Страница 105 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.126. Запишите выражение разными способами по образцу:

а) $ (-8)^3 = (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) = -(8 \cdot 8 \cdot 8) = -(8^3) = -8^3; $

б) $ -6^3; $

в) $ (-5)^4; $

г) $ -5^4; $

д) $ -7^2; $

е) $ (-18)^2. $

Запишем каждое выражение разными способами, следуя образцу и правилам возведения в степень отрицательных чисел.

В выражении $-6^3$ степень относится только к числу 6. Так как показатель степени 3 является нечетным числом, то $-a^n = (-a)^n$ для нечетного $n$. Поэтому мы можем записать следующую цепочку равенств:

$-6^3 = -(6 \cdot 6 \cdot 6) = (-6) \cdot (-6) \cdot (-6) = (-6)^3$.

Ответ: $-6^3 = -(6 \cdot 6 \cdot 6) = (-6)^3$.

В выражении $(-5)^4$ в степень возводится отрицательное число -5. Так как показатель степени 4 является четным числом, результат будет положительным, поскольку произведение четного числа отрицательных множителей положительно:

$(-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5) = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.

Ответ: $(-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 5^4$.

В выражении $-5^4$ степень относится только к числу 5, а знак "минус" стоит перед результатом. Это выражение не равно $(-5)^4$.

$-5^4 = -(5^4) = -(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5)$.

Ответ: $-5^4 = -(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5)$.

Аналогично предыдущему пункту, в выражении $-7^2$ в степень возводится только число 7.

$-7^2 = -(7^2) = -(7 \cdot 7)$.

Ответ: $-7^2 = -(7 \cdot 7)$.

В выражении $(-18)^2$ в степень возводится отрицательное число -18. Так как показатель степени 2 является четным, результат будет положительным:

$(-18)^2 = (-18) \cdot (-18) = 18 \cdot 18 = 18^2$.

Ответ: $(-18)^2 = (-18) \cdot (-18) = 18^2$.

3.127. Какое число больше:

a) $-2^2$ или $(-2)^2$;

б) $-3^2$ или $-2^3$;

в) $(-3)^2$ или $(-2)^3$;

г) $(-4)^3$ или $-3^4$?

а) Сравним числа $-2^2$ и $(-2)^2$.
Для этого вычислим значение каждого выражения. Важно помнить, что в выражении $-2^2$ в квадрат возводится только число 2, а знак минус применяется к результату. В выражении $(-2)^2$ в квадрат возводится число -2.
$ -2^2 = -(2 \cdot 2) = -4 $
$ (-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4 $
Сравниваем полученные значения: $4 > -4$.
Следовательно, $(-2)^2 > -2^2$.
Ответ: $(-2)^2$ больше.

б) Сравним числа $-3^2$ и $-2^3$.
Вычислим значение каждого выражения, соблюдая порядок действий (сначала возведение в степень, затем унарный минус).
$ -3^2 = -(3 \cdot 3) = -9 $
$ -2^3 = -(2 \cdot 2 \cdot 2) = -8 $
Сравниваем полученные значения: $-8 > -9$.
Следовательно, $-2^3 > -3^2$.
Ответ: $-2^3$ больше.

в) Сравним числа $(-3)^2$ и $(-2)^3$.
Вычислим значение каждого выражения. Здесь в степень возводятся отрицательные числа в скобках.
$ (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 $
$ (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 $
Сравниваем полученные значения: $9 > -8$ (положительное число всегда больше отрицательного).
Следовательно, $(-3)^2 > (-2)^3$.
Ответ: $(-3)^2$ больше.

г) Сравним числа $(-4)^3$ и $-3^4$.
Вычислим значение каждого выражения, учитывая порядок действий и скобки.
$ (-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64 $
$ -3^4 = -(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = -(9 \cdot 9) = -81 $
Сравниваем полученные значения: $-64 > -81$.
Следовательно, $(-4)^3 > -3^4$.
Ответ: $(-4)^3$ больше.

3.128. Запишите:

а) квадрат числа $-2$;

б) произведение $-4$ и $7$;

в) сумму чисел $-7$ и $7$;

г) куб числа $-10$;

д) четвёртую степень $-5$;

е) разность чисел $-4$ и $-12$.

а) квадрат числа –2;

Квадрат числа – это результат умножения числа на само себя, то есть возведение числа во вторую степень. Для числа $-2$ это вычисляется следующим образом:

$(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$

Ответ: 4

б) произведение –4 и 7;

Произведение – это результат операции умножения. Чтобы найти произведение чисел $-4$ и $7$, необходимо их перемножить:

$(-4) \cdot 7 = -28$

Ответ: -28

в) сумму чисел –7 и 7;

Сумма – это результат операции сложения. Числа $-7$ и $7$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулю:

$-7 + 7 = 0$

Ответ: 0

г) куб числа –10;

Куб числа – это результат умножения числа на само себя три раза, то есть возведение числа в третью степень. Для числа $-10$ это будет:

$(-10)^3 = (-10) \cdot (-10) \cdot (-10) = 100 \cdot (-10) = -1000$

Ответ: -1000

д) четвёртую степень –5;

Возведение числа $-5$ в четвёртую степень означает умножение этого числа на само себя четыре раза:

$(-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot 25 = 625$

Ответ: 625

е) разность чисел –4 и –12.

