Страница 110 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.148. Запишите распределительный закон для целых чисел $a, b, c$, сформулируйте его.

Распределительный закон (также называемый дистрибутивным свойством умножения) для любых целых чисел $a$, $b$ и $c$ связывает операции умножения и сложения/вычитания.

Запись распределительного закона в виде формулы:

1. Для сложения:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

2. Для вычитания:
$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Словесная формулировка распределительного закона:

Чтобы умножить число на сумму (или разность) двух чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое (или на уменьшаемое и вычитаемое) и полученные произведения сложить (или соответственно вычесть).

Ответ: Формула распределительного закона: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Формулировка: чтобы число умножить на сумму двух чисел, надо это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

3.149 Как называют переход от суммы $a \cdot c + b \cdot c$ к произведению $(a + b) \cdot c$?

Переход от выражения, представляющего собой сумму, к равному ему выражению, представляющему собой произведение, называется разложением на множители. В данном случае, выражение $a \cdot c + b \cdot c$ является суммой двух слагаемых: $a \cdot c$ и $b \cdot c$.

Каждое из этих слагаемых содержит общий множитель $c$. Процедура преобразования суммы $a \cdot c + b \cdot c$ в произведение $(a + b) \cdot c$ заключается в том, что этот общий множитель $c$ "выносится" за скобки. Эта операция является следствием распределительного закона умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

Таким образом, этот переход называется вынесением общего множителя за скобки.

Ответ: Вынесение общего множителя за скобки.

3.150. Проверьте выполнение распределительного закона для чисел $a, b, c$:

a) $a=-5, b=3, c=-10$;

б) $a=-5, b=-3, c=6$.

Распределительный закон умножения относительно сложения (дистрибутивность) утверждает, что для любых чисел $a, b, c$ выполняется равенство: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Чтобы проверить выполнение этого закона, необходимо вычислить значение левой и правой частей этого равенства для заданных чисел и сравнить их.

а) Для чисел $a = -5$, $b = 3$, $c = -10$.

1. Вычислим значение левой части равенства $a \cdot (b + c)$:

$ -5 \cdot (3 + (-10)) = -5 \cdot (3 - 10) = -5 \cdot (-7) = 35 $

2. Вычислим значение правой части равенства $a \cdot b + a \cdot c$:

$ (-5) \cdot 3 + (-5) \cdot (-10) = -15 + 50 = 35 $

3. Сравним полученные результаты:

$ 35 = 35 $

Поскольку левая и правая части равенства равны, распределительный закон для данных чисел выполняется.

Ответ: выполняется.

б) Для чисел $a = -5$, $b = -3$, $c = 6$.

1. Вычислим значение левой части равенства $a \cdot (b + c)$:

$ -5 \cdot (-3 + 6) = -5 \cdot 3 = -15 $

2. Вычислим значение правой части равенства $a \cdot b + a \cdot c$:

$ (-5) \cdot (-3) + (-5) \cdot 6 = 15 + (-30) = 15 - 30 = -15 $

3. Сравним полученные результаты:

$ -15 = -15 $

Поскольку левая и правая части равенства равны, распределительный закон для данных чисел выполняется.

Ответ: выполняется.

3.151. Запишите произведение в виде суммы по образцу:

a) $ (-5) \cdot (-12 + 16) = (-5) \cdot (-12) + (-5) \cdot 16; $

б) $ 6 \cdot (8 + (-17)); $

в) $ (-7) \cdot ((-15) + (-12)); $

г) $ 16 \cdot (8 - 17); $

д) $ (-17) \cdot (-15 - 12); $

е) $ (25 + 16) \cdot (-9); $

ж) $ (45 - 17) \cdot (-11); $

з) $ (-15 - 42) \cdot 13; $

и) $ (-28 - 37) \cdot (-3). $

б) Чтобы записать произведение $6 \cdot (8 + (-17))$ в виде суммы, применим распределительное свойство умножения относительно сложения $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

$6 \cdot (8 + (-17)) = 6 \cdot 8 + 6 \cdot (-17)$

Теперь вычислим значение выражения:

$6 \cdot 8 + 6 \cdot (-17) = 48 + (-102) = 48 - 102 = -54$

Ответ: $6 \cdot 8 + 6 \cdot (-17) = -54$.

