Страница 113 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.16. Сформулируйте правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак:

а) «+»;

б) «—».

а) «+»

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» (плюс), формулируется следующим образом: если перед скобками стоит знак «+», то скобки и этот знак «+» можно просто опустить, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок остаются без изменений.
Это можно рассматривать как применение распределительного закона умножения, где выражение в скобках умножается на $+1$.
Пример:
$x + (y - z + 5) = x + y - z + 5$
Здесь мы убрали скобки и знак «+», а знаки слагаемых $y$, $-z$ и $+5$ остались прежними.
Ответ: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно опустить скобки и этот знак «+», а все слагаемые в скобках записать с их собственными знаками.

б) «-»

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-» (минус), формулируется следующим образом: если перед скобками стоит знак «-», то скобки и этот знак «-» нужно опустить, но при этом знаки всех слагаемых внутри скобок необходимо изменить на противоположные (плюс на минус, а минус на плюс).
Это эквивалентно умножению каждого слагаемого в скобках на $-1$.
Пример:
$x - (y - z + 5) = x - y + z - 5$
Здесь мы убрали скобки и знак «-», а знаки слагаемых $y$, $-z$ и $+5$ изменили на противоположные: $-y$, $+z$ и $-5$.
Ответ: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно опустить скобки и этот знак «-», а знаки всех слагаемых в скобках изменить на противоположные.

3.165. По какому правилу заключают в скобки сумму, если перед скобками ставят знак: а) «+»; б) «-»?

а) Если сумму заключают в скобки, перед которыми ставят знак «+», то знаки слагаемых, заключаемых в скобки, оставляют без изменения. Это правило работает, потому что прибавление суммы равносильно последовательному прибавлению каждого ее слагаемого.
Например, если в выражении $a + b - c$ мы хотим заключить в скобки сумму $b - c$, мы просто ставим знак «+» перед скобками и записываем слагаемые с их знаками: $a + (b - c)$.
Раскрытие скобок вернет нас к исходному выражению: $a + (b - c) = a + b - c$.
Ответ: Чтобы заключить сумму в скобки, перед которыми ставят знак «+», нужно записать в скобках все слагаемые с их исходными знаками.

б) Если сумму заключают в скобки, перед которыми ставят знак «-», то знаки всех слагаемых, заключаемых в скобки, меняют на противоположные. Это правило следует из того, что вычитание суммы равносильно прибавлению противоположной ей суммы, то есть прибавлению каждого слагаемого с противоположным знаком.
Например, если в выражении $a - b + c$ мы хотим заключить в скобки сумму $- b + c$, мы ставим знак «-» перед скобками и меняем знаки слагаемых $-b$ и $+c$ на противоположные: $a - (b - c)$.
Проверим, раскрыв скобки: $a - (b - c) = a - b - (-c) = a - b + c$. Мы получили исходное выражение.
Ответ: Чтобы заключить сумму в скобки, перед которыми ставят знак «-», нужно знаки всех слагаемых внутри скобок изменить на противоположные.

Раскройте скобки, объясняя свои действия (3.166–3.168):

3.166. а) $+(5+7);$

б) $+(3-8+7);$

в) $+(-3+8+7);$

г) $+(-10-12+1).$

а) $+(5 + 7)$

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «плюс», нужно убрать этот знак «плюс» вместе со скобками, а знаки всех слагаемых внутри скобок оставить без изменений.

$+(5 + 7) = 5 + 7$

Теперь выполним сложение:

$5 + 7 = 12$

Ответ: $12$

б) $+(3 - 8 + 7)$

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак «плюс». Для этого убираем скобки и знак «плюс», сохраняя знаки всех слагаемых, которые были в скобках.

$+(3 - 8 + 7) = 3 - 8 + 7$

Теперь выполним вычисления. Сгруппируем положительные числа:

$(3 + 7) - 8 = 10 - 8 = 2$

Ответ: $2$

в) $+(-3 + 8 + 7)$

Применяем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»: убираем скобки и знак «плюс», а знаки слагаемых внутри скобок не меняем.

$+(-3 + 8 + 7) = -3 + 8 + 7$

Выполним вычисления:

$-3 + (8 + 7) = -3 + 15 = 12$

Ответ: $12$

г) $+(-10 - 12 + 1)$

Раскрываем скобки по тому же правилу: убираем скобки и стоящий перед ними знак «плюс», при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняем.

$+(-10 - 12 + 1) = -10 - 12 + 1$

Выполним вычисления. Сначала сложим отрицательные числа:

$(-10 - 12) + 1 = -22 + 1 = -21$

Ответ: $-21$

3.167. a) $-(5+7)$;

б) $-(3-8+7)$;

в) $-(-3+8+7)$;

г) $-(-10-12+1)$.

