Страница 101 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.96. Если $a$ и $b$ — натуральные числа, то верно ли, что их сумма и разность также являются натуральными числами?

Нет, данное утверждение неверно. Чтобы утверждение было верным, оно должно выполняться для обоих случаев: и для суммы, и для разности. Разберем каждый случай отдельно.

Напомним, что натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов: 1, 2, 3, 4, ...

Сумма

Сумма двух натуральных чисел $ a $ и $ b $ всегда является натуральным числом. Это одно из основных свойств натуральных чисел. Поскольку $ a $ и $ b $ — это целые положительные числа, их сумма $ a + b $ также всегда будет целым положительным числом.

Например: если взять $ a = 15 $ и $ b = 23 $, то их сумма $ a + b = 15 + 23 = 38 $. Число 38 является натуральным.

Таким образом, часть утверждения, касающаяся суммы, верна.

Ответ: Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.

Разность

Разность двух натуральных чисел $ a $ и $ b $ не всегда является натуральным числом. Для доказательства этого достаточно привести хотя бы один пример (контрпример), где результат не будет натуральным.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Если вычитаемое число больше уменьшаемого ($ b > a $).
Например: возьмем натуральные числа $ a = 7 $ и $ b = 10 $. Их разность $ a - b = 7 - 10 = -5 $. Число -5 является отрицательным, а значит, не натуральным.

2. Если числа равны ($ a = b $).
Например: возьмем натуральные числа $ a = 5 $ и $ b = 5 $. Их разность $ a - b = 5 - 5 = 0 $. Число 0 не является натуральным.

Поскольку существуют случаи, когда разность двух натуральных чисел не является натуральным числом, часть утверждения, касающаяся разности, неверна.

Ответ: Разность двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом.

Так как для истинности исходного утверждения («сумма и разность являются натуральными числами») необходимо, чтобы оба условия выполнялись всегда, а условие для разности не выполняется, то всё утверждение в целом является неверным.

3.97. Если $a$ и $b$ — целые числа, то верно ли, что их сумма и разность также являются целыми числами?

Да, это утверждение верно.

Это следует из свойства замкнутости множества целых чисел, которое обозначается как $ \mathbb{Z} $. Замкнутость множества относительно какой-либо операции означает, что применение этой операции к любым элементам множества всегда дает в результате элемент этого же самого множества.

Сумма целых чисел

Множество целых чисел замкнуто относительно операции сложения. Это означает, что если взять два любых целых числа $a$ и $b$, их сумма $c = a + b$ также всегда будет целым числом.

Пример 1: если $a=5$ и $b=8$, то их сумма $5 + 8 = 13$. Числа 5, 8 и 13 — целые.

Пример 2: если $a=-7$ и $b=4$, то их сумма $-7 + 4 = -3$. Числа -7, 4 и -3 — целые.

Разность целых чисел

Множество целых чисел также замкнуто относительно операции вычитания. Разность двух целых чисел $a$ и $b$ всегда является целым числом. Операцию вычитания $a - b$ можно представить как сложение числа $a$ с числом, противоположным $b$: $a + (-b)$. Так как для любого целого числа $b$ противоположное ему число $-b$ тоже является целым, а сумма двух целых чисел, как было показано выше, всегда является целым числом, то и их разность будет целым числом.

Пример 1: если $a=12$ и $b=5$, то их разность $12 - 5 = 7$. Числа 12, 5 и 7 — целые.

Пример 2: если $a=6$ и $b=15$, то их разность $6 - 15 = -9$. Числа 6, 15 и -9 — целые.

Пример 3: если $a=-4$ и $b=-10$, то их разность $-4 - (-10) = -4 + 10 = 6$. Числа -4, -10 и 6 — целые.

Таким образом, для любых целых чисел $a$ и $b$ их сумма $(a+b)$ и разность $(a-b)$ всегда будут целыми числами.

Ответ: Да, верно.