в) Применим распределительное свойство к выражению $(-7) \cdot ((-15) + (-12))$.

$(-7) \cdot ((-15) + (-12)) = (-7) \cdot (-15) + (-7) \cdot (-12)$

Вычислим значение:

$(-7) \cdot (-15) + (-7) \cdot (-12) = 105 + 84 = 189$

Ответ: $(-7) \cdot (-15) + (-7) \cdot (-12) = 189$.

г) Преобразуем разность в скобках в сумму: $8 - 17 = 8 + (-17)$. Теперь применим распределительное свойство к выражению $16 \cdot (8 - 17)$.

$16 \cdot (8 - 17) = 16 \cdot (8 + (-17)) = 16 \cdot 8 + 16 \cdot (-17)$

Вычислим значение:

$16 \cdot 8 + 16 \cdot (-17) = 128 + (-272) = 128 - 272 = -144$

Ответ: $16 \cdot 8 + 16 \cdot (-17) = -144$.

д) Преобразуем разность в скобках в сумму: $-15 - 12 = -15 + (-12)$. Применим распределительное свойство к выражению $(-17) \cdot (-15 - 12)$.

$(-17) \cdot (-15 - 12) = (-17) \cdot (-15 + (-12)) = (-17) \cdot (-15) + (-17) \cdot (-12)$

Вычислим значение:

$(-17) \cdot (-15) + (-17) \cdot (-12) = 255 + 204 = 459$

Ответ: $(-17) \cdot (-15) + (-17) \cdot (-12) = 459$.

е) В этом случае множитель стоит после скобок. Распределительное свойство также применимо в виде $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

$(25 + 16) \cdot (-9) = 25 \cdot (-9) + 16 \cdot (-9)$

Вычислим значение:

$25 \cdot (-9) + 16 \cdot (-9) = -225 + (-144) = -225 - 144 = -369$

Ответ: $25 \cdot (-9) + 16 \cdot (-9) = -369$.

ж) Преобразуем разность в сумму: $45 - 17 = 45 + (-17)$. Применим распределительное свойство к выражению $(45 - 17) \cdot (-11)$.

$(45 - 17) \cdot (-11) = (45 + (-17)) \cdot (-11) = 45 \cdot (-11) + (-17) \cdot (-11)$

Вычислим значение:

$45 \cdot (-11) + (-17) \cdot (-11) = -495 + 187 = -308$

Ответ: $45 \cdot (-11) + (-17) \cdot (-11) = -308$.

з) Представим выражение в скобках как сумму: $-15 - 42 = -15 + (-42)$. Применим распределительное свойство к выражению $(-15 - 42) \cdot 13$.

$(-15 - 42) \cdot 13 = (-15 + (-42)) \cdot 13 = (-15) \cdot 13 + (-42) \cdot 13$

Вычислим значение:

$(-15) \cdot 13 + (-42) \cdot 13 = -195 + (-546) = -195 - 546 = -741$

Ответ: $(-15) \cdot 13 + (-42) \cdot 13 = -741$.

и) Представим выражение в скобках как сумму: $-28 - 37 = -28 + (-37)$. Применим распределительное свойство к выражению $(-28 - 37) \cdot (-3)$.

$(-28 - 37) \cdot (-3) = (-28 + (-37)) \cdot (-3) = (-28) \cdot (-3) + (-37) \cdot (-3)$

Вычислим значение:

$(-28) \cdot (-3) + (-37) \cdot (-3) = 84 + 111 = 195$

Ответ: $(-28) \cdot (-3) + (-37) \cdot (-3) = 195$.

