Страница 111 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.158. Вынесите общий множитель за скобки со знаком «+»:

а) $4 \cdot 52 - 4 \cdot (-95) = 4 \cdot (52 - (-95)) = 4 \cdot (52 + 95);$

б) $-16 \cdot 17 - 16 \cdot 18;$

в) $49 \cdot 19 - 19 \cdot 91;$

г) $-88 \cdot 35 - 77 \cdot 35;$

д) $73 \cdot 37 - 73 \cdot 73;$

е) $-57 \cdot 33 + 48 \cdot 33;$

ж) $99 \cdot 98 + 99 \cdot 100.$

б) В выражении $-16 \cdot 17 - 16 \cdot 18$ общим множителем является 16. Вынесем его за скобки со знаком «+»:

$-16 \cdot 17 - 16 \cdot 18 = 16 \cdot (-17) - 16 \cdot 18 = 16 \cdot (-17 - 18)$

Выполним вычисления:

$16 \cdot (-17 - 18) = 16 \cdot (-35) = -560$

Ответ: -560

в) В выражении $49 \cdot 19 - 19 \cdot 91$ общим множителем является 19. Вынесем его за скобки:

$19 \cdot (49 - 91)$

Выполним вычисления:

$19 \cdot (49 - 91) = 19 \cdot (-42) = (20 - 1) \cdot (-42) = 20 \cdot (-42) - 1 \cdot (-42) = -840 + 42 = -798$

Ответ: -798

г) В выражении $-88 \cdot 35 - 77 \cdot 35$ общим множителем является 35. Вынесем его за скобки:

$35 \cdot (-88 - 77)$

Выполним вычисления:

$35 \cdot (-88 - 77) = 35 \cdot (-165) = -5775$

Ответ: -5775

д) В выражении $73 \cdot 37 - 73 \cdot 73$ общим множителем является 73. Вынесем его за скобки:

$73 \cdot (37 - 73)$

Выполним вычисления:

$73 \cdot (37 - 73) = 73 \cdot (-36) = -2628$

Ответ: -2628

е) В выражении $-57 \cdot 33 + 48 \cdot 33$ общим множителем является 33. Вынесем его за скобки:

$33 \cdot (-57 + 48)$

Выполним вычисления:

$33 \cdot (-57 + 48) = 33 \cdot (-9) = -297$

Ответ: -297

ж) В выражении $99 \cdot 98 + 99 \cdot 100$ общим множителем является 99. Вынесем его за скобки:

$99 \cdot (98 + 100)$

Выполним вычисления:

$99 \cdot (98 + 100) = 99 \cdot 198 = (100 - 1) \cdot 198 = 100 \cdot 198 - 1 \cdot 198 = 19800 - 198 = 19602$

Ответ: 19602

3.159. Вынесите общий множитель за скобки со знаком «—»:

а) $4 \cdot 52 - 4 \cdot (-95) = (-4) \cdot (-52 - 95);$

б) $-16 \cdot 17 - 16 \cdot 18;$

в) $49 \cdot 19 - 19 \cdot 91;$

г) $-88 \cdot 35 - 77 \cdot 35;$

д) $73 \cdot 37 - 73 \cdot 73;$

е) $-57 \cdot 33 + 48 \cdot 33;$

ж) $99 \cdot 98 + 99 \cdot 100.$

б) В выражении $ -16 \cdot 17 - 16 \cdot 18 $ общий множитель уже содержит знак «−», это $ -16 $. Вынесем его за скобки. Для этого каждый член выражения разделим на $ -16 $:
$ \frac{-16 \cdot 17}{-16} = 17 $
$ \frac{-16 \cdot 18}{-16} = 18 $
Получаем выражение в скобках $ (17 + 18) $.
Таким образом, итоговое выражение: $ -16 \cdot (17 + 18) $.
Ответ: $ -16 \cdot (17 + 18) $