Разность – это результат операции вычитания. Чтобы найти разность чисел $-4$ и $-12$, необходимо из первого числа вычесть второе:

$(-4) - (-12) = -4 + 12 = 8$

Ответ: 8

3.129. Вычислите, предварительно указав порядок действий:

а) $3 \cdot (-2)^2$;

б) $-4 \cdot (-3)^3$;

в) $-(-3)^4$;

г) $-(-2)^3$;

д) $-(-5)^2$;

е) $-4 \cdot (-3)^2$.

а) $3 \cdot (-2)^2$

Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение.

1. Возводим число -2 в квадрат: $(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$.
2. Умножаем 3 на полученный результат: $3 \cdot 4 = 12$.

Ответ: 12

б) $-4 \cdot (-3)^3$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение.

1. Возводим число -3 в куб: $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$.
2. Умножаем -4 на полученный результат: $-4 \cdot (-27) = 108$.

Ответ: 108

в) $-(-3)^4$

Порядок действий: сначала возведение числа в скобках в степень, затем применение унарного минуса (взятие противоположного числа).

1. Возводим число -3 в четвертую степень: $(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81$.
2. Берем число, противоположное полученному результату: $-(81) = -81$.

Ответ: -81

г) $-(-2)^3$

Порядок действий: сначала возведение числа в скобках в степень, затем применение унарного минуса.

1. Возводим число -2 в куб: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$.
2. Берем число, противоположное полученному результату: $-(-8) = 8$.

Ответ: 8

д) $-(-5)^2$

Порядок действий: сначала возведение числа в скобках в степень, затем применение унарного минуса.

1. Возводим число -5 в квадрат: $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$.
2. Берем число, противоположное полученному результату: $-(25) = -25$.

Ответ: -25

е) $-4 \cdot (-3)^2$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение.

1. Возводим число -3 в квадрат: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$.
2. Умножаем -4 на полученный результат: $-4 \cdot 9 = -36$.

Ответ: -36

3.130. Найдите число одинаковых слагаемых:

а) $(-2)+(-2)+...+(-2)=-12$;

б) $(-8)+(-8)+...+(-8)=-80$;

в) $(-4)+(-4)+...+(-4)=-20$;

г) $(-3)+(-3)+...+(-3)=-39$.

а) Сумма одинаковых слагаемых является произведением одного слагаемого на их количество. Пусть $n$ — искомое число слагаемых. Тогда данное равенство можно записать в виде уравнения: $n \cdot (-2) = -12$.

Чтобы найти неизвестный множитель $n$, нужно произведение (сумму) разделить на известный множитель (слагаемое).

$n = \frac{-12}{-2} = 6$

Следовательно, в сумме 6 слагаемых.

Ответ: 6

б) Аналогично предыдущему пункту, составим уравнение, где $n$ — число слагаемых: $n \cdot (-8) = -80$.

Найдем $n$, разделив сумму на слагаемое:

$n = \frac{-80}{-8} = 10$

Следовательно, в сумме 10 слагаемых.

Ответ: 10

в) Пусть $n$ — число слагаемых. Тогда получаем уравнение: $n \cdot (-4) = -20$.

Чтобы найти $n$, разделим произведение на известный множитель:

$n = \frac{-20}{-4} = 5$

Следовательно, в сумме 5 слагаемых.

Ответ: 5

г) Пусть $n$ — число слагаемых. Составим уравнение: $n \cdot (-3) = -39$.

Найдем $n$, выполнив деление:

$n = \frac{-39}{-3} = 13$

Следовательно, в сумме 13 слагаемых.

Ответ: 13

3.131. Какие одинаковые слагаемые сложили:

a) $\dots + \dots + \dots + \dots + \dots = -25;$

б) $\dots + \dots + \dots + \dots = -40;$

в) $\dots + \dots + \dots + \dots + \dots + \dots + \dots = -36?$

а) Чтобы найти, какие одинаковые слагаемые сложили, нужно посчитать их количество и разделить на него итоговую сумму. В данном примере 5 одинаковых слагаемых, сумма которых равна -25. Обозначим неизвестное слагаемое через $x$. Тогда можно составить уравнение:

$x + x + x + x + x = -25$

Это уравнение можно переписать, заменив сложение одинаковых слагаемых умножением:

$5 \cdot x = -25$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = -25 \div 5$

$x = -5$

Таким образом, сложили пять раз число -5.

Ответ: -5.

б) В этом примере 4 одинаковых слагаемых, а их сумма равна -40. Обозначим неизвестное слагаемое через $x$.

$x + x + x + x = -40$

Запишем это в виде произведения:

$4 \cdot x = -40$

Чтобы найти $x$, разделим сумму (-40) на количество слагаемых (4):

$x = -40 \div 4$

$x = -10$

Следовательно, сложили четыре раза число -10.

Ответ: -10.

в) В данном случае у нас 6 одинаковых слагаемых, которые в сумме дают -36. Обозначим неизвестное слагаемое через $x$.

$x + x + x + x + x + x = -36$

Запишем в виде произведения:

$6 \cdot x = -36$

Чтобы найти $x$, разделим сумму (-36) на количество слагаемых (6):

$x = -36 \div 6$

$x = -6$

Таким образом, сложили шесть раз число -6.

Ответ: -6.