3.152. Верно ли применён распределительный закон:

а) $(-2) \cdot (5 + 7) = -10 - 14;$

б) $(-7 + 5 - 8) \cdot (-2) = 14 - 10 + 16;$

в) $(7 - 8) \cdot (-3) = -21 - 24;$

г) $6 \cdot ((-4) + (-12)) = -24 - 72?$

Проверим применение распределительного закона для выражения $(-2) \cdot (5 + 7) = -10 - 14$.

Распределительный закон умножения относительно сложения гласит: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Применим этот закон к левой части равенства, умножив $(-2)$ на каждое слагаемое в скобках:

$(-2) \cdot (5 + 7) = (-2) \cdot 5 + (-2) \cdot 7 = -10 + (-14) = -10 - 14$.

Результат применения закона $(-10 - 14)$ совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, распределительный закон применён верно.

Для дополнительной проверки вычислим значения обеих частей равенства:

Левая часть: $(-2) \cdot (5 + 7) = (-2) \cdot 12 = -24$.

Правая часть: $-10 - 14 = -24$.

Поскольку $-24 = -24$, равенство верное.

Ответ: Верно.

Проверим применение распределительного закона для выражения $(-7 + 5 - 8) \cdot (-2) = 14 - 10 + 16$.

Распределительный закон можно применить и для суммы трёх и более слагаемых: $(a + b - c) \cdot d = a \cdot d + b \cdot d - c \cdot d$.

Применим его к левой части равенства, умножив каждое число в скобках на $(-2)$:

$(-7 + 5 - 8) \cdot (-2) = (-7) \cdot (-2) + 5 \cdot (-2) - 8 \cdot (-2) = 14 + (-10) - (-16) = 14 - 10 + 16$.

Результат применения закона $(14 - 10 + 16)$ совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, распределительный закон применён верно.

Для дополнительной проверки вычислим значения обеих частей равенства:

Левая часть: $(-7 + 5 - 8) \cdot (-2) = (-2 - 8) \cdot (-2) = (-10) \cdot (-2) = 20$.

Правая часть: $14 - 10 + 16 = 4 + 16 = 20$.

Поскольку $20 = 20$, равенство верное.

Ответ: Верно.

Проверим применение распределительного закона для выражения $(7 - 8) \cdot (-3) = -21 - 24$.

Распределительный закон умножения относительно вычитания гласит: $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

Применим этот закон к левой части равенства:

$(7 - 8) \cdot (-3) = 7 \cdot (-3) - 8 \cdot (-3) = -21 - (-24) = -21 + 24$.

Результат применения закона $(-21 + 24)$ не совпадает с правой частью исходного равенства $(-21 - 24)$. Следовательно, распределительный закон применён неверно. Ошибка в знаке второго слагаемого.

Для дополнительной проверки вычислим значения обеих частей равенства:

Левая часть: $(7 - 8) \cdot (-3) = (-1) \cdot (-3) = 3$.

Правая часть: $-21 - 24 = -45$.

Поскольку $3 \neq -45$, равенство неверное.

Ответ: Неверно.

Проверим применение распределительного закона для выражения $6 \cdot ((-4) + (-12)) = -24 - 72$.

Распределительный закон умножения относительно сложения: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Применим его к левой части равенства, умножив $6$ на каждое слагаемое в скобках:

$6 \cdot ((-4) + (-12)) = 6 \cdot (-4) + 6 \cdot (-12) = -24 + (-72) = -24 - 72$.

Результат применения закона $(-24 - 72)$ совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, распределительный закон применён верно.

Для дополнительной проверки вычислим значения обеих частей равенства:

Левая часть: $6 \cdot ((-4) + (-12)) = 6 \cdot (-16) = -96$.

Правая часть: $-24 - 72 = -96$.

Поскольку $-96 = -96$, равенство верное.

Ответ: Верно.

