Страница 106 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.132. Чему равно частное от деления отличного от нуля целого числа $a$ на отличное от нуля целое число $b$, если $|a|$ делится нацело на $|b|$?

По условию задачи, $a$ и $b$ — отличные от нуля целые числа, и $|a|$ делится нацело на $|b|$. Это означает, что существует такое натуральное число $k$, что $|a| = k \cdot |b|$. Из этого равенства следует, что частное от деления модуля $a$ на модуль $b$ равно $k$: $\frac{|a|}{|b|} = k$.

Нам необходимо найти частное от деления $a$ на $b$, то есть значение выражения $\frac{a}{b}$. Результат этого деления будет зависеть от знаков чисел $a$ и $b$. Рассмотрим два возможных случая.

1. Числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки.

Это значит, что либо оба числа положительны ($a > 0$ и $b > 0$), либо оба отрицательны ($a < 0$ и $b < 0$).

• Если $a > 0$ и $b > 0$, то $a = |a|$ и $b = |b|$. Тогда частное равно: $\frac{a}{b} = \frac{|a|}{|b|} = k$.

• Если $a < 0$ и $b < 0$, то $a = -|a|$ и $b = -|b|$. Тогда частное равно: $\frac{a}{b} = \frac{-|a|}{-|b|} = \frac{|a|}{|b|} = k$.

В этом случае частное от деления $a$ на $b$ является положительным числом и равно частному от деления их модулей.

2. Числа $a$ и $b$ имеют разные знаки.

Это значит, что одно число положительное, а другое отрицательное.

• Если $a > 0$ и $b < 0$, то $a = |a|$ и $b = -|b|$. Тогда частное равно: $\frac{a}{b} = \frac{|a|}{-|b|} = -\frac{|a|}{|b|} = -k$.

• Если $a < 0$ и $b > 0$, то $a = -|a|$ и $b = |b|$. Тогда частное равно: $\frac{a}{b} = \frac{-|a|}{|b|} = -\frac{|a|}{|b|} = -k$.

В этом случае частное от деления $a$ на $b$ является отрицательным числом и равно частному от деления их модулей, взятому со знаком минус.

Таким образом, частное от деления $a$ на $b$ равно либо $\frac{|a|}{|b|}$, либо $-\frac{|a|}{|b|}$.

Ответ: Частное равно $\frac{|a|}{|b|}$, если числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки, и равно $-\frac{|a|}{|b|}$, если числа $a$ и $b$ имеют разные знаки.

3.133 Чему равно частное от деления нуля на любое целое, не равное нулю число?

Частное от деления нуля на любое целое, не равное нулю число, всегда будет равно нулю.

Давайте разберемся почему. Операция деления является обратной операции умножения. Чтобы найти частное от деления числа $a$ на число $b$, нужно найти такое число $c$, которое при умножении на $b$ даст в результате $a$.

Это можно записать в виде формулы: $a \div b = c$ эквивалентно $c \times b = a$.

В нашем случае делимое $a = 0$. Делитель $b$ — это любое целое число, не равное нулю (обозначим его как $n$, где $n \in \mathbb{Z}$ и $n \neq 0$). Мы ищем частное $c$.

Запишем наше выражение: $0 \div n = c$.

Используя правило обратной операции, мы получаем следующее равенство: $c \times n = 0$.

Поскольку по условию задачи число $n$ не равно нулю, то единственное значение, которое может принять $c$, чтобы произведение было равно нулю, это $c=0$. Это следует из основного свойства нуля в умножении: произведение любого числа на ноль равно нулю.

Например:

• $0 \div 5 = 0$, потому что $0 \times 5 = 0$.
• $0 \div (-12) = 0$, потому что $0 \times (-12) = 0$.
• $0 \div 999 = 0$, потому что $0 \times 999 = 0$.

Таким образом, при делении нуля на любое целое число, отличное от нуля, в результате всегда получается ноль.

Ответ: 0.

3.134. Можно ли делить на нуль?

