Страница 91 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.33. Сравните натуральные числа:

а) $425$ и $452$;

б) $999$ и $1000$;

в) $579$ и $957$;

г) $12456$ и $12459$;

д) $1300$ и $1297$;

е) $13547$ и $1354$.

а) Чтобы сравнить числа 425 и 452, имеющие одинаковое количество цифр, нужно поразрядно сравнить их слева направо. В разряде сотен у обоих чисел стоит цифра 4. В разряде десятков у числа 425 стоит цифра 2, а у числа 452 — цифра 5. Так как $2 < 5$, то и все число 425 меньше числа 452.
Ответ: $425 < 452$.

б) Чтобы сравнить числа 999 и 1000, нужно посчитать количество цифр в каждом из них. Число 999 состоит из трех цифр, а число 1000 — из четырех. Натуральное число, в котором больше цифр, всегда больше. Следовательно, 999 меньше 1000.
Ответ: $999 < 1000$.

в) Сравним числа 579 и 957. Оба числа трехзначные. Начинаем сравнение со старшего разряда — сотен. У числа 579 в разряде сотен стоит цифра 5, а у числа 957 — цифра 9. Так как $5 < 9$, то число 579 меньше числа 957.
Ответ: $579 < 957$.

г) Сравним числа 12 456 и 12 459. Оба числа пятизначные. Сравниваем их поразрядно слева направо. Цифры в разрядах десятков тысяч, тысяч, сотен и десятков у них совпадают (1, 2, 4, 5). Сравниваем цифры в разряде единиц: у числа 12 456 это 6, а у числа 12 459 — 9. Так как $6 < 9$, то и число 12 456 меньше числа 12 459.
Ответ: $12 456 < 12 459$.

д) Сравним числа 1300 и 1297. Оба числа четырехзначные. Сравниваем их поразрядно слева направо. Цифры в разряде тысяч совпадают (1). Сравниваем цифры в разряде сотен: у числа 1300 это 3, а у числа 1297 — 2. Так как $3 > 2$, то число 1300 больше числа 1297.
Ответ: $1300 > 1297$.

е) Чтобы сравнить числа 13 547 и 1354, посчитаем количество цифр в каждом. Число 13 547 является пятизначным, а число 1354 — четырехзначным. Натуральное число, в котором больше цифр, всегда больше. Следовательно, 13 547 больше 1354.
Ответ: $13 547 > 1354$.

3.34. Как сравнивают целые числа?

Для сравнения целых чисел существует несколько правил, которые зависят от того, какие числа сравниваются: положительные, отрицательные или ноль. Наиболее универсальным является метод сравнения с помощью координатной прямой.

Общее правило (с использованием координатной прямой)

Чтобы сравнить два целых числа, можно мысленно расположить их на координатной прямой. Из двух чисел большим будет то, которое находится правее, а меньшим — то, которое находится левее.

Например: Сравним числа $-3$ и $2$. На координатной прямой точка с координатой $2$ находится правее точки с координатой $-3$, следовательно, $2 > -3$.

Ответ: Из двух целых чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее, и меньше то, которое расположено левее.

Сравнение положительного и отрицательного числа

Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Это следует из их расположения на координатной прямой: все положительные числа находятся правее нуля, а все отрицательные — левее.

Например: $1 > -100$; $57 > -234$.

Ответ: Любое положительное число больше любого отрицательного числа.

Сравнение с нулем

При сравнении любого целого числа с нулем действуют следующие правила:

• Любое положительное число больше нуля. Например: $5 > 0$.
• Любое отрицательное число меньше нуля. Например: $-5 < 0$.
• Нуль равен самому себе: $0 = 0$.

Ответ: Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля.

Сравнение двух отрицательных чисел

Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Большим будет то число, модуль которого меньше. Меньшим будет то число, модуль которого больше.

Например: Сравним $-15$ и $-8$.
Найдем их модули: $|-15| = 15$ и $|-8| = 8$.
Так как $8 < 15$, то $-8 > -15$.

Ответ: Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Сравнение двух положительных чисел

Сравнение двух положительных целых чисел происходит так же, как и сравнение натуральных чисел. Большим является то число, которое имеет большее значение (и, соответственно, больший модуль).

Например: Сравним $25$ и $13$.
Поскольку $25$ больше $13$, то $25 > 13$.

Ответ: Из двух положительных чисел больше то, у которого модуль больше.

