Страница 103 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.103. a) Что называют произведением двух целых не равных нулю чисел?б) Чему равно произведение любого целого числа и нуля?в) Что называют степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$?

а) Произведением двух целых не равных нулю чисел называют число, модуль которого равен произведению модулей этих чисел, а знак определяется по следующему правилу:
1. Если множители имеют одинаковые знаки (оба положительны или оба отрицательны), то их произведение является положительным числом.
Например, $5 \cdot 3 = 15$ или $(-5) \cdot (-3) = 15$.
2. Если множители имеют разные знаки (один положителен, а другой отрицателен), то их произведение является отрицательным числом.
Например, $(-5) \cdot 3 = -15$ или $5 \cdot (-3) = -15$.
Ответ: Произведение двух целых ненулевых чисел — это число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а знак положителен, если знаки сомножителей совпадают, и отрицателен, если знаки различны.

б) Произведение любого целого числа на нуль равно нулю. Это одно из основных свойств умножения. Для любого целого числа $a$ справедливо равенство: $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$.
Ответ: Произведение любого целого числа и нуля равно нулю.

в) Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называют произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. Такое произведение записывают как $a^n$, где $a$ — это основание степени, а $n$ — показатель степени.
Если показатель степени $n > 1$, то $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$.
Если показатель степени $n=1$, то по определению $a^1 = a$.
Например, $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Ответ: Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называют произведение $n$ множителей, равных $a$.

3.104 Справедливы ли переместительный и сочетательный законы умножения для целых чисел? Сформулируйте их.

Да, переместительный и сочетательный законы умножения справедливы для множества всех целых чисел.

Сформулируем эти законы:

1. Переместительный (коммутативный) закон умножения

Этот закон гласит, что от перестановки множителей произведение не меняется. Для любых целых чисел $a$ и $b$ справедливо следующее равенство:

$a \cdot b = b \cdot a$

Пример:

Проверим справедливость закона для целых чисел $-5$ и $3$.

$(-5) \cdot 3 = -15$

$3 \cdot (-5) = -15$

Так как $-15 = -15$, равенство верно, и закон выполняется.

Ответ: Переместительный закон умножения для целых чисел формулируется так: для любых целых чисел $a$ и $b$ верно равенство $a \cdot b = b \cdot a$.

2. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения

Этот закон гласит, что при умножении трех или более чисел порядок действий (расстановка скобок) не влияет на результат. Для любых целых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо следующее равенство:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Пример:

Проверим справедливость закона для целых чисел $-2$, $-4$ и $6$.

Вычислим левую часть равенства: $((-2) \cdot (-4)) \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$.

Вычислим правую часть равенства: $(-2) \cdot ((-4) \cdot 6) = (-2) \cdot (-24) = 48$.

Так как $48 = 48$, равенство верно, и закон выполняется.

Ответ: Сочетательный закон умножения для целых чисел формулируется так: для любых целых чисел $a$, $b$ и $c$ верно равенство $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

3.105 Что получится, если число умножить на $-1$?

При умножении любого числа на $(-1)$ результатом будет число, противоположное исходному. Это означает, что абсолютное значение (модуль) числа останется тем же, но его знак изменится на противоположный.

Рассмотрим все возможные случаи, обозначив исходное число как $a$:

1. Если число $a$ положительное.
При умножении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным. Например, если взять число 5:
$5 \cdot (-1) = -5$.
Число 5 изменилось на противоположное ему число –5.

2. Если число $a$ отрицательное.
При умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Например, если взять число –7:
$(-7) \cdot (-1) = 7$.
Число –7 изменилось на противоположное ему число 7.

3. Если число $a$ равно нулю.
Умножение любого числа на ноль всегда дает в результате ноль.
$0 \cdot (-1) = 0$.
Число 0 является противоположным самому себе.

Таким образом, можно сделать общий вывод: для любого числа $a$ умножение на $(-1)$ меняет его знак на противоположный. Математически это записывается как $a \cdot (-1) = -a$.

Ответ: Получится число, противоположное исходному. То есть у числа изменится знак (с плюса на минус или с минуса на плюс), а его абсолютное значение (модуль) останется прежним. Если исходное число было 0, оно останется 0.

3.106. Вычислите столбиком:

а) $123 \cdot 9$;

б) $357 \cdot 8$;

в) $256 \cdot 32$;

г) $457 \cdot 48$;

д) $521 \cdot 32$;

е) $439 \cdot 528$.