В рамках стандартной арифметики и алгебры деление на ноль является неопределенной операцией и, следовательно, запрещено. Чтобы понять причину, нужно вспомнить, что такое деление.

Деление — это операция, обратная умножению. Когда мы выполняем деление $a / b = c$, мы на самом деле ищем такое число $c$, которое при умножении на $b$ даст в результате $a$.

$ a : b = c \quad \Leftrightarrow \quad c \cdot b = a $

Теперь давайте попробуем применить это правило к случаю, когда делитель $b$ равен нулю.

$ a : 0 = c \quad \Leftrightarrow \quad c \cdot 0 = a $

Здесь возможны два варианта:

1. Делимое не равно нулю ($a \neq 0$)

Предположим, мы хотим разделить 5 на 0. Тогда мы ищем такое число $c$, для которого выполняется равенство $c \cdot 0 = 5$. Однако из правил умножения мы знаем, что любое число, умноженное на ноль, равно нулю ($c \cdot 0 = 0$). Получается противоречие: $0 = 5$. Такого числа $c$, которое удовлетворяло бы этому условию, не существует. Следовательно, операция не имеет решения.

2. Делимое равно нулю ($a = 0$)

В этом случае мы пытаемся найти такое число $c$, для которого выполняется равенство $c \cdot 0 = 0$. Это равенство верно для абсолютно любого числа $c$. Например, $2 \cdot 0 = 0$, $-17 \cdot 0 = 0$, $0.5 \cdot 0 = 0$. Поскольку результатом может быть любое число, у операции нет единственного, однозначного ответа. В математике такая ситуация называется неопределенностью.

Так как в первом случае решения нет, а во втором их бесконечно много, математики пришли к соглашению, что деление на ноль является недопустимой операцией.

Ответ: Нет, делить на ноль нельзя, так как эта операция не определена в стандартной арифметике.

3.135. Выполните действия:

a) $234 : 6;$

б) $744 : 8;$

в) $1794 : 23;$

г) $2997 : 37;$

д) $9268 : 331;$

е) $21333 : 547.$

а) Выполним деление $234$ на $6$ столбиком. Первое неполное делимое — $23$. Делим $23$ на $6$, получаем $3$. Умножаем $3$ на $6$, получаем $18$. Вычитаем $18$ из $23$, остаток $5$. Сносим следующую цифру $4$, получаем число $54$. Делим $54$ на $6$, получаем $9$. Остаток $0$.
$234 : 6 = 39$.
Ответ: 39

б) Выполним деление $744$ на $8$ столбиком. Первое неполное делимое — $74$. Делим $74$ на $8$, получаем $9$. Умножаем $9$ на $8$, получаем $72$. Вычитаем $72$ из $74$, остаток $2$. Сносим следующую цифру $4$, получаем число $24$. Делим $24$ на $8$, получаем $3$. Остаток $0$.
$744 : 8 = 93$.
Ответ: 93

в) Выполним деление $1794$ на $23$ столбиком. Первое неполное делимое — $179$. Делим $179$ на $23$, получаем $7$. Умножаем $7$ на $23$, получаем $161$. Вычитаем $161$ из $179$, остаток $18$. Сносим следующую цифру $4$, получаем число $184$. Делим $184$ на $23$, получаем $8$. Остаток $0$.
$1794 : 23 = 78$.
Ответ: 78

г) Выполним деление $2997$ на $37$ столбиком. Первое неполное делимое — $299$. Делим $299$ на $37$, получаем $8$. Умножаем $8$ на $37$, получаем $296$. Вычитаем $296$ из $299$, остаток $3$. Сносим следующую цифру $7$, получаем число $37$. Делим $37$ на $37$, получаем $1$. Остаток $0$.
$2997 : 37 = 81$.
Ответ: 81

д) Выполним деление $9268$ на $331$ столбиком. Первое неполное делимое — $926$. Делим $926$ на $331$, получаем $2$. Умножаем $2$ на $331$, получаем $662$. Вычитаем $662$ из $926$, остаток $264$. Сносим следующую цифру $8$, получаем число $2648$. Делим $2648$ на $331$, получаем $8$. Остаток $0$.
$9268 : 331 = 28$.
Ответ: 28