в) В выражении $ 49 \cdot 19 - 19 \cdot 91 $ общий множитель — это $ 19 $. Согласно заданию, нужно вынести за скобки множитель со знаком «−», то есть $ -19 $. Для этого разделим каждый член выражения на $ -19 $:
$ \frac{49 \cdot 19}{-19} = -49 $
$ \frac{-19 \cdot 91}{-19} = 91 $
Получаем выражение в скобках $ (-49 + 91) $.
Таким образом, итоговое выражение: $ -19 \cdot (-49 + 91) $.
Ответ: $ -19 \cdot (-49 + 91) $

г) В выражении $ -88 \cdot 35 - 77 \cdot 35 $ общий множитель — это $ 35 $. Согласно заданию, вынесем за скобки множитель со знаком «−», то есть $ -35 $. Для этого разделим каждый член выражения на $ -35 $:
$ \frac{-88 \cdot 35}{-35} = 88 $
$ \frac{-77 \cdot 35}{-35} = 77 $
Получаем выражение в скобках $ (88 + 77) $.
Таким образом, итоговое выражение: $ -35 \cdot (88 + 77) $.
Ответ: $ -35 \cdot (88 + 77) $

д) В выражении $ 73 \cdot 37 - 73 \cdot 73 $ общий множитель — это $ 73 $. Согласно заданию, вынесем за скобки множитель со знаком «−», то есть $ -73 $. Для этого разделим каждый член выражения на $ -73 $:
$ \frac{73 \cdot 37}{-73} = -37 $
$ \frac{-73 \cdot 73}{-73} = 73 $
Получаем выражение в скобках $ (-37 + 73) $.
Таким образом, итоговое выражение: $ -73 \cdot (-37 + 73) $.
Ответ: $ -73 \cdot (-37 + 73) $

е) В выражении $ -57 \cdot 33 + 48 \cdot 33 $ общий множитель — это $ 33 $. Согласно заданию, вынесем за скобки множитель со знаком «−», то есть $ -33 $. Для этого разделим каждый член выражения на $ -33 $:
$ \frac{-57 \cdot 33}{-33} = 57 $
$ \frac{48 \cdot 33}{-33} = -48 $
Получаем выражение в скобках $ (57 - 48) $.
Таким образом, итоговое выражение: $ -33 \cdot (57 - 48) $.
Ответ: $ -33 \cdot (57 - 48) $

ж) В выражении $ 99 \cdot 98 + 99 \cdot 100 $ общий множитель — это $ 99 $. Согласно заданию, вынесем за скобки множитель со знаком «−», то есть $ -99 $. Для этого разделим каждый член выражения на $ -99 $:
$ \frac{99 \cdot 98}{-99} = -98 $
$ \frac{99 \cdot 100}{-99} = -100 $
Получаем выражение в скобках $ (-98 - 100) $.
Таким образом, итоговое выражение: $ -99 \cdot (-98 - 100) $.
Ответ: $ -99 \cdot (-98 - 100) $

3.160. Вычислите:

а) $59 \cdot 64 + 59 \cdot 36;$

б) $72 \cdot 128 - 72 \cdot 228;$

в) $63 \cdot 356 - 556 \cdot 63;$

г) $-99 \cdot 12 - 99 \cdot 88;$

д) $-67 \cdot 85 - 67 \cdot 115;$

е) $41 \cdot 91 - 91 \cdot 51.$

а) В данном выражении можно вынести за скобки общий множитель $59$, используя распределительное свойство умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.
$59 \cdot 64 + 59 \cdot 36 = 59 \cdot (64 + 36) = 59 \cdot 100 = 5900$.
Ответ: 5900

б) В данном выражении можно вынести за скобки общий множитель $72$, используя распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$.
$72 \cdot 128 - 72 \cdot 228 = 72 \cdot (128 - 228) = 72 \cdot (-100) = -7200$.
Ответ: -7200