а) Вычислим произведение чисел $123$ и $9$ столбиком.

  123×   9------ 1107

1. Умножаем единицы: $3 \cdot 9 = 27$. Пишем $7$ в разряд единиц, $2$ десятка запоминаем (переносим в следующий разряд).
2. Умножаем десятки: $2 \cdot 9 = 18$. Прибавляем $2$ десятка из переноса: $18 + 2 = 20$. Пишем $0$ в разряд десятков, $2$ сотни запоминаем.
3. Умножаем сотни: $1 \cdot 9 = 9$. Прибавляем $2$ сотни из переноса: $9 + 2 = 11$. Пишем $11$ в разряды сотен и тысяч.
Получаем результат $1107$.
Ответ: $1107$.

б) Вычислим произведение чисел $357$ и $8$ столбиком.

  357×   8------ 2856

1. Умножаем единицы: $7 \cdot 8 = 56$. Пишем $6$ в разряд единиц, $5$ десятков запоминаем.
2. Умножаем десятки: $5 \cdot 8 = 40$. Прибавляем $5$ десятков из переноса: $40 + 5 = 45$. Пишем $5$ в разряд десятков, $4$ сотни запоминаем.
3. Умножаем сотни: $3 \cdot 8 = 24$. Прибавляем $4$ сотни из переноса: $24 + 4 = 28$. Пишем $28$ в разряды сотен и тысяч.
Получаем результат $2856$.
Ответ: $2856$.

в) Вычислим произведение чисел $256$ и $32$ столбиком.

  256×   32------ 512+ 768 ------ 8192

1. Сначала умножаем $256$ на $2$ (единицы второго множителя): $256 \cdot 2 = 512$. Это первое неполное произведение.
2. Затем умножаем $256$ на $3$ (десятки второго множителя): $256 \cdot 3 = 768$. Это второе неполное произведение. Записываем его со сдвигом на один разряд влево (под десятками первого неполного произведения).
3. Складываем неполные произведения: $512 + 7680 = 8192$.
Получаем результат $8192$.
Ответ: $8192$.

г) Вычислим произведение чисел $457$ и $48$ столбиком.

  457×   48------ 3656+1828 ------ 21936

1. Умножаем $457$ на $8$: $457 \cdot 8 = 3656$. Это первое неполное произведение.
2. Умножаем $457$ на $4$: $457 \cdot 4 = 1828$. Второе неполное произведение, записываем его со сдвигом на один разряд влево.
3. Складываем неполные произведения: $3656 + 18280 = 21936$.
Получаем результат $21936$.
Ответ: $21936$.

д) Вычислим произведение чисел $521$ и $32$ столбиком.

  521×   32------ 1042+1563 ------ 16672

1. Умножаем $521$ на $2$: $521 \cdot 2 = 1042$. Это первое неполное произведение.
2. Умножаем $521$ на $3$: $521 \cdot 3 = 1563$. Второе неполное произведение, записываем его со сдвигом на один разряд влево.
3. Складываем неполные произведения: $1042 + 15630 = 16672$.
Получаем результат $16672$.
Ответ: $16672$.

е) Вычислим произведение чисел $439$ и $528$ столбиком.

  439×  528------- 3512 878 +2195  ------- 231792

1. Умножаем $439$ на $8$ (единицы): $439 \cdot 8 = 3512$. Это первое неполное произведение.
2. Умножаем $439$ на $2$ (десятки): $439 \cdot 2 = 878$. Второе неполное произведение, записываем его со сдвигом на один разряд влево.
3. Умножаем $439$ на $5$ (сотни): $439 \cdot 5 = 2195$. Третье неполное произведение, записываем его со сдвигом на два разряда влево.
4. Складываем неполные произведения: $3512 + 8780 + 219500 = 231792$.
Получаем результат $231792$.
Ответ: $231792$.

3.107. Вычислите, применяя законы умножения:

а) $24 \cdot 2 \cdot 5;$

б) $47 \cdot 4 \cdot 25;$

в) $53 \cdot 8 \cdot 125;$

г) $2 \cdot 37 \cdot 5;$

д) $25 \cdot 57 \cdot 4;$

е) $8 \cdot 39 \cdot 125.$

а) $24 \cdot 2 \cdot 5$

Для упрощения вычислений воспользуемся сочетательным законом умножения, который позволяет нам группировать множители в любом порядке. Сгруппируем множители 2 и 5, так как их произведение — это круглое число 10.