3.153. Вместо знака □ поставьте знак «+» или «–» так, чтобы равенство было верным:

а) $3 \cdot (2 - 7) = \square 3 \cdot 2 \square 3 \cdot 7;$

б) $(-5) \cdot (-6 - 7) = \square 5 \cdot 6 \square 5 \cdot 7;$

в) $(-2) \cdot (6 + 9) = \square 2 \cdot 6 \square 2 \cdot 9;$

г) $(-2) \cdot (6 - 9) = \square 2 \cdot 6 \square 2 \cdot 9.$

Чтобы равенства были верными, необходимо правильно расставить знаки, используя распределительное свойство умножения и правила действий с отрицательными числами. Распределительное свойство гласит: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$ и $a \cdot (b-c) = a \cdot b - a \cdot c$.

Рассмотрим равенство $3 \cdot (2 - 7) = \square 3 \cdot 2 \square 3 \cdot 7$.

Сначала вычислим значение выражения в левой части: $3 \cdot (2 - 7) = 3 \cdot (-5) = -15$.

Теперь применим распределительное свойство умножения к левой части: $3 \cdot (2 - 7) = 3 \cdot 2 - 3 \cdot 7$.

Сравнивая полученное выражение с правой частью $\square 3 \cdot 2 \square 3 \cdot 7$, видим, что перед первым произведением ($3 \cdot 2$) должен стоять знак «+» (который обычно опускается), а перед вторым ($3 \cdot 7$) — знак «–».

Проверим правую часть с этими знаками: $+3 \cdot 2 - 3 \cdot 7 = 6 - 21 = -15$.

Так как $-15 = -15$, равенство верно.

Ответ: $3 \cdot (2-7) = +3 \cdot 2 - 3 \cdot 7$.

Рассмотрим равенство $(-5) \cdot (-6 - 7) = \square 5 \cdot 6 \square 5 \cdot 7$.

Вычислим значение в левой части: $(-5) \cdot (-6 - 7) = (-5) \cdot (-13)$. Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому $(-5) \cdot (-13) = 65$.

Теперь раскроем скобки в левой части, используя распределительное свойство. Выражение $-6 - 7$ можно записать как $-6 + (-7)$.

$(-5) \cdot (-6 + (-7)) = (-5) \cdot (-6) + (-5) \cdot (-7) = 30 + 35 = 65$.

Правая часть равенства имеет вид $\square 5 \cdot 6 \square 5 \cdot 7$. Так как $5 \cdot 6 = 30$ и $5 \cdot 7 = 35$, чтобы получить в сумме $65$, перед обоими слагаемыми нужно поставить знак «+».

Проверим правую часть: $+5 \cdot 6 + 5 \cdot 7 = 30 + 35 = 65$.

Равенство $65 = 65$ является верным.

Ответ: $(-5) \cdot (-6-7) = +5 \cdot 6 + 5 \cdot 7$.

Рассмотрим равенство $(-2) \cdot (6 + 9) = \square 2 \cdot 6 \square 2 \cdot 9$.

Вычислим значение левой части: $(-2) \cdot (6 + 9) = (-2) \cdot 15 = -30$.

Применим распределительное свойство к левой части: $(-2) \cdot (6 + 9) = (-2) \cdot 6 + (-2) \cdot 9$.

Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно, поэтому: $(-2) \cdot 6 = -12$ и $(-2) \cdot 9 = -18$.

Таким образом, выражение равно $-12 - 18 = -30$.

Сравнивая это с правой частью $\square 2 \cdot 6 \square 2 \cdot 9$, мы видим, что перед обоими произведениями должен стоять знак «–».

Проверим правую часть: $-2 \cdot 6 - 2 \cdot 9 = -12 - 18 = -30$.

Равенство $-30 = -30$ является верным.

Ответ: $(-2) \cdot (6+9) = -2 \cdot 6 - 2 \cdot 9$.

Рассмотрим равенство $(-2) \cdot (6 - 9) = \square 2 \cdot 6 \square 2 \cdot 9$.

Вычислим значение левой части: $(-2) \cdot (6 - 9) = (-2) \cdot (-3) = 6$.

