Страница 95 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.58. Упростите запись суммы:

a) $-5+(+7)=-5+7$;

б) $-8+(+9)$;

в) $-9+(+7)$;

г) $+3+(+7)$;

д) $+8+(-13)$;

е) $+9+(-17)$.

Для упрощения записи суммы необходимо раскрыть скобки, следуя правилам:

• При сложении с положительным числом, например $a + (+b)$, знак сложения и скобки можно убрать, оставив $a + b$.
• При сложении с отрицательным числом, например $a + (-b)$, операция заменяется на вычитание: $a - b$.
• Если положительное число стоит в начале выражения, например $+a$, то знак «+» перед ним можно опустить и записать просто $a$.

Чтобы упростить запись суммы $-8 + (+9)$, убираем скобки и знак плюс перед вторым слагаемым, так как это сложение с положительным числом. Затем вычисляем результат.
$-8 + (+9) = -8 + 9 = 1$.
Ответ: $-8 + 9 = 1$.

Упрощаем выражение $-9 + (+7)$. Сложение с положительным числом $+7$ записывается как простое прибавление числа 7.
$-9 + (+7) = -9 + 7 = -2$.
Ответ: $-9 + 7 = -2$.

Рассмотрим сумму $+3 + (+7)$. Знак «+» перед первым слагаемым в начале выражения можно опустить. Сложение с положительным числом $+7$ записывается как прибавление 7.
$+3 + (+7) = 3 + 7 = 10$.
Ответ: $3 + 7 = 10$.

Упростим сумму $+8 + (-13)$. Знак «+» перед первым слагаемым опускаем. Сложение с отрицательным числом $(-13)$ равносильно вычитанию положительного числа 13.
$+8 + (-13) = 8 - 13 = -5$.
Ответ: $8 - 13 = -5$.

Для упрощения записи $+9 + (-17)$ убираем знак «+» перед первым слагаемым. Сложение с отрицательным числом $(-17)$ заменяем на вычитание числа 17.
$+9 + (-17) = 9 - 17 = -8$.
Ответ: $9 - 17 = -8$.

3.59. Назовите знак каждого слагаемого:

a) $-5 + 8$; б) $5 + 7$; в) $-13 + (-9)$; г) $-91 + 26$; д) $-95 + (-13)$.

Вычислите по образцу (3.60–3.64):

$-755 + (-983) = -(755 + 983) = -1738$ | $\begin{array}{r} + \ 755 \\ 983 \\ \hline 1738 \end{array}$

а) В выражении $-5 + 8$ первое слагаемое $-5$ имеет знак "минус", а второе слагаемое $8$ — знак "плюс". Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и поставить перед результатом знак числа с большим модулем.
$|8| > |-5|$, поэтому результат будет положительным.
$-5 + 8 = 8 - 5 = 3$.
Ответ: 3.

б) В выражении $5 + 7$ оба слагаемых, $5$ и $7$, имеют знак "плюс" (положительные числа). Чтобы сложить два положительных числа, нужно сложить их значения.
$5 + 7 = 12$.
Ответ: 12.

в) В выражении $-13 + (-9)$ оба слагаемых, $-13$ и $-9$, имеют знак "минус" (отрицательные числа). Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед результатом знак "минус", как показано в образце.
$-13 + (-9) = -(13 + 9) = -22$.
Ответ: -22.

г) В выражении $-91 + 26$ первое слагаемое $-91$ имеет знак "минус", а второе слагаемое $26$ — знак "плюс". Складываем числа с разными знаками.
$|-91| > |26|$, поэтому результат будет отрицательным.
$-91 + 26 = -(91 - 26) = -65$.
Ответ: -65.

д) В выражении $-95 + (-13)$ оба слагаемых, $-95$ и $-13$, имеют знак "минус". Складываем их по правилу сложения отрицательных чисел, как в образце.
$-95 + (-13) = -(95 + 13) = -108$.
Ответ: -108.

3.60. a) $-102 + (-98);$

б) $-33 + (-167);$

в) $-128 + (-12);$

г) $688 + 957;$

д) $-172 + (-118);$

е) $694 + 738.$

а) Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули (абсолютные величины) и перед полученным результатом поставить знак минус.

$-102 + (-98) = -(102 + 98) = -200$

Ответ: $-200$

б) Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед суммой поставить знак минус.