а) Чтобы найти значение выражения $-(5 + 7)$, сначала необходимо выполнить действие в скобках. Сумма чисел 5 и 7 равна 12: $5 + 7 = 12$. Затем, так как перед скобкой стоит знак минус, мы меняем знак полученного результата на противоположный: $-(12) = -12$.
Ответ: -12

б) В выражении $-(3 - 8 + 7)$ сначала вычисляем значение в скобках. Выполняем действия по порядку: $3 - 8 = -5$, затем $-5 + 7 = 2$. Теперь применяем знак минус к полученному числу: $-(2) = -2$.
Ответ: -2

в) В выражении $-(-3 + 8 + 7)$ сначала находим значение в скобках. Выполняем действия по порядку: $-3 + 8 = 5$, затем $5 + 7 = 12$. Применяем знак минус, стоящий перед скобкой, к результату: $-(12) = -12$.
Ответ: -12

г) В выражении $-(-10 - 12 + 1)$ сначала вычисляем значение в скобках. Выполняем действия по порядку: $-10 - 12 = -22$, затем $-22 + 1 = -21$. Теперь применяем знак минус к результату. Так как мы берем число, противоположное отрицательному, результат будет положительным: $-(-21) = 21$.
Ответ: 21

3.168. а) $+(a-b-c)$; б) $-(a-b-c)$; в) $+(-a+b+c)$; г) $-(-a+b+c)$, где $a$, $b$ и $c$ — целые числа.

а) Для того чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «плюс», необходимо убрать этот знак и сами скобки, сохранив знаки всех слагаемых внутри скобок.

$+(a - b - c) = a - b - c$

Ответ: $a - b - c$.

б) Для того чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «минус», необходимо убрать этот знак и сами скобки, изменив знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные.

$-(a - b - c) = -a - (-b) - (-c) = -a + b + c$

Ответ: $-a + b + c$.

в) Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак «плюс». Знаки слагаемых в скобках при этом не изменяются.

$+(-a + b + c) = -a + b + c$

Ответ: $-a + b + c$.

г) Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак «минус». Знаки всех слагаемых в скобках при этом меняются на противоположные.

$-(-a + b + c) = -(-a) - (+b) - (+c) = a - b - c$

Ответ: $a - b - c$.

Раскройте скобки (3.169-3.172):

3.169. а) $+(56 + 42)$; б) $+(7 \cdot 8 + 42)$; в) $+(63 + 42)$;

г) $+(63 + 6 \cdot 7)$; д) $+(61 - 98)$; е) $+(-88 + 99)$.

а) В выражении $+(56 + 42)$ перед скобками стоит знак «+». Если перед скобками стоит знак «+», то при их раскрытии знаки слагаемых внутри скобок не меняются.

$+(56 + 42) = 56 + 42$
Теперь выполним сложение:
$56 + 42 = 98$
Ответ: $98$

б) В выражении $+(7 \cdot 8 + 42)$ перед скобками также стоит знак «+». Раскрываем скобки, сохраняя знаки.

$+(7 \cdot 8 + 42) = 7 \cdot 8 + 42$
Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняем умножение, а затем сложение:
$7 \cdot 8 = 56$
$56 + 42 = 98$
Ответ: $98$

в) В выражении $+(63 + 42)$ раскрываем скобки. Знак «+» перед скобками не меняет знаки слагаемых.

$+(63 + 42) = 63 + 42$
Вычисляем сумму:
$63 + 42 = 105$
Ответ: $105$

г) В выражении $+(63 + 6 \cdot 7)$ раскрываем скобки, сохраняя знаки.

$+(63 + 6 \cdot 7) = 63 + 6 \cdot 7$
Сначала выполняем умножение:
$6 \cdot 7 = 42$
Затем выполняем сложение:
$63 + 42 = 105$
Ответ: $105$

д) В выражении $+(61 - 98)$ раскрываем скобки. Знак «+» перед скобками не меняет знаки чисел внутри.

$+(61 - 98) = 61 - 98$
Выполним вычитание:
$61 - 98 = -37$
Ответ: $-37$

е) В выражении $+(-88 + 99)$ раскрываем скобки. Знак «+» перед скобками не меняет знаки слагаемых.

$+(-88 + 99) = -88 + 99$
Это выражение можно переписать для удобства как $99 - 88$.
$99 - 88 = 11$
Ответ: $11$

3.170. а) $-(41 + 19)$;

б) $-(44 + 57)$;

в) $-(45 - 35)$;

г) $-(45 - 7 \cdot 5)$;

д) $-(45 - 53)$;

е) $-(9 \cdot 5 - 53)$.