Применим распределительное свойство к левой части: $(-2) \cdot (6 - 9) = (-2) \cdot 6 - (-2) \cdot 9$.

Вычислим произведения, учитывая знаки:

$(-2) \cdot 6 = -12$

$-(-2) \cdot 9 = -(-18) = 18$

Таким образом, выражение равно $-12 + 18 = 6$.

Сравнивая это с правой частью $\square 2 \cdot 6 \square 2 \cdot 9$, мы видим, что перед первым произведением должен стоять знак «–», а перед вторым — знак «+».

Проверим правую часть: $-2 \cdot 6 + 2 \cdot 9 = -12 + 18 = 6$.

Равенство $6 = 6$ является верным.

Ответ: $(-2) \cdot (6-9) = -2 \cdot 6 + 2 \cdot 9$.

Упростите числовое выражение (3.154-3.156).

3.154. а) $ (-8) \cdot (-7 + 5) - 5 \cdot (-8); $

б) $ 3 \cdot (-98 + 2) + 3 \cdot 98; $

в) $ (-8) \cdot (-47 + 125) - 47 \cdot 8; $

г) $ (-25) \cdot (45 - 100) + 25 \cdot 45; $

д) $ 83 \cdot (-98 - 1) + 98 \cdot 83; $

е) $ (-15) \cdot (-7 + 15) - 7 \cdot 15. $

а) $(-8) \cdot (-7 + 5) - 5 \cdot (-8)$

В этом выражении есть общий множитель $(-8)$. Вынесем его за скобки, используя распределительный закон умножения $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$.

$(-8) \cdot (-7 + 5) - 5 \cdot (-8) = (-8) \cdot [(-7 + 5) - 5]$

Сначала выполним действия во внутренних скобках, а затем в квадратных:

$(-8) \cdot [(-2) - 5] = (-8) \cdot (-7)$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом:

$(-8) \cdot (-7) = 56$

Ответ: 56

б) $3 \cdot (-98 + 2) + 3 \cdot 98$

Раскроем скобки в первом слагаемом, используя распределительный закон $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

$3 \cdot (-98) + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 98$

Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель 98. Сумма противоположных чисел равна нулю.

$(3 \cdot (-98) + 3 \cdot 98) + 3 \cdot 2 = (-294 + 294) + 6 = 0 + 6 = 6$

Другой способ — вынести общий множитель 3 из сгруппированных слагаемых:

$3 \cdot (-98 + 98) + 3 \cdot 2 = 3 \cdot 0 + 6 = 0 + 6 = 6$

Ответ: 6

в) $(-8) \cdot (-47 + 125) - 47 \cdot 8$

Заметим, что $-47 \cdot 8$ можно записать как $+47 \cdot (-8)$. Тогда в выражении появится общий множитель $(-8)$.

$(-8) \cdot (-47 + 125) + 47 \cdot (-8)$

Теперь вынесем общий множитель $(-8)$ за скобки:

$(-8) \cdot [(-47 + 125) + 47]$

Выполним действия в скобках. Слагаемые $-47$ и $47$ взаимно уничтожаются.

$(-8) \cdot [-47 + 125 + 47] = (-8) \cdot 125$

Вычислим произведение:

$(-8) \cdot 125 = -1000$

Ответ: -1000

г) $(-25) \cdot (45 - 100) + 25 \cdot 45$

Преобразуем второе слагаемое: $25 \cdot 45 = -(-25) \cdot 45$. Это позволит нам вынести общий множитель $(-25)$ за скобки.

$(-25) \cdot (45 - 100) - (-25) \cdot 45$

Выносим $(-25)$ за скобки:

$(-25) \cdot [(45 - 100) - 45]$

Выполним действия в квадратных скобках:

$(-25) \cdot [45 - 100 - 45] = (-25) \cdot (-100)$

Произведение двух отрицательных чисел положительно:

$(-25) \cdot (-100) = 2500$

Ответ: 2500

д) $83 \cdot (-98 - 1) + 98 \cdot 83$

В данном выражении есть общий множитель $83$. Вынесем его за скобки:

$83 \cdot [(-98 - 1) + 98]$

Выполним действия в скобках. Слагаемые $-98$ и $98$ взаимно уничтожаются.