$-33 + (-167) = -(33 + 167) = -200$

Ответ: $-200$

в) Складываем два отрицательных числа, для этого складываем их модули и ставим перед результатом знак минус.

$-128 + (-12) = -(128 + 12) = -140$

Ответ: $-140$

г) Складываем два положительных числа.

$688 + 957 = 1645$

Ответ: $1645$

д) Чтобы сложить два отрицательных числа, складываем их модули и перед полученным числом ставим знак минус.

$-172 + (-118) = -(172 + 118) = -290$

Ответ: $-290$

е) Складываем два положительных числа.

$694 + 738 = 1432$

Ответ: $1432$

3.61. а) $-354 + (-293);$
б) $-293 + (-354);$
в) $784 + 951;$
г) $-728 + (-256);$
д) $487 + 954;$
е) $(-259) + (-728).$

а) $-354 + (-293)$

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули (абсолютные величины) и перед полученной суммой поставить знак «−».

Складываем модули чисел: $354 + 293 = 647$.

Ставим перед результатом знак «−». Таким образом, $-354 + (-293) = -(354 + 293) = -647$.

Ответ: $-647$

б) $-293 + (-354)$

Правило сложения двух отрицательных чисел аналогично предыдущему пункту. Складываем модули чисел и ставим знак «−» перед результатом. Этот пример иллюстрирует переместительный закон сложения ($a + b = b + a$), поэтому результат будет таким же, как и в пункте а).

Складываем модули: $293 + 354 = 647$.

Следовательно, $-293 + (-354) = -(293 + 354) = -647$.

Ответ: $-647$

в) $784 + 951$

Это сложение двух положительных чисел. Выполним сложение в столбик, складывая числа по разрядам, начиная с единиц.

Единицы: $4 + 1 = 5$.

Десятки: $8 + 5 = 13$. Пишем $3$ в разряд десятков, а $1$ переносим в разряд сотен.

Сотни: $7 + 9 + 1$ (из переноса) $= 17$.

В результате получаем: $784 + 951 = 1735$.

Ответ: $1735$

г) $-728 + (-256)$

Для сложения двух отрицательных чисел складываем их модули и перед суммой ставим знак «−».

Складываем модули: $728 + 256 = 984$.

Значит, $-728 + (-256) = -(728 + 256) = -984$.

Ответ: $-984$

д) $487 + 954$

Сложение двух положительных чисел. Выполним сложение в столбик по разрядам.

Единицы: $7 + 4 = 11$. Пишем $1$ в разряд единиц, $1$ переносим в разряд десятков.

Десятки: $8 + 5 + 1$ (из переноса) $= 14$. Пишем $4$ в разряд десятков, $1$ переносим в разряд сотен.

Сотни: $4 + 9 + 1$ (из переноса) $= 14$.

В итоге получаем: $487 + 954 = 1441$.

Ответ: $1441$

е) $(-259) + (-728)$

Складываем два отрицательных числа. Для этого нужно сложить их модули и поставить перед результатом знак «−».

Складываем модули: $259 + 728 = 987$.

Таким образом, $(-259) + (-728) = -(259 + 728) = -987$.

Ответ: $-987$

3.62. a) $-7825 + (-3517)$;

б) $7903 + 484$;

в) $-35 + (-8094)$.

а) $-7825 + (-3517)$

Чтобы сложить два отрицательных числа, необходимо сложить их модули (абсолютные значения) и перед полученным результатом поставить знак «минус».

Модуль числа $-7825$ равен $7825$.

Модуль числа $-3517$ равен $3517$.

Складываем модули этих чисел:

$7825 + 3517 = 11342$

Теперь ставим знак «минус» перед результатом:

$-7825 + (-3517) = -(7825 + 3517) = -11342$

Ответ: -11342

б) $7903 + 484$

В данном случае выполняется сложение двух положительных чисел. Выполним сложение по разрядам:

1. Складываем единицы: $3 + 4 = 7$.

2. Складываем десятки: $0 + 8 = 8$.

3. Складываем сотни: $9 + 4 = 13$. Записываем 3 в разряд сотен и переносим 1 в разряд тысяч.

4. Складываем тысячи: $7 + 1$ (перенос) $= 8$.

Собираем результат: $7903 + 484 = 8387$.

Ответ: 8387

в) $-35 + (-8094)$

Здесь также необходимо сложить два отрицательных числа. Применяем то же правило: складываем их модули и ставим знак «минус» перед суммой.