$24 \cdot (2 \cdot 5) = 24 \cdot 10 = 240$

Ответ: 240

б) $47 \cdot 4 \cdot 25$

Применим сочетательный закон умножения. Удобно сгруппировать множители 4 и 25, так как их произведение равно 100.

$47 \cdot (4 \cdot 25) = 47 \cdot 100 = 4700$

Ответ: 4700

в) $53 \cdot 8 \cdot 125$

Используя сочетательный закон умножения, сгруппируем множители 8 и 125. Их произведение равно 1000, что значительно упрощает дальнейшие вычисления.

$53 \cdot (8 \cdot 125) = 53 \cdot 1000 = 53000$

Ответ: 53000

г) $2 \cdot 37 \cdot 5$

Применим переместительный и сочетательный законы умножения, чтобы поменять множители местами и сгруппировать 2 и 5.

$(2 \cdot 5) \cdot 37 = 10 \cdot 37 = 370$

Ответ: 370

д) $25 \cdot 57 \cdot 4$

Используя переместительный и сочетательный законы умножения, сгруппируем множители 25 и 4, так как их произведение равно 100.

$(25 \cdot 4) \cdot 57 = 100 \cdot 57 = 5700$

Ответ: 5700

е) $8 \cdot 39 \cdot 125$

Воспользуемся переместительным и сочетательным законами, чтобы сгруппировать множители 8 и 125. Их произведение равно 1000.

$(8 \cdot 125) \cdot 39 = 1000 \cdot 39 = 39000$

Ответ: 39000

3.108 Вычислите:

а) $12^2$;

б) $9^3$;

в) $4^4$;

г) $2^5$.

а) Возведение в степень 2 (в квадрат) означает умножение числа само на себя.
$12^2 = 12 \times 12 = 144$.
Ответ: 144

б) Возведение в степень 3 (в куб) означает умножение числа само на себя три раза.
$9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 81 \times 9 = 729$.
Ответ: 729

в) Возведение в степень 4 означает умножение числа само на себя четыре раза.
$4^4 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 16 = 256$.
Ответ: 256

г) Возведение в степень 5 означает умножение числа само на себя пять раз.
$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
Ответ: 32

3.109. Определите знак произведения. Выполните умножение:

a) $(-2) \cdot (+3);$

б) $(+8) \cdot (-3);$

в) $(+6) \cdot (-5);$

г) $(-7) \cdot (+4);$

д) $(-2) \cdot (-1);$

е) $(-8) \cdot (-8);$

ж) $(-7) \cdot (-9);$

з) $(+9) \cdot (+8);$

и) $(+10) \cdot (+77).$

а) $(-2) \cdot (+3)$

Множители имеют разные знаки (один отрицательный, другой положительный), следовательно, их произведение будет отрицательным числом. Чтобы найти модуль произведения, перемножим модули множителей.

$(-2) \cdot (+3) = -(2 \cdot 3) = -6$

Ответ: -6

б) $(+8) \cdot (-3)$

Множители имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный), поэтому произведение будет отрицательным.

$(+8) \cdot (-3) = -(8 \cdot 3) = -24$

Ответ: -24

в) $(+6) \cdot (-5)$

Множители имеют разные знаки, значит, произведение будет отрицательным.

$(+6) \cdot (-5) = -(6 \cdot 5) = -30$

Ответ: -30

г) $(-7) \cdot (+4)$

Множители имеют разные знаки, поэтому их произведение — отрицательное число.

$(-7) \cdot (+4) = -(7 \cdot 4) = -28$

Ответ: -28

д) $(-2) \cdot (-1)$

Множители имеют одинаковые знаки (оба отрицательные), следовательно, их произведение будет положительным числом. Чтобы найти его, нужно перемножить модули множителей.

$(-2) \cdot (-1) = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: 2

е) $(-8) \cdot (-8)$

Множители имеют одинаковые знаки (оба отрицательные), поэтому произведение будет положительным.

$(-8) \cdot (-8) = 8 \cdot 8 = 64$

Ответ: 64

ж) $(-7) \cdot (-9)$

Множители имеют одинаковые знаки, значит, произведение будет положительным.

$(-7) \cdot (-9) = 7 \cdot 9 = 63$

Ответ: 63

з) $(+9) \cdot (+8)$

Множители имеют одинаковые знаки (оба положительные), поэтому их произведение — положительное число.