а) Чтобы найти значение выражения $-(41 + 19)$, сначала выполним действие в скобках (сложение):
$41 + 19 = 60$
Теперь применим знак минус, который стоит перед скобками, к полученному результату:
$-(60) = -60$
Ответ: -60

б) Чтобы найти значение выражения $-(44 + 57)$, сначала выполним сложение в скобках:
$44 + 57 = 101$
Затем применяем знак минус к результату:
$-(101) = -101$
Ответ: -101

в) Чтобы найти значение выражения $-(45 - 35)$, сначала выполним вычитание в скобках:
$45 - 35 = 10$
Теперь применяем знак минус к результату:
$-(10) = -10$
Ответ: -10

г) В выражении $-(45 - 7 \cdot 5)$ сначала выполним действие в скобках. Согласно порядку действий, умножение выполняется первым:
$7 \cdot 5 = 35$
Теперь выполним вычитание в скобках:
$45 - 35 = 10$
Наконец, применим знак минус к результату:
$-(10) = -10$
Ответ: -10

д) Чтобы найти значение выражения $-(45 - 53)$, сначала выполним вычитание в скобках:
$45 - 53 = -8$
Теперь применим знак минус к результату. Минус на минус дает плюс:
$-(-8) = 8$
Ответ: 8

е) В выражении $-(9 \cdot 5 - 53)$ сначала выполним действия в скобках, начиная с умножения:
$9 \cdot 5 = 45$
Теперь выполним вычитание в скобках:
$45 - 53 = -8$
Применим знак минус к полученному результату:
$-(-8) = 8$
Ответ: 8

3.177. а) $+(48-93)-8;$

Б) $-(7 \cdot 8-20)+7 \cdot 8;$

б) $-(96-35)-6;$

Г) $+(99-5+8)-17.$

а) $+(48 - 93) - 8$

Первым действием выполняем вычитание в скобках:

$48 - 93 = -45$

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение:

$+(-45) - 8 = -45 - 8$

Вычисляем итоговый результат:

$-45 - 8 = -53$

Ответ: $-53$

б) $-(96 - 35) - 6$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$96 - 35 = 61$

Подставим полученное значение в выражение:

$-(61) - 6$

Выполним вычитание:

$-61 - 6 = -67$

Ответ: $-67$

в) $-(7.8 - 20) + 7.8$

Раскроем скобки. Знак минус перед скобкой меняет знаки слагаемых внутри на противоположные:

$-7.8 - (-20) + 7.8 = -7.8 + 20 + 7.8$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:

$(-7.8 + 7.8) + 20$

Сумма противоположных чисел равна нулю, поэтому:

$0 + 20 = 20$

Ответ: $20$

г) $+(99 - 5 + 8) - 17$

Выполним действия в скобках по порядку слева направо:

$99 - 5 = 94$

$94 + 8 = 102$

Теперь выражение выглядит так:

$+(102) - 17$

Упрощаем и вычисляем:

$102 - 17 = 85$

Ответ: $85$

3.172. а) $-(2 \cdot 5 + 48) + 23;$

б) $-(32 - 74) - 74;$

В) $+(-120 - 9 \cdot 9) - 81;$

Г) $+(120 - 9^2) + 81.$

а) $-(2 \cdot 5 + 48) + 23$
Для решения данного выражения необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках (умножение, затем сложение), потом остальные действия.
1. Выполним умножение в скобках: $2 \cdot 5 = 10$.
2. Выполним сложение в скобках: $10 + 48 = 58$.
3. Выражение принимает вид: $-(58) + 23$.
4. Раскрываем скобки и выполняем сложение: $-58 + 23 = -35$.
Ответ: -35

б) $-(32 - 74) - 74$
Сначала выполним действие в скобках.
1. Выполним вычитание в скобках: $32 - 74 = -42$.
2. Теперь подставим результат в выражение: $-(-42) - 74$.
3. Минус перед скобкой меняет знак числа внутри на противоположный: $42 - 74$.
4. Выполним вычитание: $42 - 74 = -32$.
Ответ: -32

в) $+(-120 - 9 \cdot 9) - 81$
Следуем порядку действий, начиная с операций в скобках (сначала умножение).
1. Выполним умножение в скобках: $9 \cdot 9 = 81$.
2. Выполним вычитание в скобках: $-120 - 81 = -201$.
3. Выражение принимает вид: $+(-201) - 81$. Знак плюс перед скобкой не меняет знак числа.
4. Выполним вычитание: $-201 - 81 = -282$.
Ответ: -282