Модуль числа $-35$ равен $35$.

Модуль числа $-8094$ равен $8094$.

Складываем модули:

$35 + 8094 = 8129$

Ставим знак «минус» перед результатом:

$-35 + (-8094) = -(35 + 8094) = -8129$

Ответ: -8129

3.63. a) $359 + (-483)$;

б) $-703 + 117$;

в) $-14 + 864$;

г) $151 + (-87)$;

д) $17 + (-256)$;

е) $476 + (-253).$

а) $359 + (-483)$

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего по модулю числа вычесть меньшее по модулю, и перед результатом поставить знак того числа, модуль которого был больше.

В данном случае модуль числа $-483$ равен $483$, а модуль числа $359$ равен $359$. Так как $483 > 359$, результат будет иметь знак минус.

Выполним вычитание модулей: $483 - 359 = 124$.

Следовательно, $359 + (-483) = -124$.

Ответ: $-124$.

б) $-703 + 117$

Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $-703$ равен $703$, а модуль числа $117$ равен $117$. Так как $703 > 117$, результат будет со знаком минус.

Вычтем из большего модуля меньший: $703 - 117 = 586$.

Таким образом, $-703 + 117 = -586$.

Ответ: $-586$.

в) $-14 + 864$

Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $864$ равен $864$, а модуль числа $-14$ равен $14$. Так как $864 > 14$, результат будет со знаком плюс (положительным).

Вычтем из большего модуля меньший: $864 - 14 = 850$.

Таким образом, $-14 + 864 = 850$.

Ответ: $850$.

г) $151 + (-87)$

Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $151$ равен $151$, а модуль числа $-87$ равен $87$. Так как $151 > 87$, результат будет положительным.

Вычтем из большего модуля меньший: $151 - 87 = 64$.

Таким образом, $151 + (-87) = 64$.

Ответ: $64$.

д) $17 + (-256)$

Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $-256$ равен $256$, а модуль числа $17$ равен $17$. Так как $256 > 17$, результат будет со знаком минус.

Вычтем из большего модуля меньший: $256 - 17 = 239$.

Таким образом, $17 + (-256) = -239$.

Ответ: $-239$.

е) $476 + (-253)$

Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $476$ равен $476$, а модуль числа $-253$ равен $253$. Так как $476 > 253$, результат будет положительным.

Вычтем из большего модуля меньший: $476 - 253 = 223$.

Таким образом, $476 + (-253) = 223$.

Ответ: $223$.

3.64. a) $-170 + (-250);$

б) $-350 + 480;$

в) $7805 + (-454);$

г) $1306 + (-2514);$

д) $-8576 + (-1720);$

е) $-6060 + 3903.$

а) Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули (абсолютные величины) и перед полученным результатом поставить знак минус.

$-170 + (-250) = -(170 + 250) = -420$

Ответ: -420

б) Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше. В данном случае, $|480| > |-350|$, поэтому результат будет положительным.

$-350 + 480 = 480 - 350 = 130$

Ответ: 130

в) Сложение положительного числа с отрицательным равносильно вычитанию. Модуль числа $7805$ больше модуля числа $-454$, поэтому знак результата будет положительным.

$7805 + (-454) = 7805 - 454 = 7351$

Ответ: 7351

г) Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $-2514$ больше модуля числа $1306$ ($|-2514| > |1306|$), поэтому результат будет отрицательным. Вычитаем из большего модуля меньший.

$1306 + (-2514) = -(2514 - 1306) = -1208$

Ответ: -1208

д) Складываем два отрицательных числа. Для этого складываем их модули и ставим перед суммой знак минус.

$-8576 + (-1720) = -(8576 + 1720) = -10296$

Ответ: -10296

е) Складываем числа с разными знаками. Модуль отрицательного числа $-6060$ больше модуля положительного числа $3903$ ($|-6060| > |3903|$), поэтому результат будет отрицательным. Вычитаем из большего модуля меньший.