$(+9) \cdot (+8) = 9 \cdot 8 = 72$

Ответ: 72

и) $(+10) \cdot (+77)$

Множители имеют одинаковые знаки, поэтому произведение будет положительным.

$(+10) \cdot (+77) = 10 \cdot 77 = 770$

Ответ: 770

3.110. Выполните умножение:

а) $0 \cdot (-5);$

б) $(+3) \cdot 0;$

в) $(-6) \cdot 0;$

г) $(+49) \cdot 0;$

д) $0 \cdot (-54);$

е) $0 \cdot (+48).$

а) Чтобы найти произведение $0 \cdot (-5)$, используется свойство умножения на ноль. Это свойство гласит, что при умножении любого числа на ноль в результате всегда получается ноль. Следовательно, $0 \cdot (-5) = 0$.

Ответ: $0$

б) В выражении $(+3) \cdot 0$ один из множителей равен нулю. Согласно основному правилу умножения, если хотя бы один из множителей равен нулю, то и всё произведение равно нулю. Таким образом, $(+3) \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$

в) Для вычисления произведения $(-6) \cdot 0$ применяется свойство умножения на ноль. Любое число, будь то положительное, отрицательное или ноль, при умножении на ноль даёт в результате ноль. Поэтому, $(-6) \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$

г) Пример $(+49) \cdot 0$ решается с помощью того же свойства умножения на ноль. Так как один из сомножителей равен нулю, произведение равно нулю. То есть, $(+49) \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$

д) Чтобы найти произведение $0 \cdot (-54)$, необходимо применить правило умножения на ноль. Произведение нуля и любого числа всегда равно нулю. Следовательно, $0 \cdot (-54) = 0$.

Ответ: $0$

е) В последнем примере $0 \cdot (+48)$ мы также применяем свойство умножения на ноль. Результатом умножения нуля на любое число (в данном случае $+48$) является ноль. Таким образом, $0 \cdot (+48) = 0$.

Ответ: $0$

3.111. Выполните умножение по образцу:

$(-56) \cdot (-13) = + (56 \cdot 13) = ...$

$\begin{array}{r} 56 \\ \times 13 \\ \hline \dots \end{array}$

а) $(+45) \cdot (-13);$
б) $(+230) \cdot (-48);$
в) $(-505) \cdot (-8);$
г) $(-358) \cdot (-5);$
д) $(-24) \cdot (-35);$
е) $(-125) \cdot (-160);$
ж) $(-405) \cdot (+28);$
з) $(-72) \cdot (+101);$
и) $(+15) \cdot (+16).$

Для решения данных примеров необходимо использовать правила умножения целых чисел:

• Произведение двух чисел с одинаковыми знаками (оба положительные или оба отрицательные) есть число положительное. Чтобы найти его модуль, нужно перемножить модули множителей.
• Произведение двух чисел с разными знаками (одно положительное, другое отрицательное) есть число отрицательное. Чтобы найти его модуль, нужно перемножить модули множителей.

При умножении чисел с разными знаками (положительного на отрицательное) результат будет отрицательным. Перемножаем модули чисел $45$ и $13$.
$(+45) \cdot (-13) = -(45 \cdot 13)$
Вычисляем произведение: $45 \cdot 13 = 45 \cdot (10 + 3) = 450 + 135 = 585$.
Таким образом, результат равен $-585$.
Ответ: -585

Произведение чисел с разными знаками является отрицательным. Перемножаем модули $230$ и $48$.
$(+230) \cdot (-48) = -(230 \cdot 48)$
Вычисляем произведение: $230 \cdot 48 = 230 \cdot (40 + 8) = 9200 + 1840 = 11040$.
Таким образом, результат равен $-11040$.
Ответ: -11040

При умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Перемножаем модули $505$ и $8$.
$(-505) \cdot (-8) = +(505 \cdot 8)$
Вычисляем произведение: $505 \cdot 8 = (500 + 5) \cdot 8 = 4000 + 40 = 4040$.
Таким образом, результат равен $4040$.
Ответ: 4040

Произведение двух отрицательных чисел является положительным. Перемножаем модули $358$ и $5$.
$(-358) \cdot (-5) = +(358 \cdot 5)$
Вычисляем произведение: $358 \cdot 5 = (300 + 50 + 8) \cdot 5 = 1500 + 250 + 40 = 1790$.
Таким образом, результат равен $1790$.
Ответ: 1790