$83 \cdot [-98 - 1 + 98] = 83 \cdot (-1)$

Вычислим произведение:

$83 \cdot (-1) = -83$

Ответ: -83

е) $(-15) \cdot (-7 + 15) - 7 \cdot 15$

Преобразуем второе слагаемое $-7 \cdot 15$ к виду $+7 \cdot (-15)$, чтобы получить общий множитель $(-15)$.

$(-15) \cdot (-7 + 15) + 7 \cdot (-15)$

Вынесем общий множитель $(-15)$ за скобки:

$(-15) \cdot [(-7 + 15) + 7]$

Выполним действия в скобках. Слагаемые $-7$ и $7$ взаимно уничтожаются.

$(-15) \cdot [-7 + 15 + 7] = (-15) \cdot 15$

Вычислим произведение:

$(-15) \cdot 15 = -225$

Ответ: -225

3.155. а) $(12 - 27) \cdot (-1);$

б) $(-1) \cdot (35 - 88);$

в) $(-1) \cdot (56 - 74);$

г) $(-1) \cdot (-28 - 112).$

а) Чтобы найти значение выражения $(12 - 27) \cdot (-1)$, необходимо сначала выполнить действие в скобках. Вычислим разность: $12 - 27 = -15$. Теперь умножим полученный результат на $-1$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом: $(-15) \cdot (-1) = 15$.
Ответ: 15

б) В выражении $(-1) \cdot (35 - 88)$ сначала вычислим значение в скобках: $35 - 88 = -53$. Затем умножим результат на $-1$. Умножение на $-1$ меняет знак числа на противоположный: $(-1) \cdot (-53) = 53$.
Ответ: 53

в) Для решения примера $(-1) \cdot (56 - 74)$ первым шагом найдем разность в скобках: $56 - 74 = -18$. Далее умножим полученное число на $-1$. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $(-1) \cdot (-18) = 18$.
Ответ: 18

г) В выражении $(-1) \cdot (-28 - 112)$ сначала выполним действие в скобках. Это сложение двух отрицательных чисел: $-28 - 112 = -(28 + 112) = -140$. Теперь умножим результат на $-1$, что изменит его знак на противоположный: $(-1) \cdot (-140) = 140$.
Ответ: 140

3.15. а) $4 \cdot (-25 + 76 + 24);$

б) $(25 - 62 - 38) \cdot (-4);$

в) $(7 - 125 + 13) \cdot (-8);$

г) $8 \cdot (-8 + 100 - 22 + 25).$

а)

Для решения этого примера сначала выполним действия в скобках. Удобнее сгруппировать числа для более простого вычисления: сложить $76$ и $24$.

1) $76 + 24 = 100$

2) $-25 + 100 = 75$

Теперь умножим полученный результат на 4.

3) $4 \cdot 75 = 300$

Полное решение выглядит так: $4 \cdot (-25 + 76 + 24) = 4 \cdot (-25 + 100) = 4 \cdot 75 = 300$.

Ответ: 300

б)

Сначала выполним действия в скобках. Удобнее сложить отрицательные числа.

1) $-62 - 38 = -(62 + 38) = -100$

2) $25 - 100 = -75$

Теперь умножим полученный результат на -4. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.

3) $(-75) \cdot (-4) = 75 \cdot 4 = 300$

Полное решение выглядит так: $(25 - 62 - 38) \cdot (-4) = (25 - 100) \cdot (-4) = (-75) \cdot (-4) = 300$.

Ответ: 300

в)

Сначала выполним действия в скобках. Сгруппируем и сложим положительные числа.

