Страница 97 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.68. Вычислите, применяя законы сложения:

а) $5 + 798 + 35$;

б) $(723 + 59) + 17$;

в) $357 + 48 + 13$;

г) $488 + (596 + 12)$.

а) Для вычисления суммы $5 + 798 + 35$ применим законы сложения, чтобы сделать расчеты удобнее. Сгруппируем слагаемые $5$ и $35$, так как их сумма дает круглое число. Это возможно благодаря переместительному ($a+b=b+a$) и сочетательному ($(a+b)+c=a+(b+c)$) законам сложения.

$5 + 798 + 35 = (5 + 35) + 798 = 40 + 798 = 838$.

Ответ: 838

б) В выражении $(723 + 59) + 17$ применим сочетательный и переместительный законы сложения, чтобы изменить порядок действий. Сгруппируем слагаемые $723$ и $17$, так как их сумма оканчивается на ноль, что упрощает вычисления.

$(723 + 59) + 17 = (723 + 17) + 59 = 740 + 59 = 799$.

Ответ: 799

в) Для вычисления суммы $357 + 48 + 13$ воспользуемся законами сложения. Сгруппируем слагаемые $357$ и $13$, так как их сумма является круглым числом, что облегчает подсчет.

$357 + 48 + 13 = (357 + 13) + 48 = 370 + 48 = 418$.

Ответ: 418

г) В выражении $488 + (596 + 12)$ применим сочетательный и переместительный законы сложения. Сгруппируем слагаемые $488$ и $12$, так как их сумма является круглым числом.

$488 + (596 + 12) = (488 + 12) + 596 = 500 + 596 = 1096$.

Ответ: 1096

3.69. Выполните сложение и сравните результаты:

а) $-5 + (-9)$ и $-9 + (-5)$;

б) $48 + (-36)$ и $(-36) + 48$;

в) $-25 + 16$ и $16 + (-25)$;

г) $-8 + (18 + (-7))$ и $(-8 + 18) + (-7)$;

д) $13 + (-6 + (-7))$ и $(13 + (-6)) + (-7)$.

а) Выполним сложение для первого выражения: $-5 + (-9) = -5 - 9 = -14$.
Теперь выполним сложение для второго выражения: $-9 + (-5) = -9 - 5 = -14$.
Сравним полученные результаты: $-14 = -14$.
Таким образом, $-5 + (-9) = -9 + (-5)$.
Ответ: $-14 = -14$.

б) Вычислим значение первого выражения: $48 + (-36) = 48 - 36 = 12$.
Вычислим значение второго выражения: $(-36) + 48 = 48 - 36 = 12$.
Сравним результаты: $12 = 12$.
Следовательно, $48 + (-36) = (-36) + 48$.
Ответ: $12 = 12$.

в) Выполним сложение для первого выражения: $-25 + 16 = -9$.
Выполним сложение для второго выражения: $16 + (-25) = 16 - 25 = -9$.
Сравним результаты: $-9 = -9$.
Таким образом, $-25 + 16 = 16 + (-25)$.
Ответ: $-9 = -9$.

г) Вычислим первое выражение, соблюдая порядок действий (сначала в скобках): $-8 + (18 + (-7)) = -8 + (18 - 7) = -8 + 11 = 3$.
Вычислим второе выражение: $(-8 + 18) + (-7) = 10 + (-7) = 10 - 7 = 3$.
Сравним результаты: $3 = 3$.
Следовательно, $-8 + (18 + (-7)) = (-8 + 18) + (-7)$.
Ответ: $3 = 3$.

д) Вычислим первое выражение, начиная с действия в скобках: $13 + (-6 + (-7)) = 13 + (-6 - 7) = 13 + (-13) = 0$.
Вычислим второе выражение: $(13 + (-6)) + (-7) = (13 - 6) + (-7) = 7 + (-7) = 0$.
Сравним результаты: $0 = 0$.
Таким образом, $13 + (-6 + (-7)) = (13 + (-6)) + (-7)$.
Ответ: $0 = 0$.