$-6060 + 3903 = -(6060 - 3903) = -2157$

Ответ: -2157

3.65. Вычислите по образцу:

а) $-5+(-3)+2=-(5+3)+2=-8+2=-6;$

б) $3+(-7)+(-8)+6=-4+(-8)+6=-12+6=-6;$

в) $-8+3+(-1);$ г) $-7+(-2)+(-10);$

д) $8+(-9)+(-7);$ е) $-3+(-4)+(-5)+(-6);$

ж) $-4+8+(-9)+3;$ з) $8+(-10)+(-12)+3.$

в) $-8 + 3 + (-1)$

Решим пример, выполняя действия по порядку слева направо.
1. Сложим числа $-8$ и $3$. Так как у них разные знаки, из модуля большего числа ($|-8|=8$) вычитаем модуль меньшего ($|3|=3$) и ставим знак большего по модулю числа (минус):
$-8 + 3 = -(8 - 3) = -5$.
2. К полученному результату прибавим $-1$. Так как числа $-5$ и $-1$ имеют одинаковый знак, складываем их модули и ставим их общий знак (минус):
$-5 + (-1) = -(5 + 1) = -6$.
Таким образом, всё выражение равно:
$-8 + 3 + (-1) = -5 + (-1) = -6$.

Ответ: $-6$

г) $-7 + (-2) + (-10)$

Все слагаемые в данном выражении являются отрицательными числами. Чтобы сложить несколько отрицательных чисел, нужно сложить их модули и перед полученным результатом поставить знак минус.
1. Сложим первые два числа:
$-7 + (-2) = -(7 + 2) = -9$.
2. К результату прибавим третье число:
$-9 + (-10) = -(9 + 10) = -19$.
Таким образом, всё выражение равно:
$-7 + (-2) + (-10) = -9 + (-10) = -19$.

Ответ: $-19$

д) $8 + (-9) + (-7)$

Выполним вычисления по порядку слева направо.
1. Сложим $8$ и $-9$. У чисел разные знаки, поэтому из большего модуля ($|-9|=9$) вычитаем меньший ($|8|=8$) и ставим знак числа с большим модулем (минус):
$8 + (-9) = -(9 - 8) = -1$.
2. Теперь к результату прибавим $-7$. У чисел $-1$ и $-7$ одинаковый знак, поэтому складываем их модули и ставим общий знак (минус):
$-1 + (-7) = -(1 + 7) = -8$.
Таким образом, всё выражение равно:
$8 + (-9) + (-7) = -1 + (-7) = -8$.

Ответ: $-8$

е) $-3 + (-4) + (-5) + (-6)$

Все слагаемые отрицательные. Сложим их последовательно слева направо.
1. $-3 + (-4) = -(3 + 4) = -7$.
2. К результату прибавим $-5$:
$-7 + (-5) = -(7 + 5) = -12$.
3. К новому результату прибавим $-6$:
$-12 + (-6) = -(12 + 6) = -18$.
Таким образом, всё выражение равно:
$-3 + (-4) + (-5) + (-6) = -7 + (-5) + (-6) = -12 + (-6) = -18$.

Ответ: $-18$

ж) $-4 + 8 + (-9) + 3$

Выполним действия последовательно слева направо.
1. Сложим $-4$ и $8$. У чисел разные знаки, $|8| > |-4|$, значит результат будет положительным:
$-4 + 8 = 8 - 4 = 4$.
2. К результату прибавим $-9$. У чисел разные знаки, $|-9| > |4|$, значит результат будет отрицательным:
$4 + (-9) = -(9 - 4) = -5$.
3. К новому результату прибавим $3$. У чисел разные знаки, $|-5| > |3|$, значит результат будет отрицательным:
$-5 + 3 = -(5 - 3) = -2$.
Таким образом, всё выражение равно:
$-4 + 8 + (-9) + 3 = 4 + (-9) + 3 = -5 + 3 = -2$.

Ответ: $-2$

з) $8 + (-10) + (-12) + 3$

Выполним действия последовательно слева направо.
1. Сложим $8$ и $-10$. У чисел разные знаки, $|-10| > |8|$, результат будет отрицательным:
$8 + (-10) = -(10 - 8) = -2$.
2. К результату прибавим $-12$. Оба числа отрицательные, складываем их модули и ставим знак минус:
$-2 + (-12) = -(2 + 12) = -14$.
3. К новому результату прибавим $3$. У чисел разные знаки, $|-14| > |3|$, результат будет отрицательным:
$-14 + 3 = -(14 - 3) = -11$.
Таким образом, всё выражение равно:
$8 + (-10) + (-12) + 3 = -2 + (-12) + 3 = -14 + 3 = -11$.

Ответ: $-11$