3.35 Какие числа:

а) больше нуля;

б) меньше нуля?

Числа, которые больше нуля, называются положительными числами. На координатной прямой они всегда располагаются справа от нуля. Любое положительное число $x$ можно охарактеризовать неравенством $x > 0$. Перед положительными числами не ставится знак минус, а иногда для уточнения может ставиться знак плюс (+). Примерами положительных чисел являются: $5$; $12,7$; $\frac{1}{2}$; $1000$.

Ответ: Положительные числа.

Числа, которые меньше нуля, называются отрицательными числами. На координатной прямой они всегда располагаются слева от нуля. Обязательным атрибутом отрицательного числа является знак минус (–) перед ним. Любое отрицательное число $x$ удовлетворяет неравенству $x < 0$. Примерами отрицательных чисел являются: $-3$; $-9,1$; $-\frac{5}{6}$; $-200$.

Ответ: Отрицательные числа.

3.36. Какое число больше: положительное или отрицательное?

Для того чтобы определить, какое число больше — положительное или отрицательное, — следует рассмотреть их определения и положение на числовой оси.

Положительным числом называется любое число, которое больше нуля. Если обозначить произвольное положительное число как $a$, то для него справедливо неравенство $a > 0$. Отрицательным числом, в свою очередь, называется любое число, которое меньше нуля. Если обозначить произвольное отрицательное число как $b$, то для него будет справедливо неравенство $b < 0$.

На координатной прямой все положительные числа расположены справа от нуля, а все отрицательные — слева. При сравнении двух чисел большим всегда является то, которое расположено правее на координатной прямой. Так как любое положительное число $a$ находится правее нуля, а любое отрицательное число $b$ — левее нуля, то любое положительное число всегда будет расположено правее любого отрицательного.

Это можно записать в виде двойного неравенства. Мы знаем, что $a > 0$ и $b < 0$ (что эквивалентно $0 > b$). Объединяя эти два неравенства, получаем: $a > 0 > b$. По свойству транзитивности неравенств из $a > 0$ и $0 > b$ следует, что $a > b$. Это доказывает, что любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Например, $5 > -5$, $0.1 > -1000$ и так далее.

Ответ: Положительное число.

3.37. Сформулируйте правило сравнения:

а) целого числа с нулём;

б) положительного числа с отрицательным;

в) отрицательного числа с отрицательным.

а) целого числа с нулём;

Правило сравнения целого числа с нулём заключается в следующем:
1. Любое положительное целое число (число со знаком «+» или без знака, отличное от нуля) всегда больше нуля. Например, $7 > 0$, $123 > 0$.
2. Любое отрицательное целое число (число со знаком «–») всегда меньше нуля. Например, $-5 < 0$, $-100 < 0$.
3. Число нуль равно самому себе ($0 = 0$). Оно не является ни положительным, ни отрицательным.

Ответ: Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля.

б) положительного числа с отрицательным;

При сравнении положительного и отрицательного чисел, положительное число всегда будет больше отрицательного.
Это правило можно легко представить на числовой прямой, где все положительные числа находятся справа от нуля, а все отрицательные — слева. Любая точка, расположенная правее, соответствует большему числу.
Например, сравним числа $1$ и $-500$. Поскольку $1$ — положительное число, а $-500$ — отрицательное, то $1 > -500$.
В общем виде: если число $a$ положительное ($a > 0$), а число $b$ отрицательное ($b < 0$), то всегда $a > b$.

Ответ: Любое положительное число больше любого отрицательного числа.

в) отрицательного числа с отрицательным.

Чтобы сравнить два отрицательных числа, необходимо сравнить их модули (абсолютные величины, то есть значения чисел без знака «–»). Из двух отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше.
На числовой прямой это означает, что из двух отрицательных чисел больше то, которое расположено ближе к нулю (правее).
Например, сравним числа $-20$ и $-12$.
1. Найдём их модули: $|-20| = 20$ и $|-12| = 12$.
2. Сравним модули: $12 < 20$.
3. Поскольку модуль числа $-12$ меньше, чем модуль числа $-20$, то число $-12$ больше, чем $-20$. Записывается это так: $-12 > -20$.

Ответ: Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

3.38. Существует ли:

а) наибольшее натуральное число;

б) наименьшее натуральное число;

в) наибольшее отрицательное целое число;

г) наименьшее отрицательное целое число;

д) наибольшее целое число;

е) наименьшее целое число?