Произведение двух отрицательных чисел является положительным. Перемножаем модули $24$ и $35$.
$(-24) \cdot (-35) = +(24 \cdot 35)$
Вычисляем произведение: $24 \cdot 35 = 840$.
Таким образом, результат равен $840$.
Ответ: 840

Произведение двух отрицательных чисел является положительным. Перемножаем модули $125$ и $160$.
$(-125) \cdot (-160) = +(125 \cdot 160)$
Вычисляем произведение: $125 \cdot 160 = 125 \cdot 16 \cdot 10 = 2000 \cdot 10 = 20000$.
Таким образом, результат равен $20000$.
Ответ: 20000

Произведение чисел с разными знаками (отрицательного на положительное) является отрицательным. Перемножаем модули $405$ и $28$.
$(-405) \cdot (+28) = -(405 \cdot 28)$
Вычисляем произведение: $405 \cdot 28 = 405 \cdot (20 + 8) = 8100 + 3240 = 11340$.
Таким образом, результат равен $-11340$.
Ответ: -11340

Произведение чисел с разными знаками является отрицательным. Перемножаем модули $72$ и $101$.
$(-72) \cdot (+101) = -(72 \cdot 101)$
Вычисляем произведение: $72 \cdot 101 = 72 \cdot (100 + 1) = 7200 + 72 = 7272$.
Таким образом, результат равен $-7272$.
Ответ: -7272

Произведение двух положительных чисел является положительным. Перемножаем числа $15$ и $16$.
$(+15) \cdot (+16) = +(15 \cdot 16)$
Вычисляем произведение: $15 \cdot 16 = 15 \cdot (10 + 6) = 150 + 90 = 240$.
Таким образом, результат равен $240$.
Ответ: 240

3.112. Упростите запись произведения в предыдущем задании.

Поскольку в задании требуется упростить произведения из предыдущего задания, а само предыдущее задание не приведено, мы покажем общий принцип на нескольких примерах. Упростить запись произведения одинаковых множителей — значит представить это произведение в виде степени. Основанием степени является повторяющийся множитель, а показателем степени — количество его повторений.

а) $a \cdot a \cdot a \cdot a$

В данном произведении множитель $a$ повторяется 4 раза. Следовательно, это произведение можно записать в виде степени $a^4$.

Ответ: $a^4$

б) $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6$

Множитель 6 повторяется 5 раз. Записываем это произведение в виде степени с основанием 6 и показателем 5.

Ответ: $6^5$

в) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$

Здесь множитель $(-2)$ повторяется 3 раза. Важно сохранить скобки, чтобы показать, что в степень возводится отрицательное число.

Ответ: $(-2)^3$

г) $(x+y) \cdot (x+y)$

В этом случае повторяющимся множителем является целое выражение $(x+y)$. Оно повторяется 2 раза.

Ответ: $(x+y)^2$

д) $c \cdot c \cdot c \cdot d \cdot d$

В этом произведении есть две группы одинаковых множителей. Множитель $c$ повторяется 3 раза, что дает $c^3$. Множитель $d$ повторяется 2 раза, что дает $d^2$. Объединяем их в одно выражение.

Ответ: $c^3d^2$

е) $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Множитель, который является дробью $\frac{1}{3}$, повторяется 4 раза. При записи в виде степени дробь или любое составное выражение берется в скобки.

Ответ: $(\frac{1}{3})^4$

3.113. Определите знак произведения:

а) $(-1) \cdot (-1);$

б) $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1);$

в) $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1);$

г) $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1).$

Для определения знака произведения необходимо посчитать количество отрицательных множителей. Если их количество является четным числом, то результат произведения будет положительным (знак «+»). Если же их количество нечетное, то результат будет отрицательным (знак «–»).

а) В произведении $(-1) \cdot (-1)$ два множителя. Число 2 – четное, поэтому знак произведения будет положительным.
$(-1) \cdot (-1) = 1$.
Ответ: знак плюс (+).

б) В произведении $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)$ три множителя. Число 3 – нечетное, поэтому знак произведения будет отрицательным.
$(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1$.
Ответ: знак минус (–).

в) В произведении $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)$ четыре множителя. Число 4 – четное, поэтому знак произведения будет положительным.
$(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^4 = 1$.
Ответ: знак плюс (+).

г) В произведении $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)$ семь множителей. Число 7 – нечетное, поэтому знак произведения будет отрицательным.
$(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^7 = -1$.
Ответ: знак минус (–).