е) Выполним деление $21333$ на $547$ столбиком. Первое неполное делимое — $2133$. Делим $2133$ на $547$, получаем $3$. Умножаем $3$ на $547$, получаем $1641$. Вычитаем $1641$ из $2133$, остаток $492$. Сносим следующую цифру $3$, получаем число $4923$. Делим $4923$ на $547$, получаем $9$. Остаток $0$.
$21333 : 547 = 39$.
Ответ: 39

3.136. Вычислите:

а) $576 \cdot 23 - 766 \cdot 35;$

б) $849 \cdot 18 - 783 \cdot 28;$

в) $136 \cdot 13 - (8416 + 1234);$

г) $4736 \div 4 - 1245 \cdot 5.$

а) $576 \cdot 23 - 766 \cdot 35$

Для решения этого выражения необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала умножение, затем вычитание.

1. Вычислим первое произведение: $576 \cdot 23$.

$576 \cdot 23 = 13248$

2. Вычислим второе произведение: $766 \cdot 35$.

$766 \cdot 35 = 26810$

3. Вычтем из результата первого действия результат второго:

$13248 - 26810 = -13562$

Ответ: $-13562$

б) $849 \cdot 18 - 783 \cdot 28$

Выполняем действия по порядку: сначала умножение, затем вычитание.

1. Вычислим первое произведение: $849 \cdot 18$.

$849 \cdot 18 = 15282$

2. Вычислим второе произведение: $783 \cdot 28$.

$783 \cdot 28 = 21924$

3. Вычтем из результата первого действия результат второго:

$15282 - 21924 = -6642$

Ответ: $-6642$

в) $136 \cdot 13 - (8416 + 1234)$

Согласно порядку действий, сначала выполняем операцию в скобках, затем умножение и в конце вычитание.

1. Вычислим сумму в скобках:

$8416 + 1234 = 9650$

2. Выполним умножение:

$136 \cdot 13 = 1768$

3. Из результата умножения вычтем результат сложения в скобках:

$1768 - 9650 = -7882$

Ответ: $-7882$

г) $4736 : 4 - 1245 \cdot 5$

Порядок действий: сначала выполняем деление и умножение, затем вычитание.

1. Выполним деление:

$4736 : 4 = 1184$

2. Выполним умножение:

$1245 \cdot 5 = 6225$

3. Из результата деления вычтем результат умножения:

$1184 - 6225 = -5041$

Ответ: $-5041$

3.137. Определите знак числа $x$:

а) $x \cdot (-8) = 400;$

б) $(-10) \cdot x = -420;$

в) $x \cdot 15 = -60;$

г) $12 \cdot x = 144.$

Для определения знака числа $x$ в каждом уравнении, необходимо вспомнить правила умножения чисел с разными знаками:

• Произведение двух чисел с одинаковыми знаками (оба положительные или оба отрицательные) всегда положительно.
• Произведение двух чисел с разными знаками (одно положительное, другое отрицательное) всегда отрицательно.

а) $x \cdot (-8) = 400$

В этом уравнении произведение $400$ является положительным числом. Один из множителей, $(-8)$, является отрицательным. Чтобы произведение было положительным, множители должны иметь одинаковые знаки. Следовательно, число $x$ также должно быть отрицательным.

Проверим, решив уравнение: $x = 400 \div (-8) = -50$. Число $-50$ отрицательное.

Ответ: знак числа $x$ – минус (число отрицательное).

б) $(-10) \cdot x = -420$

Произведение $(-420)$ является отрицательным числом. Один из множителей, $(-10)$, отрицательный. Чтобы произведение было отрицательным, множители должны иметь разные знаки. Следовательно, число $x$ должно быть положительным.

Проверим, решив уравнение: $x = -420 \div (-10) = 42$. Число $42$ положительное.