а) наибольшее натуральное число
Нет, не существует. Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ является бесконечным и не ограниченным сверху. Для любого, сколь угодно большого натурального числа $n$, всегда можно указать число, которое больше него, например, $n+1$. Если бы мы предположили, что существует наибольшее натуральное число $M$, то число $M+1$ также было бы натуральным и при этом $M+1 > M$. Это противоречит нашему предположению, что $M$ — наибольшее. Следовательно, наибольшего натурального числа не существует.
Ответ: нет, не существует.

б) наименьшее натуральное число
Да, существует. Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ имеет наименьший элемент. По определению, натуральные числа — это числа, используемые при счете, и счет начинается с 1. Любое другое натуральное число больше 1. Таким образом, 1 является наименьшим натуральным числом.
Ответ: да, существует, это число 1.

в) наибольшее отрицательное целое число
Да, существует. Множество отрицательных целых чисел это $\{..., -3, -2, -1\}$. На числовой оси чем правее находится число, тем оно больше. Число -1 находится правее всех остальных отрицательных целых чисел. Для любого другого отрицательного целого числа $z$ (например, -2, -5, -100) будет верно неравенство $z < -1$. Следовательно, -1 является наибольшим отрицательным целым числом.
Ответ: да, существует, это число -1.

г) наименьшее отрицательное целое число
Нет, не существует. Множество отрицательных целых чисел $\{..., -3, -2, -1\}$ является бесконечным и не ограниченным снизу. Для любого, сколь угодно малого отрицательного целого числа $n$, всегда можно найти число, которое меньше него, например, $n-1$. Следовательно, наименьшего отрицательного целого числа не существует.
Ответ: нет, не существует.

д) наибольшее целое число
Нет, не существует. Множество целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ не ограничено сверху. По аналогии с натуральными числами, для любого целого числа $n$ всегда существует число $n+1$, которое больше него. Таким образом, наибольшего целого числа не существует.
Ответ: нет, не существует.

е) наименьшее целое число
Нет, не существует. Множество целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ не ограничено снизу. По аналогии с отрицательными целыми числами, для любого целого числа $n$ всегда существует число $n-1$, которое меньше него. Таким образом, наименьшего целого числа не существует.
Ответ: нет, не существует.

Сравните числа (3.39–3.41):

3.39. а) 5 и 0;

б) -5 и 0;

в) 7 и 0;

г) -7 и 0;

д) 8 и -7;

е) -3 и 100.

а) Для сравнения чисел 5 и 0 используем правило: любое положительное число больше нуля. Так как 5 является положительным числом, то $5 > 0$.
Ответ: $5 > 0$

б) Для сравнения чисел -5 и 0 используем правило: любое отрицательное число меньше нуля. Так как -5 является отрицательным числом, то $-5 < 0$.
Ответ: $-5 < 0$

в) Для сравнения чисел 7 и 0 используем правило: любое положительное число больше нуля. Так как 7 является положительным числом, то $7 > 0$.
Ответ: $7 > 0$

г) Для сравнения чисел -7 и 0 используем правило: любое отрицательное число меньше нуля. Так как -7 является отрицательным числом, то $-7 < 0$.
Ответ: $-7 < 0$

д) Для сравнения чисел 8 и -7 используем правило: любое положительное число больше любого отрицательного числа. Так как 8 — положительное число, а -7 — отрицательное, то $8 > -7$.
Ответ: $8 > -7$

е) Для сравнения чисел -3 и 100 используем правило: любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Так как -3 — отрицательное число, а 100 — положительное, то $-3 < 100$.
Ответ: $-3 < 100$

3.40. а) $-9$ и $-6$;

б) $-3$ и $-20$;

в) $-7$ и $-15$;

г) $-25$ и $-1$;

д) $-20$ и $0$;

е) $0$ и $-40$;

ж) $-8$ и $13$;

з) $128$ и $-300$;

и) $-5$ и $-6$.

а) Чтобы найти сумму двух отрицательных чисел, нужно сложить их модули (абсолютные величины) и перед полученным результатом поставить знак минус. Модуль числа -9 равен 9, а модуль числа -6 равен 6.

Выполним сложение модулей: $9 + 6 = 15$.

Поставим знак минус перед результатом: $-15$.

Таким образом: $-9 + (-6) = -(9 + 6) = -15$.

Ответ: $-15$.

б) Складываем два отрицательных числа: -3 и -20. Для этого складываем их модули и ставим перед суммой знак минус. Модуль -3 равен 3, модуль -20 равен 20.

