Страница 94 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.49. С помощью ряда целых чисел определите сумму:

а) $(+3) + (+2)$;

б) $(+3) + (-2)$;

в) $(-3) + (+2)$;

г) $(-3) + (-2)$.

а) Чтобы определить сумму $(+3) + (+2)$ с помощью ряда целых чисел, представим себе числовую прямую. Мы начинаем движение от точки $0$. Первое слагаемое, $(+3)$, означает, что мы должны переместиться на $3$ единицы вправо (в положительном направлении). Мы окажемся в точке $3$. Второе слагаемое, $(+2)$, означает, что от текущего положения (точки $3$) мы должны переместиться еще на $2$ единицы вправо. В результате мы остановимся в точке $5$.
Следовательно, $(+3) + (+2) = 5$.
Ответ: 5

б) Чтобы определить сумму $(+3) + (-2)$, мы начинаем движение от точки $0$. Первое слагаемое, $(+3)$, означает перемещение на $3$ единицы вправо, до точки $3$. Второе слагаемое, $(-2)$, означает, что от текущего положения (точки $3$) мы должны переместиться на $2$ единицы влево (в отрицательном направлении). В результате мы остановимся в точке $1$.
Следовательно, $(+3) + (-2) = 1$.
Ответ: 1

в) Чтобы определить сумму $(-3) + (+2)$, мы начинаем движение от точки $0$. Первое слагаемое, $(-3)$, означает перемещение на $3$ единицы влево, до точки $-3$. Второе слагаемое, $(+2)$, означает, что от текущего положения (точки $-3$) мы должны переместиться на $2$ единицы вправо. В результате мы остановимся в точке $-1$.
Следовательно, $(-3) + (+2) = -1$.
Ответ: -1

г) Чтобы определить сумму $(-3) + (-2)$, мы начинаем движение от точки $0$. Первое слагаемое, $(-3)$, означает перемещение на $3$ единицы влево, до точки $-3$. Второе слагаемое, $(-2)$, означает, что от текущего положения (точки $-3$) мы должны переместиться еще на $2$ единицы влево. В результате мы остановимся в точке $-5$.
Следовательно, $(-3) + (-2) = -5$.
Ответ: -5

3.50. Как сложить два числа:

а) с одинаковыми знаками;

б) с разными знаками?

а) с одинаковыми знаками

Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, необходимо выполнить следующие действия:
1. Сложить их модули (абсолютные величины).
2. Перед полученным результатом поставить их общий знак.

Пример 1: Сложение двух положительных чисел.
Сложим числа $5$ и $12$. Оба числа имеют знак «$+$».
Складываем их модули: $|5| + |12| = 5 + 12 = 17$.
Общий знак «$+$», поэтому результат равен $17$.
$5 + 12 = 17$.

Пример 2: Сложение двух отрицательных чисел.
Сложим числа $-8$ и $-4$. Оба числа имеют знак «$-$».
Складываем их модули: $|-8| + |-4| = 8 + 4 = 12$.
Перед результатом ставим общий знак «$-$».
$(-8) + (-4) = -12$.

Ответ: Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, нужно сложить их модули и поставить перед суммой их общий знак.

б) с разными знаками

Чтобы сложить два числа с разными знаками, необходимо выполнить следующие действия:
1. Найти модули этих чисел.
2. Из большего модуля вычесть меньший.
3. Перед полученным результатом поставить знак того числа, модуль которого был больше.

Пример 1:
Сложим числа $-18$ и $5$.
1. Находим модули: $|-18| = 18$, $|5| = 5$.
2. Сравниваем модули: $18 > 5$. Знак числа с большим модулем — «$-$».
3. Из большего модуля вычитаем меньший: $18 - 5 = 13$.
4. Перед результатом ставим знак «$-$».
$-18 + 5 = -13$.

Пример 2:
Сложим числа $20$ и $-7$.
1. Находим модули: $|20| = 20$, $|-7| = 7$.
2. Сравниваем модули: $20 > 7$. Знак числа с большим модулем — «$+$».
3. Из большего модуля вычитаем меньший: $20 - 7 = 13$.
4. Перед результатом ставим знак «$+$» (или ничего не ставим).
$20 + (-7) = 13$.

Ответ: Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед полученной разностью знак того слагаемого, модуль которого больше.

3.51. Чему равна сумма противоположных чисел?

Противоположными называются два числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Это значит, что у них одинаковый модуль (абсолютная величина), но разные знаки. Для любого числа $a$ противоположным ему будет число $-a$.

Например, для числа 8 противоположным является число -8. Для числа -2,5 противоположным является 2,5. Число 0 противоположно самому себе.

Чтобы найти сумму противоположных чисел, нужно сложить число $a$ и противоположное ему число $-a$. Это можно записать в виде выражения: $a + (-a)$.

Прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию соответствующего положительного числа, поэтому выражение можно переписать так: $a - a$.