3.70. Примените переместительный закон сложения:

а) $-45 + (-10) = -10 + (-45);$

б) $8 + (-35);$

в) $-13 + 49;$

г) $-17 + (-23).$

Переместительный (коммутативный) закон сложения гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. В общем виде это записывается как формула $a + b = b + a$. Применим этот закон к каждому из выражений.

б)

В выражении $8 + (-35)$ слагаемыми являются числа $8$ и $-35$.

Согласно переместительному закону, мы можем поменять их местами, не изменяя сумму:

$8 + (-35) = (-35) + 8$

Для проверки правильности применения закона можно вычислить значение обеих частей равенства:

$8 + (-35) = 8 - 35 = -27$

$(-35) + 8 = -27$

Так как $-27 = -27$, равенство верно.

Ответ: $8 + (-35) = (-35) + 8$.

в)

В выражении $-13 + 49$ слагаемые — это $-13$ и $49$.

Применяя переместительный закон, меняем слагаемые местами:

$-13 + 49 = 49 + (-13)$

Проверим равенство, вычислив значения выражений слева и справа:

$-13 + 49 = 36$

$49 + (-13) = 49 - 13 = 36$

Результаты совпадают ($36 = 36$), значит, закон применен правильно.

Ответ: $-13 + 49 = 49 + (-13)$.

г)

В выражении $-17 + (-23)$ слагаемыми являются $-17$ и $-23$.

Используя переместительный закон сложения, переставим их:

$-17 + (-23) = (-23) + (-17)$

Убедимся в верности равенства, выполнив вычисления:

$-17 + (-23) = -17 - 23 = -40$

$(-23) + (-17) = -23 - 17 = -40$

Значения в левой и правой частях равны ($-40 = -40$).

Ответ: $-17 + (-23) = (-23) + (-17)$.

3.71. Примените сочетательный закон сложения:

а) $42 + (-3 + 7) = (42 + (-3)) + 7$;

б) $56 + (-16 + 7)$;

в) $(-52 + 17) + (-9)$;

г) $-13 + (-8 + 25)$.

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения гласит, что при сложении трёх или более чисел их можно группировать в любом порядке. Результат от этого не изменится. В виде формулы это записывается так: $a + (b + c) = (a + b) + c$. Применим этот закон, чтобы упростить вычисления в заданных примерах.

б) $56 + (-16 + 7)$
Применим сочетательный закон, перегруппировав слагаемые для удобства вычислений. Сгруппируем $56$ и $-16$:
$56 + (-16 + 7) = (56 + (-16)) + 7$
Теперь выполним вычисления по действиям:
$1) 56 + (-16) = 56 - 16 = 40$
$2) 40 + 7 = 47$
Таким образом: $(56 + (-16)) + 7 = 40 + 7 = 47$.
Ответ: 47.

в) $(-52 + 17) + (-9)$
Применим сочетательный закон, чтобы сгруппировать $17$ и $-9$:
$(-52 + 17) + (-9) = -52 + (17 + (-9))$
Выполним вычисления:
$1) 17 + (-9) = 17 - 9 = 8$
$2) -52 + 8 = -44$
Таким образом: $-52 + (17 + (-9)) = -52 + 8 = -44$.
Ответ: -44.

г) $-13 + (-8 + 25)$
Применим сочетательный закон, чтобы сгруппировать два отрицательных числа $-13$ и $-8$:
$-13 + (-8 + 25) = (-13 + (-8)) + 25$
Выполним вычисления:
$1) -13 + (-8) = -13 - 8 = -21$
$2) -21 + 25 = 4$
Таким образом: $(-13 + (-8)) + 25 = -21 + 25 = 4$.
Ответ: 4.