в) Используя переместительное свойство умножения ($a \cdot b = b \cdot a$), можно увидеть, что $556 \cdot 63 = 63 \cdot 556$. Теперь можно вынести за скобки общий множитель $63$.
$63 \cdot 356 - 556 \cdot 63 = 63 \cdot 356 - 63 \cdot 556 = 63 \cdot (356 - 556) = 63 \cdot (-200) = -12600$.
Ответ: -12600

г) В данном выражении можно вынести за скобки общий множитель $-99$.
$-99 \cdot 12 - 99 \cdot 88 = -99 \cdot (12 + 88) = -99 \cdot 100 = -9900$.
Ответ: -9900

д) В данном выражении можно вынести за скобки общий множитель $-67$.
$-67 \cdot 85 - 67 \cdot 115 = -67 \cdot (85 + 115) = -67 \cdot 200 = -13400$.
Ответ: -13400

е) Используя переместительное свойство умножения ($a \cdot b = b \cdot a$), видим, что $41 \cdot 91 = 91 \cdot 41$. Теперь можно вынести за скобки общий множитель $91$.
$41 \cdot 91 - 91 \cdot 51 = 91 \cdot (41 - 51) = 91 \cdot (-10) = -910$.
Ответ: -910

3.161. Докажите, что:

а) $43 \cdot 15 - 55 \cdot 15 + 34 \cdot 15$ делится на 22;

б) $12 \cdot 17 - 16 \cdot 17 + 13 \cdot 17$ делится на 9;

в) $99 \cdot 51 - 99 \cdot 91 + 69 \cdot 99$ делится на 29;

г) $63 \cdot 23 - 32 \cdot 63 + 22 \cdot 63$ делится на 13.

а) Чтобы доказать, что выражение $43 \cdot 15 - 55 \cdot 15 + 34 \cdot 15$ делится на 22, воспользуемся распределительным свойством умножения. Вынесем общий множитель 15 за скобки:

$43 \cdot 15 - 55 \cdot 15 + 34 \cdot 15 = 15 \cdot (43 - 55 + 34)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$43 - 55 + 34 = -12 + 34 = 22$

Таким образом, исходное выражение равно:

$15 \cdot 22$

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 22, все произведение делится на 22 без остатка. Результатом деления будет 15. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что выражение $43 \cdot 15 - 55 \cdot 15 + 34 \cdot 15$ делится на 22.

б) Чтобы доказать, что выражение $12 \cdot 17 - 16 \cdot 17 + 13 \cdot 17$ делится на 9, вынесем общий множитель 17 за скобки:

$12 \cdot 17 - 16 \cdot 17 + 13 \cdot 17 = 17 \cdot (12 - 16 + 13)$

Вычислим значение в скобках:

$12 - 16 + 13 = -4 + 13 = 9$

Исходное выражение равно:

$17 \cdot 9$

Так как один из множителей равен 9, произведение $17 \cdot 9$ делится на 9 нацело. Результатом деления будет 17. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что выражение $12 \cdot 17 - 16 \cdot 17 + 13 \cdot 17$ делится на 9.

в) Чтобы доказать, что выражение $99 \cdot 51 - 99 \cdot 91 + 69 \cdot 99$ делится на 29, вынесем общий множитель 99 за скобки:

$99 \cdot 51 - 99 \cdot 91 + 69 \cdot 99 = 99 \cdot (51 - 91 + 69)$

Вычислим значение в скобках:

$51 - 91 + 69 = -40 + 69 = 29$

Исходное выражение равно:

$99 \cdot 29$

Так как один из множителей равен 29, произведение $99 \cdot 29$ делится на 29 нацело. Результатом деления будет 99. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что выражение $99 \cdot 51 - 99 \cdot 91 + 69 \cdot 99$ делится на 29.