При вычитании из любого числа самого себя в результате всегда получается ноль.

Следовательно, для любого числа $a$ справедливо равенство:
$a + (-a) = a - a = 0$

Рассмотрим на примерах:
$8 + (-8) = 8 - 8 = 0$
$(-2,5) + 2,5 = 0$

Таким образом, сумма противоположных чисел всегда равна нулю.

Ответ: 0.

3.52. Чему равна сумма целого числа и нуля?

Сумма любого целого числа и нуля всегда равна самому этому целому числу. Это одно из основных свойств нуля в арифметике. Ноль является нейтральным элементом для операции сложения, что означает, что его добавление к любому числу не изменяет это число.

Если обозначить любое целое число переменной $a$, то это свойство можно записать в виде формулы:

$a + 0 = a$

Рассмотрим на примерах:

Для положительного целого числа: $12 + 0 = 12$

Для отрицательного целого числа: $-7 + 0 = -7$

Для самого нуля (который также является целым числом): $0 + 0 = 0$

Таким образом, прибавление нуля к любому целому числу оставляет это число без изменений.

Ответ: самому этому целому числу.

3.53. Используя правило сложения, вычислите:

a) $+7 + (+9) = + (7 + 9) = ...;$ б) $-4 + (-6) = - (6 + 4) = ...;$

в) $-5 + (-6);$ г) $-5 + (-9);$ д) $-6 + (-1);$ е) $-1 + (-6).$

а) Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками (в данном случае оба положительные), нужно сложить их модули и поставить перед суммой их общий знак (в данном случае плюс, который можно опустить).
$+7 + (+9) = +(7 + 9) = 16$.
Ответ: 16.

б) Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками (в данном случае оба отрицательные), нужно сложить их модули и поставить перед суммой их общий знак (минус).
$-4 + (-6) = -(4 + 6) = -10$.
Ответ: -10.

в) Складываем два отрицательных числа. Согласно правилу сложения чисел с одинаковыми знаками, складываем их модули ($|-5| = 5$ и $|-6| = 6$) и ставим перед результатом знак минус.
$-5 + (-6) = -(5 + 6) = -11$.
Ответ: -11.

г) Складываем два отрицательных числа. Складываем их модули ($|-5| = 5$ и $|-9| = 9$) и ставим перед результатом знак минус.
$-5 + (-9) = -(5 + 9) = -14$.
Ответ: -14.

д) Складываем два отрицательных числа. Складываем их модули ($|-6| = 6$ и $|-1| = 1$) и ставим перед результатом знак минус.
$-6 + (-1) = -(6 + 1) = -7$.
Ответ: -7.

е) Складываем два отрицательных числа. Складываем их модули ($|-1| = 1$ и $|-6| = 6$) и ставим перед результатом знак минус.
$-1 + (-6) = -(1 + 6) = -7$.
Ответ: -7.

3.54. а) $-1 + (-2);$

б) $-2 + (-1);$

в) $-2 + (-4);$

г) $-5 + (-1);$

д) $-3 + (-8);$

е) $-4 + (-11).$

а)

Для сложения двух отрицательных чисел необходимо сложить их модули (абсолютные величины) и поставить перед полученной суммой знак «-».

$-1 + (-2) = -(|-1| + |-2|) = -(1 + 2) = -3$

Ответ: -3

б)

Применяем правило сложения отрицательных чисел: складываем их модули и ставим перед результатом знак «-».

$-2 + (-1) = -(|-2| + |-1|) = -(2 + 1) = -3$

Ответ: -3

в)

Чтобы сложить два отрицательных числа, складываем их модули и перед полученной суммой ставим знак «-».

$-2 + (-4) = -(|-2| + |-4|) = -(2 + 4) = -6$

Ответ: -6

г)

Для сложения двух отрицательных чисел необходимо сложить их модули и поставить перед полученной суммой знак «-».

$-5 + (-1) = -(|-5| + |-1|) = -(5 + 1) = -6$

Ответ: -6

д)

Применяем правило сложения отрицательных чисел: складываем их модули и ставим перед результатом знак «-».

$-3 + (-8) = -(|-3| + |-8|) = -(3 + 8) = -11$

Ответ: -11

е)

Чтобы сложить два отрицательных числа, складываем их модули и перед полученной суммой ставим знак «-».

$-4 + (-11) = -(|-4| + |-11|) = -(4 + 11) = -15$

Ответ: -15

3.55 a) $-9 + (-2);$

Г) $+12 + (+23);$

Б) $-7 + (-3);$

Д) $-25 + (-7);$

В) $-13 + (-8);$

е) $+18 + (+42).$

а) Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным результатом поставить знак минус. Модуль числа $-9$ равен $9$, а модуль числа $-2$ равен $2$. Складываем модули: $9 + 2 = 11$. Ставим знак минус перед результатом.
$-9 + (-2) = -(9 + 2) = -11$.
Ответ: $-11$.