Сумма модулей: $3 + 20 = 23$.

Результат: $-23$.

Таким образом: $-3 + (-20) = -(3 + 20) = -23$.

Ответ: $-23$.

в) Находим сумму двух отрицательных чисел: -7 и -15. Сложим их модули и перед полученным числом поставим знак минус. Модуль -7 равен 7, модуль -15 равен 15.

Сумма модулей: $7 + 15 = 22$.

Результат: $-22$.

Таким образом: $-7 + (-15) = -(7 + 15) = -22$.

Ответ: $-22$.

г) Складываем два отрицательных числа: -25 и -1. Складываем их модули и ставим перед результатом знак минус. Модуль -25 равен 25, модуль -1 равен 1.

Сумма модулей: $25 + 1 = 26$.

Результат: $-26$.

Таким образом: $-25 + (-1) = -(25 + 1) = -26$.

Ответ: $-26$.

д) Находим сумму чисел -20 и 0. Прибавление нуля к любому числу не изменяет это число.

$-20 + 0 = -20$.

Ответ: $-20$.

е) Находим сумму чисел 0 и -40. Сложение с нулем не меняет число.

$0 + (-40) = -40$.

Ответ: $-40$.

ж) Чтобы сложить числа с разными знаками, -8 и 13, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и перед результатом поставить знак числа с большим модулем.

Модуль числа -8 равен 8 ($|-8|=8$). Модуль числа 13 равен 13 ($|13|=13$).

Так как $|13| > |-8|$, знак результата будет положительным (как у числа 13).

Вычитаем из большего модуля меньший: $13 - 8 = 5$.

Таким образом: $-8 + 13 = 5$.

Ответ: $5$.

з) Складываем числа с разными знаками: 128 и -300. Находим их модули: $|128| = 128$ и $|-300| = 300$.

Модуль числа -300 больше, чем модуль числа 128 ($300 > 128$), поэтому знак суммы будет отрицательным (как у числа -300).

Вычитаем из большего модуля меньший: $300 - 128 = 172$.

Ставим перед результатом знак минус: $-172$.

Таким образом: $128 + (-300) = -(300 - 128) = -172$.

Ответ: $-172$.

и) Находим сумму двух отрицательных чисел: -5 и -6. Складываем их модули и перед суммой ставим знак минус. Модуль -5 равен 5, модуль -6 равен 6.

Сумма модулей: $5 + 6 = 11$.

Результат: $-11$.

Таким образом: $-5 + (-6) = -(5 + 6) = -11$.

Ответ: $-11$.

3.41. а) 728 и 800;

б) -296 и 1;

в) -999 и 2;

г) 0 и -500;

д) 725 и 0;

е) -600 и -5;

ж) -856 и -100;

з) -51 и -510;

и) 326 и 32.

а) Сравниваем два положительных числа: 728 и 800. Из двух положительных чисел больше то, у которого модуль больше. Так как $|800| > |728|$, то $800 > 728$.

Ответ: $728 < 800$.

б) Сравниваем отрицательное число (-296) и положительное число (1). Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.

Ответ: $-296 < 1$.

в) Сравниваем отрицательное число (-999) и положительное число (2). Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.

Ответ: $-999 < 2$.

г) Сравниваем ноль (0) и отрицательное число (-500). Ноль всегда больше любого отрицательного числа.

Ответ: $0 > -500$.

д) Сравниваем положительное число (725) и ноль (0). Любое положительное число всегда больше ноля.

Ответ: $725 > 0$.

е) Сравниваем два отрицательных числа: -600 и -5. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Сравним их модули: $|-600| = 600$ и $|-5| = 5$. Так как $5 < 600$, то $-5 > -600$.

Ответ: $-600 < -5$.

ж) Сравниваем два отрицательных числа: -856 и -100. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Сравним их модули: $|-856| = 856$ и $|-100| = 100$. Так как $100 < 856$, то $-100 > -856$.

Ответ: $-856 < -100$.

з) Сравниваем два отрицательных числа: -51 и -510. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Сравним их модули: $|-51| = 51$ и $|-510| = 510$. Так как $51 < 510$, то $-51 > -510$.

Ответ: $-51 > -510$.

и) Сравниваем два положительных числа: 326 и 32. Из двух положительных чисел больше то, у которого модуль больше. Так как $326 > 32$, то это и есть результат сравнения.