3.72. Заполните пропуски:

а) $3 + 5 + (-8) = 3 + (-8) + \dots;$

б) $6 + \dots + (-1) = (-1) + (6 + (-2));$

в) $-1 + \dots + 3 = (3 + (-7)) + \dots;$

г) $-4 + \dots + (-7) = 2 + (\dots + (-4)).$

а) Данное равенство основано на переместительном свойстве сложения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($a+b=b+a$).
Исходное выражение в левой части: $3 + 5 + (-8)$. Слагаемые: $3, 5, -8$.
Выражение в правой части: $3 + (-8) + \dots$. Слагаемые: $3, -8$ и неизвестное число.
Сравнивая слагаемые в левой и правой частях, видим, что в правой части не хватает слагаемого $5$.
Проверим равенство, подставив $5$: $3 + 5 + (-8) = 3 + (-8) + 5$.
Левая часть: $3 + 5 + (-8) = 8 - 8 = 0$.
Правая часть: $3 + (-8) + 5 = -5 + 5 = 0$.
Так как $0 = 0$, равенство верно.
Ответ: $5$.

б) В этом равенстве используются переместительное и сочетательное свойства сложения. Сочетательное свойство: $(a+b)+c = a+(b+c)$.
Правая часть равенства: $(-1) + (6 + (-2))$. Набор слагаемых: $-1, 6, -2$.
Левая часть равенства: $6 + \dots + (-1)$. Набор слагаемых: $6$, неизвестное число, $-1$.
Чтобы равенство было верным, набор слагаемых в обеих частях должен быть одинаковым. Сравнивая наборы, заключаем, что пропущенное число равно $-2$.
Проверим равенство, подставив $-2$: $6 + (-2) + (-1) = (-1) + (6 + (-2))$.
Левая часть: $6 + (-2) + (-1) = 4 - 1 = 3$.
Правая часть: $(-1) + (6 + (-2)) = -1 + 4 = 3$.
Так как $3 = 3$, равенство верно.
Ответ: $-2$.

в) В данном равенстве два пропуска. Будем исходить из того, что для выполнения равенства наборы слагаемых в левой и правой частях должны быть одинаковыми.
Левая часть: $-1 + \dots + 3$. Известные слагаемые: $-1, 3$.
Правая часть: $(3 + (-7)) + \dots$. Известные слагаемые: $3, -7$.
Сравнивая известные слагаемые, видим, что в левой части есть слагаемое $-1$, которого нет в правой. А в правой части есть слагаемое $-7$, которого нет в левой. Значит, в первый пропуск нужно вставить $-7$, а во второй — $-1$.
Получим уравнение: $-1 + (-7) + 3 = (3 + (-7)) + (-1)$.
Проверим:
Левая часть: $-1 + (-7) + 3 = -8 + 3 = -5$.
Правая часть: $(3 + (-7)) + (-1) = -4 - 1 = -5$.
Так как $-5 = -5$, равенство верно.
Ответ: в первый пропуск нужно вставить $-7$, во второй — $-1$.

г) В этом равенстве также два пропуска. Применим тот же принцип, что и в предыдущем пункте.
Левая часть: $-4 + \dots + (-7)$. Известные слагаемые: $-4, -7$.
Правая часть: $2 + (\dots + (-4))$. Известные слагаемые: $2, -4$.
Сравнивая известные слагаемые, видим, что в левой части есть слагаемое $-7$, а в правой — $2$. Следовательно, первое пропущенное число должно быть $2$, а второе — $-7$.
Подставим эти значения в уравнение: $-4 + 2 + (-7) = 2 + ((-7) + (-4))$.
Проверим:
Левая часть: $-4 + 2 + (-7) = -2 - 7 = -9$.
Правая часть: $2 + ((-7) + (-4)) = 2 + (-11) = -9$.
Так как $-9 = -9$, равенство верно.
Ответ: в первый пропуск нужно вставить $2$, во второй — $-7$.