3.98. a) $-1-2-3-4-5-6+5+4+3+2+1;$

б) $-8-7-5-3-1+0+1+3+5+7+8+9.$

а) Чтобы найти значение выражения $-1-2-3-4-5-6+5+4+3+2+1$, удобнее всего сгруппировать слагаемые. В данном выражении есть пары противоположных чисел, сумма которых равна нулю:

• $-1$ и $+1$
• $-2$ и $+2$
• $-3$ и $+3$
• $-4$ и $+4$
• $-5$ и $+5$

Переставим слагаемые местами и объединим их в группы:

$(-1+1) + (-2+2) + (-3+3) + (-4+4) + (-5+5) - 6$

Сумма каждой пары в скобках равна 0. Таким образом, выражение упрощается:

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 - 6 = -6$

Ответ: $-6$

б) Для вычисления значения выражения $-8-7-5-3-1+0+1+3+5+7+8+9$ также применим метод группировки противоположных чисел. Найдем пары чисел, которые в сумме дают ноль:

• $-8$ и $+8$
• $-7$ и $+7$
• $-5$ и $+5$
• $-3$ и $+3$
• $-1$ и $+1$

Сгруппируем эти пары, а также учтем оставшиеся слагаемые $0$ и $9$:

$(-8+8) + (-7+7) + (-5+5) + (-3+3) + (-1+1) + 0 + 9$

Так как сумма каждой пары в скобках равна 0, получаем:

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 9 = 9$

Ответ: $9$

3.99. а) $-9 - 8 - 7 - \ldots - 1 + 0 + 1 + \ldots + 7 + 8 + 9 + 10;$

б) $-101 - 100 - 99 - 98 - \ldots + 98 + 99 + 100;$

в) $1 - 2 + 3 - 4 + \ldots + 9 - 10 + 11;$

г) $1 - 2 + 3 - 4 + \ldots + 99 - 100.$

а) Данное выражение представляет собой сумму целых чисел от -9 до 10. Запишем сумму: $S = -9 - 8 - 7 - \dots - 1 + 0 + 1 + \dots + 7 + 8 + 9 + 10$. Заметим, что для каждого отрицательного числа в этой сумме (от -9 до -1) есть соответствующее ему положительное число (от 1 до 9). Сгруппируем эти числа в пары с противоположными знаками:
$S = (-9 + 9) + (-8 + 8) + \dots + (-1 + 1) + 0 + 10$.
Сумма каждой такой пары равна нулю (например, $-9 + 9 = 0$). Таким образом, сумма всех пар от -9 до 9 также равна нулю. В выражении остаются только 0 и 10.
$S = 0 + 0 + \dots + 0 + 0 + 10 = 10$.
Ответ: 10

б) Это выражение является суммой целых чисел от -101 до 100. Запишем сумму в развернутом виде:
$S = -101 - 100 - 99 - \dots + 99 + 100$.
Как и в предыдущем примере, мы можем сгруппировать числа с противоположными знаками. Сумма чисел от -100 до 100 будет равна нулю, так как для каждого числа $x$ в этом диапазоне существует противоположное ему число $-x$, и их сумма $x + (-x) = 0$.
$S = -101 + (-100 - 99 - \dots + 99 + 100)$
$S = -101 + ((-100 + 100) + (-99 + 99) + \dots + (-1 + 1) + 0)$
$S = -101 + 0 = -101$.
Единственное число, у которого нет пары, — это -101.
Ответ: -101

в) В данном выражении чередуются знаки сложения и вычитания. Для нахождения суммы удобно сгруппировать слагаемые попарно:
$S = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + (7 - 8) + (9 - 10) + 11$.
Вычислим значение каждой пары в скобках:
$1 - 2 = -1$
$3 - 4 = -1$
$5 - 6 = -1$
$7 - 8 = -1$
$9 - 10 = -1$
Всего получилось 5 пар, каждая из которых равна -1. Сумма этих пар составляет $5 \times (-1) = -5$. Число 11 осталось без пары, поэтому его нужно прибавить к полученной сумме.
$S = -5 + 11 = 6$.
Ответ: 6

г) Это выражение, как и предыдущее, представляет собой знакочередующуюся сумму. Сгруппируем слагаемые попарно:
$S = (1 - 2) + (3 - 4) + \dots + (99 - 100)$.
Сумма каждой такой пары равна -1 ($1 - 2 = -1$, $3 - 4 = -1$, и так далее).
Чтобы найти общую сумму, нужно определить количество таких пар. Всего в выражении 100 чисел (от 1 до 100). Так как в каждой паре по два числа, количество пар равно:
$100 / 2 = 50$.
Следовательно, общая сумма равна произведению количества пар на значение каждой пары:
$S = 50 \times (-1) = -50$.
Ответ: -50

Для какого числа $x$ верно равенство (3.100–3.101)?