Ответ: $326 > 32$.

ж) -650 и -100, з) -31 и -310, и) 320 и 32.

3.42. Запишите числа в порядке возрастания:

а) 400, -400, 0, 236, -528;

б) 752, 0, -35, -257, 432.

Чтобы записать числа в порядке возрастания, нужно расположить их от наименьшего к наибольшему. Для этого вспомним правила сравнения чисел:

• Любое отрицательное число меньше нуля.
• Любое положительное число больше нуля.
• Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.

а) Даны числа: 400, -400, 0, 236, -528.

1. Найдем самое маленькое число. Для этого сравним отрицательные числа: -400 и -528. Модуль числа -528 равен $|-528|=528$, а модуль числа -400 равен $|-400|=400$. Так как $528 > 400$, то $-528 < -400$. Следовательно, самое маленькое число — это -528.

2. Следующим по величине будет -400.

3. После всех отрицательных чисел идет 0.

4. Сравним оставшиеся положительные числа: 236 и 400. Очевидно, что $236 < 400$.

5. Таким образом, расположив все числа в порядке возрастания, получаем последовательность: -528, -400, 0, 236, 400.

Ответ: -528, -400, 0, 236, 400.

б) Даны числа: 752, 0, -35, -257, 432.

1. Сравним отрицательные числа: -35 и -257. Модуль числа -257 равен $|-257|=257$, а модуль числа -35 равен $|-35|=35$. Так как $257 > 35$, то $-257 < -35$. Самое маленькое число — -257.

2. Следующим идет -35.

3. Затем — 0.

4. Сравним положительные числа: 752 и 432. Так как $432 < 752$.

5. В итоге получаем следующую последовательность в порядке возрастания: -257, -35, 0, 432, 752.

Ответ: -257, -35, 0, 432, 752.

3.43. Запишите числа в порядке убывания:

а) -250, 367, 0, -8, 12, -400;

б) -790, 790, 0, -9, -12, 425.

3.43.

а) Чтобы записать числа в порядке убывания, их необходимо расположить от самого большого к самому маленькому. Сначала идут положительные числа, затем ноль, а после — отрицательные. Сравним положительные числа: $367 > 12$. Ноль занимает позицию между положительными и отрицательными числами. При сравнении отрицательных чисел большим является то, чей модуль (абсолютное значение) меньше. $|-8| = 8$, $|-250| = 250$, $|-400| = 400$. Следовательно, $-8 > -250 > -400$. Объединив все числа, получаем последовательность: 367, 12, 0, -8, -250, -400.
Ответ: 367, 12, 0, -8, -250, -400.

б) Расположим числа -790, 790, 0, -9, -12, 425 в порядке убывания. Положительные числа: $790 > 425$. Ноль. Отрицательные числа: $-9 > -12 > -790$. Общая последовательность: 790, 425, 0, -9, -12, -790.
Ответ: 790, 425, 0, -9, -12, -790.

3.44.

а) Модуль числа (абсолютная величина) — это расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль любого числа — это неотрицательная величина. Найдем значение выражения $|+5| - |-5|$. Модуль числа $+5$ равен 5: $|+5| = 5$. Модуль числа $-5$ также равен 5: $|-5| = 5$. Теперь выполним вычитание: $5 - 5 = 0$.
Ответ: 0.

б) Найдем значение выражения $|-5| - |+5|$. Модуль числа $-5$ равен 5: $|-5| = 5$. Модуль числа $+5$ также равен 5: $|+5| = 5$. Выполним вычитание: $5 - 5 = 0$.
Ответ: 0.

3.44. Найдите разность:

а) $|+5| - |-5|;$

б) $|-5| - |+5|;$

в) $|+3| - |-3|;$

г) $|-3| - |+3|.$

Для решения данной задачи необходимо вспомнить определение модуля числа. Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль неотрицательного числа равен самому этому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Обозначается как $|a|$.

Например, $|5| = 5$ и $|-5| = 5$.

Исходя из этого, решим каждый подпункт.