1) $7 + 13 = 20$

2) $20 - 125 = -105$

Теперь умножим полученный результат на -8. Произведение двух отрицательных чисел положительно.

3) $(-105) \cdot (-8) = 105 \cdot 8 = 840$

Полное решение выглядит так: $(7 - 125 + 13) \cdot (-8) = (7 + 13 - 125) \cdot (-8) = (20 - 125) \cdot (-8) = (-105) \cdot (-8) = 840$.

Ответ: 840

г)

Сначала выполним действия в скобках. Сгруппируем положительные и отрицательные числа.

1) Сложение положительных чисел: $100 + 25 = 125$

2) Сложение отрицательных чисел: $-8 - 22 = -30$

3) Теперь сложим полученные результаты: $125 - 30 = 95$

Теперь умножим результат из скобок на 8.

4) $8 \cdot 95 = 760$

Полное решение выглядит так: $8 \cdot (-8 + 100 - 22 + 25) = 8 \cdot ((100 + 25) + (-8 - 22)) = 8 \cdot (125 - 30) = 8 \cdot 95 = 760$.

Ответ: 760

3.157. Вынесите общий множитель за скобки по образцу:

а) $45 \cdot 13 - 45 \cdot 81 = 45 \cdot (13 - 81)$;

б) $49 \cdot 57 - 49 \cdot 570$;

в) $58 \cdot 64 - 99 \cdot 64$;

г) $(-53) \cdot 48 - (-53) \cdot 59$;

д) $(-45) \cdot 12 + 95 \cdot (-45)$;

е) $-53 \cdot 48 - 57 \cdot 48$;

ж) $-45 \cdot 13 - 45 \cdot 27$.

б) $49 \cdot 57 - 49 \cdot 570$

В данном выражении общим множителем является число 49. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство умножения $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$.

$49 \cdot 57 - 49 \cdot 570 = 49 \cdot (57 - 570)$.

Ответ: $49 \cdot (57 - 570)$.

в) $58 \cdot 64 - 99 \cdot 64$

В этом выражении общим множителем является число 64. Вынесем его за скобки по правилу $b \cdot a - c \cdot a = (b - c) \cdot a$.

$58 \cdot 64 - 99 \cdot 64 = (58 - 99) \cdot 64 = 64 \cdot (58 - 99)$.

Ответ: $64 \cdot (58 - 99)$.

г) $(-53) \cdot 48 - (-53) \cdot 59$

Здесь общим множителем является число (-53). Выносим его за скобки:

$(-53) \cdot 48 - (-53) \cdot 59 = (-53) \cdot (48 - 59)$.

Ответ: $(-53) \cdot (48 - 59)$.

д) $(-45) \cdot 12 + 95 \cdot (-45)$

Общим множителем в данном выражении является число (-45). Применим переместительное свойство ко второму слагаемому: $95 \cdot (-45) = (-45) \cdot 95$.

$(-45) \cdot 12 + (-45) \cdot 95 = (-45) \cdot (12 + 95)$.

Ответ: $(-45) \cdot (12 + 95)$.

е) $-53 \cdot 48 - 57 \cdot 48$

В этом выражении общим множителем является число 48. Представим выражение в виде суммы произведений:

$-53 \cdot 48 - 57 \cdot 48 = (-53) \cdot 48 + (-57) \cdot 48$.

Теперь вынесем общий множитель 48 за скобки:

$(-53 + (-57)) \cdot 48 = (-53 - 57) \cdot 48 = 48 \cdot (-53 - 57)$.

Ответ: $48 \cdot (-53 - 57)$.

ж) $-45 \cdot 13 - 45 \cdot 27$

Представим данное выражение как сумму произведений, где общим множителем будет (-45):

$-45 \cdot 13 - 45 \cdot 27 = (-45) \cdot 13 + (-45) \cdot 27$.

Вынесем общий множитель (-45) за скобки:

$(-45) \cdot (13 + 27)$.

Ответ: $-45 \cdot (13 + 27)$.