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
- Множество всех четных чисел $E = \{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\}$.
Ответ: Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.