а) $|+5| - |-5|$

Сначала найдем значение каждого модуля:

$|+5| = 5$

$|-5| = 5$

Теперь выполним вычитание:

$5 - 5 = 0$

Ответ: 0

б) $|-5| - |+5|$

Найдем значение каждого модуля:

$|-5| = 5$

$|+5| = 5$

Теперь выполним вычитание:

$5 - 5 = 0$

Ответ: 0

в) $|+3| - |-3|$

Найдем значение каждого модуля:

$|+3| = 3$

$|-3| = 3$

Теперь выполним вычитание:

$3 - 3 = 0$

Ответ: 0

г) $|-3| - |+3|$

Найдем значение каждого модуля:

$|-3| = 3$

$|+3| = 3$

Теперь выполним вычитание:

$3 - 3 = 0$

Ответ: 0

3.45 Верно ли утверждение: если $a > b$, то $|a| > |b|$?

Нет, данное утверждение неверно.

Утверждение "если $a > b$, то $|a| > |b|$" не всегда выполняется. Чтобы доказать его ложность, достаточно привести хотя бы один пример (контрпример), для которого условие $a > b$ будет верным, а заключение $|a| > |b|$ — неверным.

Рассмотрим следующий контрпример: пусть $a = 2$ и $b = -5$.

1. Проверим, выполняется ли условие $a > b$ для этих чисел:
$2 > -5$.
Это неравенство верно, так как любое положительное число больше любого отрицательного.

2. Теперь проверим, выполняется ли заключение $|a| > |b|$:
Сначала найдем модули чисел $a$ и $b$:
$|a| = |2| = 2$.
$|b| = |-5| = 5$.
Теперь подставим эти значения в неравенство $|a| > |b|$:
$2 > 5$.
Это неравенство неверно.

Таким образом, мы нашли пару чисел, для которой условие $a > b$ выполняется, а заключение $|a| > |b|$ — нет. Это доказывает, что исходное утверждение является ложным.

Ответ: утверждение неверно.

3.46 Верно ли утверждение: если $a > b$, то $|a| < |b|$?

Данное утверждение является неверным.

Чтобы доказать, что утверждение неверно, достаточно привести хотя бы один пример (контрпример), для которого начальное условие ($a > b$) выполняется, а заключение ($|a| < |b|$) — нет.

Рассмотрим случай, когда оба числа $a$ и $b$ являются положительными. Например, пусть $a = 5$ и $b = 3$.
Проверим выполнение начального условия $a > b$:
$5 > 3$. Это верное неравенство.
Теперь проверим, выполняется ли заключение $|a| < |b|$:
$|5| < |3|$. После вычисления модулей получаем $5 < 3$, что является ложным неравенством.
Поскольку мы нашли пару чисел, для которой условие $a > b$ истинно, а заключение $|a| < |b|$ ложно, это доказывает, что исходное утверждение в общем виде неверно.

Следует заметить, что существуют и такие пары чисел, для которых данное утверждение выполняется. Например, если $a = 2$ и $b = -10$:
Условие $a > b$ выполняется, так как $2 > -10$.
Заключение $|a| < |b|$ также выполняется, так как $|2| < |-10|$, что равносильно $2 < 10$.
Однако для того, чтобы утверждение считалось верным, оно должно выполняться для любой пары чисел $a$ и $b$, удовлетворяющей условию $a > b$, а не только для отдельных случаев.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

3.47 Может ли быть так, чтобы $a \neq b$, но $|a| = |b|$? Приведите примеры. Как называют такие числа $a$ и $b$?

Да, такая ситуация возможна. Модуль числа (или его абсолютная величина) — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Два различных числа могут находиться на одинаковом расстоянии от нуля, если они отличаются только знаком.

Равенство модулей $|a| = |b|$ означает, что либо $a = b$, либо $a = -b$. Поскольку по условию задано, что $a \neq b$, то остается только второй вариант: $a = -b$ (при условии, что $a$ и $b$ не равны нулю).

Приведите примеры.

1. Пусть $a = 15$ и $b = -15$. В этом случае $a \neq b$, но их модули равны, так как $|15| = 15$ и $|-15| = 15$.

2. Пусть $a = -4,7$ и $b = 4,7$. Здесь также $a \neq b$, но модули этих чисел равны: $|-4,7| = 4,7$ и $|4,7| = 4,7$.

3. Пусть $a = \frac{1}{2}$ и $b = -\frac{1}{2}$. Условие $a \neq b$ выполняется, а модули равны: $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ и $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.

Как называют такие числа $a$ и $b$?

Числа, которые не равны друг другу, но имеют одинаковые модули, называются противоположными числами. Они отличаются друг от друга только знаком.

Ответ: Да, может. Например, числа $a=10$ и $b=-10$ не равны, но их модули равны: $|10|=|-10|=10$. Такие числа называют противоположными.