3.100. а) $x + 13 = 7,$

$x = 7 - 13,$

$x = -6;$ | $7 - 13 = -(13 - 7) = -6$

б) $x + 8 = -7;$ в) $-7 + x = 9;$ г) $x - (-8) = 13;$ д) $-15 - x = 7.$

а)

Дано уравнение $x + 13 = 7$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, необходимо из суммы (7) вычесть известное слагаемое (13).
$x = 7 - 13$
$x = -6$
Ответ: -6

б)

Дано уравнение $x + 8 = -7$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, необходимо из суммы (-7) вычесть известное слагаемое (8).
$x = -7 - 8$
$x = -15$
Ответ: -15

в)

Дано уравнение $-7 + x = 9$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, необходимо перенести известное слагаемое (-7) в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$x = 9 + 7$
$x = 16$
Ответ: 16

г)

Дано уравнение $x - (-8) = 13$.
Сначала упростим левую часть уравнения. Вычитание отрицательного числа заменяется сложением:
$x + 8 = 13$
Теперь, чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, вычтем из суммы (13) известное слагаемое (8).
$x = 13 - 8$
$x = 5$
Ответ: 5

д)

Дано уравнение $-15 - x = 7$.
В этом уравнении $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (-15) вычесть разность (7).
$x = -15 - 7$
$x = -22$
Ответ: -22

3.101. а) $-498 - x = -175,$

$x = -498 - (-175),$

$x = -498 + 175,$

$x = -323;$

-498

175

---

323

б) $79 + x = -356;$

в) $x - 57 = -493;$

г) $167 - x = 39;$

д) $-542 + x = 542.$

а)

Дано уравнение: $-498 - x = -175$.
В этом уравнении $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($-498$) вычесть разность ($-175$).
$x = -498 - (-175)$
Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению положительного:
$x = -498 + 175$
При сложении чисел с разными знаками из модуля большего числа вычитается модуль меньшего, и ставится знак числа с большим модулем:
$x = -(498 - 175)$
$x = -323$
Ответ: $x = -323$.

б)

Дано уравнение: $79 + x = -356$.
В этом уравнении $x$ является слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($-356$) вычесть известное слагаемое (79).
$x = -356 - 79$
При сложении двух отрицательных чисел их модули складываются, и перед результатом ставится знак минус:
$x = -(356 + 79)$
$x = -435$
Ответ: $x = -435$.

в)

Дано уравнение: $x - 57 = -493$.
В этом уравнении $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности ($-493$) прибавить вычитаемое (57).
$x = -493 + 57$
При сложении чисел с разными знаками из модуля большего числа вычитается модуль меньшего, и ставится знак числа с большим модулем:
$x = -(493 - 57)$
$x = -436$
Ответ: $x = -436$.

г)

Дано уравнение: $167 - x = 39$.
В этом уравнении $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (167) вычесть разность (39).
$x = 167 - 39$
$x = 128$
Ответ: $x = 128$.

д)

Дано уравнение: $-542 + x = 542$.
В этом уравнении $x$ является слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (542) вычесть известное слагаемое ($-542$).
$x = 542 - (-542)$
Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению положительного:
$x = 542 + 542$
$x = 1084$
Ответ: $x = 1084$.

3.102. Найдите сумму нескольких одинаковых слагаемых:

а) $\underbrace{(-5) + (-5) + ... + (-5)}_{6};$

б) $\underbrace{(-7) + (-7) + ... + (-7)}_{8};$

в) $\underbrace{(-10) + (-10) + ... + (-10)}_{9};$

г) $\underbrace{(-6) + (-6) + ... + (-6)}_{11}.$

а) Чтобы найти сумму шести одинаковых слагаемых, равных $-5$, можно заменить сложение умножением. Для этого нужно умножить слагаемое на их количество.
$(-5) + (-5) + (-5) + (-5) + (-5) + (-5) = 6 \cdot (-5) = -30$.
Ответ: -30

б) В этом примере нужно найти сумму восьми слагаемых, каждое из которых равно $-7$. Это эквивалентно произведению числа $-7$ на 8.
$(-7) + (-7) + \ldots + (-7) = 8 \cdot (-7) = -56$.
Ответ: -56

в) Здесь требуется найти сумму девяти слагаемых, равных $-10$. Для этого умножим слагаемое на количество повторений.
$(-10) + (-10) + \ldots + (-10) = 9 \cdot (-10) = -90$.
Ответ: -90

г) В данном случае необходимо найти сумму одиннадцати слагаемых, каждое из которых равно $-6$. Выполним умножение.
$(-6) + (-6) + \ldots + (-6) = 11 \cdot (-6) = -66$.
Ответ: -66