3.73. Вычислите, применяя законы сложения:

а) $49 + ((-49) + 22)$

б) $-12 + (12 + (-29))$

в) $(47 + (-58)) + (-47)$

г) $(124 + 59) + (-24)$

д) $-56 + 17 + (-27)$

е) $49 + (-72) + 62$

ж) $36 + (-51) + 14$

з) $-48 + (-19) + 28$

а) $49 + ((-49) + 22)$
Применим сочетательный закон сложения, который позволяет изменять порядок действий: $a+(b+c) = (a+b)+c$.
$49 + ((-49) + 22) = (49 + (-49)) + 22$
Сумма противоположных чисел ($49$ и $-49$) равна нулю.
$0 + 22 = 22$
Ответ: 22

б) $-12 + (12 + (-29))$
Применим сочетательный закон сложения:
$-12 + (12 + (-29)) = (-12 + 12) + (-29)$
Сумма противоположных чисел ($-12$ и $12$) равна нулю.
$0 + (-29) = -29$
Ответ: -29

в) $(47 + (-58)) + (-47)$
Применим переместительный закон сложения ($a+b=b+a$), чтобы поменять слагаемые местами для удобства вычисления:
$(47 + (-47)) + (-58)$
Сумма противоположных чисел ($47$ и $-47$) равна нулю.
$0 + (-58) = -58$
Ответ: -58

г) $(124 + 59) + (-24)$
Применим переместительный и сочетательный законы сложения, чтобы сгруппировать удобные слагаемые:
$(124 + (-24)) + 59$
Вычислим сумму в скобках:
$124 - 24 = 100$
Теперь прибавим оставшееся слагаемое:
$100 + 59 = 159$
Ответ: 159

д) $-56 + 17 + (-27)$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаками, используя законы сложения:
$(-56 + (-27)) + 17$
Вычислим сумму отрицательных чисел:
$-56 - 27 = -83$
Теперь выполним сложение:
$-83 + 17 = -66$
Ответ: -66

е) $49 + (-72) + 62$
Сгруппируем положительные слагаемые, используя законы сложения:
$(49 + 62) + (-72)$
Вычислим сумму в скобках:
$49 + 62 = 111$
Теперь выполним сложение:
$111 + (-72) = 111 - 72 = 39$
Ответ: 39

ж) $36 + (-51) + 14$
Сгруппируем положительные слагаемые, используя законы сложения:
$(36 + 14) + (-51)$
Вычислим сумму в скобках:
$36 + 14 = 50$
Теперь выполним сложение:
$50 + (-51) = 50 - 51 = -1$
Ответ: -1

з) $-48 + (-19) + 28$
Сгруппируем слагаемые для удобства вычисления:
$(-48 + 28) + (-19)$
Вычислим сумму в скобках:
$-48 + 28 = -20$
Теперь выполним сложение:
$-20 + (-19) = -20 - 19 = -39$
Ответ: -39

3.74. Вычислите по образцу:

а) $-1 + 2 + (-3) + 5 = (2 + 5) + ((-1) + (-3)) = 7 + (-4) = ...;$

б) $-2 + (-4) + 2 + 5 + (-3) + 1 + (-3);$

в) $20 + (-8) + 2 + 5 + (-10) + (-1) + (-3);$

г) $-4 + (-1) + 3 + (-2) + (-3) + 9;$

д) $-17 + 17 + (-8) + 6 + (-2) + 8;$

е) $4 + (-6) + (-1) + (-4) + 6 + (-3) + 1.$

а) $-1 + 2 + (-3) + 5 = (2 + 5) + ((-1) + (-3)) = 7 + (-4) = 3$.
Ответ: $3$.

б) Для вычисления суммы сгруппируем сначала все положительные числа, а затем все отрицательные числа, после чего сложим полученные результаты.
$-2 + (-4) + 2 + 5 + (-3) + 1 + (-3) = (2 + 5 + 1) + ((-2) + (-4) + (-3) + (-3)) = 8 + (-12) = 8 - 12 = -4$.
Ответ: $-4$.

в) Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые и сложим их по отдельности.
$20 + (-8) + 2 + 5 + (-10) + (-1) + (-3) = (20 + 2 + 5) + ((-8) + (-10) + (-1) + (-3)) = 27 + (-22) = 27 - 22 = 5$.
Ответ: $5$.

г) Сначала найдем сумму всех положительных чисел, затем сумму всех отрицательных чисел и сложим результаты.
$-4 + (-1) + 3 + (-2) + (-3) + 9 = (3 + 9) + ((-4) + (-1) + (-2) + (-3)) = 12 + (-10) = 12 - 10 = 2$.
Ответ: $2$.

д) Сгруппируем положительные и отрицательные числа.
$-17 + 17 + (-8) + 6 + (-2) + 8 = (17 + 6 + 8) + ((-17) + (-8) + (-2)) = 31 + (-27) = 31 - 27 = 4$.
Ответ: $4$.

е) Найдем сумму положительных и сумму отрицательных чисел по отдельности.
$4 + (-6) + (-1) + (-4) + 6 + (-3) + 1 = (4 + 6 + 1) + ((-6) + (-1) + (-4) + (-3)) = 11 + (-14) = 11 - 14 = -3$.
Ответ: $-3$.

3.75. a) $(-1) + (-2) + (-3) + (-4) + 4 + 3 + 2 + 1;$

б) $(-7) + (-5) + (-3) + (-1) + 1 + 3 + 5 + 7;$

в) $(-10) + (-9) + (-8) + (-7) + \dots + 7 + 8 + 9 + 10;$

г) $(-100) + (-99) + (-98) + \dots + 98 + 99 + 100.$

а) $(-1) + (-2) + (-3) + (-4) + 4 + 3 + 2 + 1$

Для решения этой задачи удобно сгруппировать слагаемые парами, состоящими из противоположных чисел. Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю.

$(-1) + 1 = 0$

$(-2) + 2 = 0$

$(-3) + 3 = 0$

$(-4) + 4 = 0$

Таким образом, всё выражение представляет собой сумму нулей:

$((-1) + 1) + ((-2) + 2) + ((-3) + 3) + ((-4) + 4) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: 0

б) $(-7) + (-5) + (-3) + (-1) + 1 + 3 + 5 + 7$

Как и в предыдущем примере, сгруппируем противоположные числа, сумма которых равна нулю.

$((-7) + 7) + ((-5) + 5) + ((-3) + 3) + ((-1) + 1) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: 0

в) $(-10) + (-9) + (-8) + (-7) + ... + 7 + 8 + 9 + 10$

Данное выражение представляет собой сумму всех целых чисел от -10 до 10. В этой последовательности для каждого отрицательного числа есть соответствующее ему положительное (противоположное) число.

Например, для $-10$ есть $10$, для $-9$ есть $9$, и так далее до пары $-1$ и $1$. Сумма каждой такой пары равна нулю:

$(-10) + 10 = 0$

$(-9) + 9 = 0$

...и так далее.

Поскольку все числа в ряду (кроме нуля, который не влияет на сумму) можно разбить на такие пары, общая сумма будет равна нулю.

$((-10) + 10) + ((-9) + 9) + ... + ((-1) + 1) + 0 = 0$

Ответ: 0

г) $(-100) + (-99) + (-98) + ... + 98 + 99 + 100$

Это сумма всех целых чисел от -100 до 100. Аналогично предыдущему примеру, каждое отрицательное число от -100 до -1 имеет свою противоположность среди положительных чисел от 1 до 100.

Сумма каждой пары противоположных чисел равна нулю: $((-100) + 100) = 0$, $((-99) + 99) = 0$ и так далее.

Вся сумма состоит из таких пар и числа 0, поэтому итоговый результат равен нулю.

$((-100) + 100) + ((-99) + 99) + ... + ((-1) + 1) + 0 = 0$

Ответ: 0