Ответ: знак числа $x$ – плюс (число положительное).

в) $x \cdot 15 = -60$

Произведение $(-60)$ является отрицательным числом. Один из множителей, $15$, положительный. Чтобы произведение было отрицательным, множители должны иметь разные знаки. Следовательно, число $x$ должно быть отрицательным.

Проверим, решив уравнение: $x = -60 \div 15 = -4$. Число $-4$ отрицательное.

Ответ: знак числа $x$ – минус (число отрицательное).

г) $12 \cdot x = 144$

Произведение $144$ является положительным числом. Один из множителей, $12$, положительный. Чтобы произведение было положительным, оба множителя должны иметь одинаковые знаки. Следовательно, число $x$ также должно быть положительным.

Проверим, решив уравнение: $x = 144 \div 12 = 12$. Число $12$ положительное.

Ответ: знак числа $x$ – плюс (число положительное).

3.138. Определите знак частного:

а) $400 : (-8);$

б) $(-420) : (-10);$

в) $(-60) : 15;$

г) $144 : 12.$

Для определения знака частного необходимо применить правила деления рациональных чисел. Если знаки делимого и делителя совпадают (оба числа положительные или оба отрицательные), то результат деления (частное) будет положительным. Если знаки делимого и делителя разные (одно число положительное, а другое отрицательное), то частное будет отрицательным.

Схематично эти правила можно записать так:

• $(+) : (+) = (+)$
• $(-) : (-) = (+)$
• $(+) : (-) = (-)$
• $(-) : (+) = (-)$

Применим эти правила к каждому выражению:

а) В выражении $400 : (-8)$ мы делим положительное число $400$ на отрицательное число $-8$. Так как знаки чисел разные, частное будет отрицательным.

Ответ: знак "минус" (–).

б) В выражении $(-420) : (-10)$ мы делим отрицательное число $-420$ на отрицательное число $-10$. Так как знаки чисел одинаковые, частное будет положительным.

Ответ: знак "плюс" (+).

в) В выражении $(-60) : 15$ мы делим отрицательное число $-60$ на положительное число $15$. Так как знаки чисел разные, частное будет отрицательным.

Ответ: знак "минус" (–).

г) В выражении $144 : 12$ мы делим положительное число $144$ на положительное число $12$. Так как знаки чисел одинаковые, частное будет положительным.

Ответ: знак "плюс" (+).

3.139. a) $(+60) : (-10) = -(60 : 10) = -6;$

б) $(-20) : 5;$

в) $(-50) : 10;$

г) $(-80) : (-20);$

д) $(-100) : (-25);$

е) $30 : (-15);$

ж) $64 : (-8).$

б)

При делении отрицательного числа $(-20)$ на положительное число $5$, частное будет отрицательным. Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

$(-20) : 5 = -(20 : 5) = -4$.

Ответ: -4

в)

При делении отрицательного числа $(-50)$ на положительное число $10$, частное будет отрицательным. Для нахождения модуля частного, делим модуль делимого на модуль делителя.

$(-50) : 10 = -(50 : 10) = -5$.

Ответ: -5

г)

При делении двух отрицательных чисел (числа с одинаковыми знаками), частное будет положительным. Чтобы найти частное, нужно разделить модули делимого и делителя.

$(-80) : (-20) = 80 : 20 = 4$.

Ответ: 4

д)

При делении двух отрицательных чисел, результат будет положительным. Для нахождения частного, делим модуль делимого на модуль делителя.

$(-100) : (-25) = 100 : 25 = 4$.

Ответ: 4

е)

При делении положительного числа $30$ на отрицательное число $(-15)$, частное будет отрицательным. Модуль частного равен частному модулей.

$30 : (-15) = -(30 : 15) = -2$.

Ответ: -2

ж)

При делении положительного числа $64$ на отрицательное число $(-8)$, частное будет отрицательным. Находим частное их модулей и ставим знак минус.

$64 : (-8) = -(64 : 8) = -8$.

Ответ: -8