г) Чтобы доказать, что выражение $63 \cdot 23 - 32 \cdot 63 + 22 \cdot 63$ делится на 13, вынесем общий множитель 63 за скобки:

$63 \cdot 23 - 32 \cdot 63 + 22 \cdot 63 = 63 \cdot (23 - 32 + 22)$

Вычислим значение в скобках:

$23 - 32 + 22 = -9 + 22 = 13$

Исходное выражение равно:

$63 \cdot 13$

Так как один из множителей равен 13, произведение $63 \cdot 13$ делится на 13 нацело. Результатом деления будет 63. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что выражение $63 \cdot 23 - 32 \cdot 63 + 22 \cdot 63$ делится на 13.

3.162. Вычислите:

а) $42 \cdot 53 - 32 \cdot 53 - 42 \cdot 63 + 32 \cdot 63;$

б) $79 \cdot 45 + 79 \cdot 55 - 89 \cdot 45 - 89 \cdot 55;$

в) $88 \cdot 75 - 12 \cdot 45 + 12 \cdot 75 - 88 \cdot 45;$

г) $392 \cdot 23 - 492 \cdot 23 + 392 \cdot 77 - 492 \cdot 77.$

а) $42 \cdot 53 - 32 \cdot 53 - 42 \cdot 63 + 32 \cdot 63$
Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения. Сгруппируем слагаемые с общими множителями.
Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:
$(42 \cdot 53 - 42 \cdot 63) + (-32 \cdot 53 + 32 \cdot 63)$
Вынесем общие множители 42 и -32 за скобки:
$42 \cdot (53 - 63) - 32 \cdot (53 - 63)$
Теперь вынесем общий множитель $(53 - 63)$ за скобку:
$(42 - 32) \cdot (53 - 63)$
Выполним вычисления в скобках:
$10 \cdot (-10) = -100$
Ответ: -100

б) $79 \cdot 45 + 79 \cdot 55 - 89 \cdot 45 - 89 \cdot 55$
Сгруппируем слагаемые с общими множителями 79 и -89:
$(79 \cdot 45 + 79 \cdot 55) + (-89 \cdot 45 - 89 \cdot 55)$
Вынесем общие множители за скобки:
$79 \cdot (45 + 55) - 89 \cdot (45 + 55)$
Теперь вынесем общий множитель $(45 + 55)$ за скобку:
$(79 - 89) \cdot (45 + 55)$
Выполним вычисления в скобках:
$-10 \cdot 100 = -1000$
Ответ: -1000

в) $88 \cdot 75 - 12 \cdot 45 + 12 \cdot 75 - 88 \cdot 45$
Переставим слагаемые, чтобы сгруппировать их по общим множителям:
$(88 \cdot 75 - 88 \cdot 45) + (12 \cdot 75 - 12 \cdot 45)$
Вынесем общие множители 88 и 12 за скобки:
$88 \cdot (75 - 45) + 12 \cdot (75 - 45)$
Теперь вынесем общий множитель $(75 - 45)$ за скобку:
$(88 + 12) \cdot (75 - 45)$
Выполним вычисления в скобках:
$100 \cdot 30 = 3000$
Ответ: 3000

г) $392 \cdot 23 - 492 \cdot 23 + 392 \cdot 77 - 492 \cdot 77$
Сгруппируем слагаемые с общими множителями 23 и 77:
$(392 \cdot 23 - 492 \cdot 23) + (392 \cdot 77 - 492 \cdot 77)$
Вынесем общие множители за скобки:
$(392 - 492) \cdot 23 + (392 - 492) \cdot 77$
Теперь вынесем общий множитель $(392 - 492)$ за скобку:
$(392 - 492) \cdot (23 + 77)$
Выполним вычисления в скобках:
$-100 \cdot 100 = -10000$
Ответ: -10000

3.163. Вычислите:

a) $- 48 + 36 - (- 12) + (- 17 - 13);$

б) $50 : (- 25) \cdot (- 44) : (- 11) : 8;$

в) $32 : (23 - 39) + (- 21 - 15) : 12;$

г) $- 754 \cdot (- 48 + 47)^3 - (- 754) : (- 58 + 57)^2 - 939 : (- 313) + 2;$

д) $848 : (- 99 + 97)^3 - (- 999) \cdot (625 - (- 25)^2) + 201.$

а) $-48 + 36 - (-12) + (-17 - 13)$

Решим по действиям:

1. Сначала выполним действия в скобках: $-17 - 13 = -30$.