г) $+(120 - 9^2) + 81$
Начинаем с действий в скобках, где первым делом выполняется возведение в степень.
1. Возведем в квадрат: $9^2 = 81$.
2. Выполним вычитание в скобках: $120 - 81 = 39$.
3. Выражение принимает вид: $+(39) + 81$.
4. Раскрываем скобки и выполняем сложение: $39 + 81 = 120$.
Ответ: 120

3.173. Раскройте скобки и вычислите сумму:

а) $- (-72 + 39) + 39 = 72 - 39 + 39 = 72;$

б) $+ (398 - 700) + 700;$

в) $- (754 - 1200) - 1200;$

г) $+ (-32 - 491) + 32;$

д) $- (-129 + 59) - 129.$

а) Данное выражение: $-(-72 + 39) + 39$.

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак "-", нужно изменить знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные. Знак у $-72$ меняется на "+", а у $+39$ на "-".

Получаем: $-(-72) - (+39) + 39 = 72 - 39 + 39$.

Теперь вычислим сумму. Слагаемые $-39$ и $+39$ являются противоположными числами, и их сумма равна нулю.

$72 - 39 + 39 = 72 + (-39 + 39) = 72 + 0 = 72$.

Ответ: $72$

б) Дано выражение: $+(398 - 700) + 700$.

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак "+", нужно оставить знаки слагаемых без изменений.

Получаем: $398 - 700 + 700$.

Слагаемые $-700$ и $+700$ в сумме дают ноль.

$398 - 700 + 700 = 398 + (-700 + 700) = 398 + 0 = 398$.

Ответ: $398$

в) Дано выражение: $-(754 - 1200) - 1200$.

Раскрываем скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобками стоит знак "-".

Получаем: $-754 - (-1200) - 1200 = -754 + 1200 - 1200$.

Слагаемые $+1200$ и $-1200$ в сумме дают ноль.

$-754 + 1200 - 1200 = -754 + (1200 - 1200) = -754 + 0 = -754$.

Ответ: $-754$

г) Дано выражение: $+(-32 - 491) + 32$.

Раскрываем скобки со знаком "+" перед ними, оставляя знаки слагаемых без изменений.

Получаем: $-32 - 491 + 32$.

Слагаемые $-32$ и $+32$ являются противоположными числами, и их сумма равна нулю.

$-32 - 491 + 32 = (-32 + 32) - 491 = 0 - 491 = -491$.

Ответ: $-491$

д) Дано выражение: $-(-129 + 59) - 129$.

Раскрываем скобки со знаком "-", меняя знаки слагаемых на противоположные.

Получаем: $-(-129) - (+59) - 129 = 129 - 59 - 129$.

Слагаемые $129$ и $-129$ в сумме дают ноль.

$129 - 59 - 129 = (129 - 129) - 59 = 0 - 59 = -59$.

Ответ: $-59$

Вычислите (3.174—3.175):

3.174. а) $(456 - 75) - 25;$

б) $-(728 - 49) + 51;$

в) $(-238 + 742) - 42;$

г) $-(-356 + 145) - 56.$

а) $(456 - 75) - 25$

Для упрощения вычислений воспользуемся свойством вычитания: $(a - b) - c = a - (b + c)$.

$(456 - 75) - 25 = 456 - (75 + 25)$

Сначала выполним сложение в скобках:

$75 + 25 = 100$

Теперь вычтем полученный результат из 456:

$456 - 100 = 356$

Ответ: 356

б) $-(728 - 49) + 51$

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак "минус", знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$-(728 - 49) + 51 = -728 + 49 + 51$

Теперь сгруппируем положительные слагаемые и выполним сложение:

$49 + 51 = 100$

Далее выполним оставшееся вычисление:

$-728 + 100 = -628$

Ответ: -628

в) $(-238 + 742) - 42$

Раскроем скобки. Так как перед скобкой нет знака "минус", знаки слагаемых не меняются. Затем сгруппируем числа для удобства вычислений.

$(-238 + 742) - 42 = -238 + 742 - 42 = -238 + (742 - 42)$

Выполним вычитание в скобках:

$742 - 42 = 700$

Теперь выполним оставшееся действие:

$-238 + 700 = 462$

Ответ: 462

г) $-(-356 + 145) - 56$

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак "минус", знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$-(-356 + 145) - 56 = 356 - 145 - 56$

Для удобства вычислений сгруппируем числа. Удобнее сначала вычесть 56 из 356:

$(356 - 56) - 145$

Выполним вычитание в скобках:

$356 - 56 = 300$

Теперь выполним оставшееся действие:

$300 - 145 = 155$

Ответ: 155