б) Складываем два отрицательных числа. Для этого складываем их модули ($|{-7}| = 7$ и $|{-3}| = 3$) и ставим перед суммой знак минус.
$-7 + (-3) = -(7 + 3) = -10$.
Ответ: $-10$.

в) Складываем два отрицательных числа. Складываем их модули ($|{-13}| = 13$ и $|{-8}| = 8$) и ставим перед суммой знак минус.
$-13 + (-8) = -(13 + 8) = -21$.
Ответ: $-21$.

г) Чтобы сложить два положительных числа, нужно сложить их как обычные натуральные числа.
$+12 + (+23) = 12 + 23 = 35$.
Ответ: $35$.

д) Складываем два отрицательных числа. Складываем их модули ($|{-25}| = 25$ и $|{-7}| = 7$) и ставим перед суммой знак минус.
$-25 + (-7) = -(25 + 7) = -32$.
Ответ: $-32$.

е) Складываем два положительных числа.
$+18 + (+42) = 18 + 42 = 60$.
Ответ: $60$.

3.56. Используя правило сложения, вычислите:

а) $ +7+(-6)=+(7-6)=+1 $, так как $ |7|>|-6| $;

б) $ -18+(+12)=-(18-12)=-6 $, так как $ |-18|>|12| $;

в) $ -8+(+9) $;

г) $ +8+(-9) $;

д) $ +12+(-15) $;

е) $ -13+(+18) $;

ж) $ -2+(+18) $;

з) $ +25+(-32) $.

в) Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. В данном случае $|+9| > |-8|$, поэтому результат будет положительным.

$-8 + (+9) = +(9 - 8) = 1$.

Ответ: 1.

г) Складываем $+8$ и $-9$. Модуль $|-9| > |+8|$, поэтому знак результата будет отрицательным.

$+8 + (-9) = -(9 - 8) = -1$.

Ответ: -1.

д) Складываем $+12$ и $-15$. Модуль $|-15| > |+12|$, поэтому знак результата будет отрицательным.

$+12 + (-15) = -(15 - 12) = -3$.

Ответ: -3.

е) Складываем $-13$ и $+18$. Модуль $|+18| > |-13|$, поэтому знак результата будет положительным.

$-13 + (+18) = +(18 - 13) = 5$.

Ответ: 5.

ж) Складываем $-2$ и $+18$. Модуль $|+18| > |-2|$, поэтому знак результата будет положительным.

$-2 + (+18) = +(18 - 2) = 16$.

Ответ: 16.

з) Складываем $+25$ и $-32$. Модуль $|-32| > |+25|$, поэтому знак результата будет отрицательным.

$+25 + (-32) = -(32 - 25) = -7$.

Ответ: -7.

3.57. Найдите сумму:

а) $-1 + (+2);$

б) $+5 + (-2);$

в) $-4 + (+1);$

г) $-8 + (+2);$

д) $+7 + (-9);$

е) $-10 + (+4).$

а) $-1 + (+2)$. Чтобы найти сумму чисел с разными знаками, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и поставить перед результатом знак числа с большим модулем. В данном случае $|+2| > |-1|$, поэтому результат будет положительным. Вычисляем разность модулей: $|+2| - |-1| = 2 - 1 = 1$.
$-1 + (+2) = 1$.
Ответ: 1

б) $+5 + (-2)$. Сложение с отрицательным числом равносильно вычитанию. Поэтому выражение можно переписать как $5 - 2$.
$5 - 2 = 3$.
Ответ: 3

в) $-4 + (+1)$. Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $-4$ равен $4$, а модуль числа $+1$ равен $1$. Так как $|-4| > |+1|$, результат будет отрицательным. Вычитаем из большего модуля меньший: $|-4| - |+1| = 4 - 1 = 3$. Ставим знак «минус» перед результатом.
$-4 + (+1) = -3$.
Ответ: -3

г) $-8 + (+2)$. Это сложение чисел с разными знаками. Модуль числа $-8$ равен $8$, модуль числа $+2$ равен $2$. Так как $|-8| > |+2|$, знак результата будет «минус». Находим разность модулей: $|-8| - |+2| = 8 - 2 = 6$.
$-8 + (+2) = -6$.
Ответ: -6

д) $+7 + (-9)$. Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $+7$ равен $7$, модуль числа $-9$ равен $9$. Так как $|-9| > |+7|$, результат будет отрицательным. Находим разность модулей: $|-9| - |+7| = 9 - 7 = 2$. Ставим знак «минус» перед результатом.
$+7 + (-9) = -2$.
Ответ: -2

е) $-10 + (+4)$. Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $-10$ равен $10$, а модуль числа $+4$ равен $4$. Так как $|-10| > |+4|$, знак суммы будет «минус». Вычитаем из большего модуля меньший: $|-10| - |+4| = 10 - 4 = 6$.
$-10 + (+4) = -6$.
Ответ: -6