2. Раскроем скобки в выражении: $-48 + 36 - (-12) + (-30) = -48 + 36 + 12 - 30$.

3. Выполним сложение и вычитание по порядку:

$-48 + 36 = -12$

$-12 + 12 = 0$

$0 - 30 = -30$

Полное решение: $-48 + 36 - (-12) + (-17 - 13) = -12 - (-12) + (-30) = -12 + 12 - 30 = 0 - 30 = -30$.

Ответ: $-30$

б) $50 : (-25) \cdot (-44) : (-11) : 8$

Так как в выражении только умножение и деление, выполняем действия по порядку слева направо:

1. $50 : (-25) = -2$

2. $-2 \cdot (-44) = 88$

3. $88 : (-11) = -8$

4. $-8 : 8 = -1$

Полное решение: $50 : (-25) \cdot (-44) : (-11) : 8 = -2 \cdot (-44) : (-11) : 8 = 88 : (-11) : 8 = -8 : 8 = -1$.

Ответ: $-1$

в) $32 : (23 - 39) + (-21 - 15) : 12$

Решим по действиям, начиная с выражений в скобках:

1. $23 - 39 = -16$

2. $-21 - 15 = -36$

3. Подставим полученные значения в исходное выражение: $32 : (-16) + (-36) : 12$.

4. Выполним деление: $32 : (-16) = -2$.

5. Выполним второе деление: $(-36) : 12 = -3$.

6. Выполним сложение: $-2 + (-3) = -2 - 3 = -5$.

Полное решение: $32 : (23 - 39) + (-21 - 15) : 12 = 32 : (-16) + (-36) : 12 = -2 + (-3) = -5$.

Ответ: $-5$

г) $-754 \cdot (-48 + 47)^3 - (-754) : (-58 + 57)^2 - 939 : (-313) + 2$

Решим по действиям, соблюдая порядок операций (скобки, возведение в степень, умножение/деление, сложение/вычитание):

1. $(-48 + 47) = -1$

2. $(-58 + 57) = -1$

3. $(-1)^3 = -1$

4. $(-1)^2 = 1$

5. Подставим результаты в выражение: $-754 \cdot (-1) - (-754) : 1 - 939 : (-313) + 2$.

6. $-754 \cdot (-1) = 754$

7. $(-754) : 1 = -754$

8. $939 : (-313) = -3$

9. Собираем все вместе: $754 - (-754) - (-3) + 2 = 754 + 754 + 3 + 2$.

10. $754 + 754 = 1508$

11. $1508 + 3 = 1511$

12. $1511 + 2 = 1513$

Полное решение: $-754 \cdot (-1)^3 - (-754) : (-1)^2 - 939 : (-313) + 2 = -754 \cdot (-1) - (-754) : 1 - (-3) + 2 = 754 + 754 + 3 + 2 = 1513$.

Ответ: $1513$

д) $848 : (-99 + 97)^3 - (-999) \cdot (625 - (-25)^2) + 201$

Решим по действиям, соблюдая порядок операций:

1. $(-99 + 97) = -2$

2. $(-25)^2 = 625$

3. $(625 - 625) = 0$

4. $(-2)^3 = -8$

5. Подставим результаты в выражение: $848 : (-8) - (-999) \cdot 0 + 201$.

6. $848 : (-8) = -106$

7. $(-999) \cdot 0 = 0$

8. Собираем все вместе: $-106 - 0 + 201$.

9. $-106 + 201 = 95$

Полное решение: $848 : (-2)^3 - (-999) \cdot (625 - 625) + 201 = 848 : (-8) - (-999) \cdot 0 + 201 = -106 - 0 + 201 = 95$.

Ответ: $95$