Страница 117 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.188. Что называют:

а) координатной прямой;

б) положительной координатной полупрямой;

в) отрицательной координатной полупрямой?

а) координатной прямой;

Координатной прямой (или числовой осью) называют прямую, на которой заданы:
1. Начало отсчета – точка, которой сопоставлено число 0.
2. Единичный отрезок – отрезок, длина которого принимается за единицу измерения.
3. Положительное направление, которое указывается стрелкой.
На такой прямой каждой точке соответствует единственное действительное число, называемое ее координатой, и обратно, каждому действительному числу соответствует единственная точка.

Ответ: Координатная прямая – это прямая с выбранным на ней началом отсчета, единичным отрезком и положительным направлением.

б) положительной координатной полупрямой;

Положительной координатной полупрямой называют множество всех точек координатной прямой, координаты которых неотрицательны, то есть больше или равны нулю ($x \ge 0$). Это луч, который берет свое начало в точке 0 (начало отсчета) и совпадает по направлению с положительным направлением координатной прямой.

Ответ: Положительная координатная полупрямая – это луч, который начинается в точке 0 и направлен в положительную сторону координатной прямой.

в) отрицательной координатной полупрямой?

Отрицательной координатной полупрямой называют множество всех точек координатной прямой, координаты которых неположительны, то есть меньше или равны нулю ($x \le 0$). Это луч, который берет свое начало в точке 0 (начало отсчета) и направлен в сторону, противоположную положительному направлению.

Ответ: Отрицательная координатная полупрямая – это луч, который начинается в точке 0 и направлен в сторону, противоположную положительному направлению координатной прямой.

3.189. Как называют точку, изображающую число нуль?

Точку, которая изображает число нуль ($0$) на координатной прямой или в системе координат, называют началом отсчёта или началом координат.

Эта точка является фундаментальной, так как служит отправной точкой для измерения расстояний и определения положения всех других точек. На числовой прямой начало отсчёта разделяет положительные числа (расположенные, как правило, справа от нуля) и отрицательные числа (расположенные слева от нуля).

В декартовой системе координат на плоскости начало координат является точкой пересечения оси абсцисс ($Ox$) и оси ординат ($Oy$). Координаты этой точки равны $(0; 0)$.

Ответ: Начало отсчёта (или начало координат).

3.190. Как найти расстояние между точками $m$ и $n$ координатной прямой ($m > n$)?

Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат. Если точки имеют координаты $m$ и $n$, то расстояние $d$ между ними вычисляется по общей формуле:

$d = |m - n|$

В условии задачи указано, что $m > n$. Это означает, что значение координаты $m$ больше значения координаты $n$.

Когда мы из большего числа вычитаем меньшее, результат всегда является положительным числом. То есть, разность $m - n$ будет больше нуля ($m - n > 0$).

Модуль положительного числа равен самому этому числу. Поэтому, при условии $m > n$, знак модуля можно опустить.

Таким образом, чтобы найти расстояние между точками с координатами $m$ и $n$, где $m > n$, нужно из большей координаты ($m$) вычесть меньшую координату ($n$).

Ответ: Чтобы найти расстояние между точками $m$ и $n$ на координатной прямой при условии, что $m > n$, нужно из координаты $m$ вычесть координату $n$. Расстояние вычисляется по формуле $m - n$.

3.19. Какие точки находятся на одинаковом расстоянии от точки нуль, но на разных полупрямых?

Такими точками являются точки, координаты которых — противоположные числа. Разберем это подробно.

На числовой прямой точка нуль (начало отсчета) делит прямую на две части, которые называются полупрямыми или лучами.

• Положительная полупрямая — это луч, идущий от нуля вправо, на котором расположены все положительные числа.
• Отрицательная полупрямая — это луч, идущий от нуля влево, на котором расположены все отрицательные числа.

Расстояние от любой точки на числовой прямой до точки нуль равно модулю координаты этой точки. Если координата точки равна $a$, то расстояние до нуля составляет $|a|$.

Вопрос ставит два условия для искомых точек:

1. Они должны находиться на одинаковом расстоянии от точки нуль. Это означает, что если координаты точек равны $a$ и $b$, то должно выполняться равенство $|a| = |b|$.
2. Они должны находиться на разных полупрямых. Это означает, что одна точка должна лежать на положительной полупрямой, а другая — на отрицательной. Следовательно, их координаты должны иметь разные знаки (одно число положительное, другое — отрицательное).

Числа, которые имеют одинаковый модуль, но разные знаки, называются противоположными. Например, пара чисел $5$ и $-5$.

Проверим их:

• Расстояние от точки с координатой $5$ до нуля равно $|5| = 5$.
• Расстояние от точки с координатой $-5$ до нуля равно $|-5| = 5$.

Расстояния одинаковы. При этом число $5$ является положительным (находится на положительной полупрямой), а число $-5$ — отрицательным (находится на отрицательной полупрямой). Оба условия выполнены.

Таким образом, любая пара точек с противоположными ненулевыми координатами (например, $a$ и $-a$, где $a \neq 0$) будет удовлетворять заданным условиям.

Ответ: Точки, координаты которых являются противоположными числами (например, $7$ и $-7$, $1.5$ и $-1.5$ и т.д.).

3.192. Дана координатная прямая (рис. 49), некоторые её точки обозначены буквами A, B, C, D, E. Укажите координаты этих точек.

Рис. 49

Координаты точек:

C: $-5$

B: $-3$

O: $0$

E: $1$

A: $4$

D: $6$

Чтобы определить координаты точек, нужно найти на координатной прямой число, соответствующее каждой точке.

A

Точка $A$ на координатной прямой расположена на отметке с числом 4. Значит, координата точки $A$ равна 4. Это записывается как $A(4)$.

Ответ: $A(4)$

B

Точка $B$ на координатной прямой расположена на отметке с числом -3. Значит, координата точки $B$ равна -3. Это записывается как $B(-3)$.

Ответ: $B(-3)$

C

Точка $C$ на координатной прямой расположена на отметке с числом -5. Значит, координата точки $C$ равна -5. Это записывается как $C(-5)$.

Ответ: $C(-5)$

D

Точка $D$ на координатной прямой расположена на отметке с числом 6. Значит, координата точки $D$ равна 6. Это записывается как $D(6)$.

Ответ: $D(6)$

E

Точка $E$ на координатной прямой расположена на отметке с числом 1. Значит, координата точки $E$ равна 1. Это записывается как $E(1)$.

Ответ: $E(1)$

3.193. Вычислите длину отрезка (рис. 49):

а) $OA$;

б) $OB$;

в) $OC$;

г) $OD$;

д) $AC$;

е) $AE$;

ж) $OE$;

з) $CB$;

и) $DA$;

к) $BE$.

Для решения задачи воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Из рисунка 49 определяем координаты точек: O(0, 0), A(4, 0), B(0, 3), C(-3, 2), D(-2, -2), E(1, -4).

а) OA

Для точек O(0, 0) и A(4, 0) длина отрезка OA равна:

$OA = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: 4.

б) OB

Для точек O(0, 0) и B(0, 3) длина отрезка OB равна:

$OB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: 3.

в) OC

Для точек O(0, 0) и C(-3, 2) длина отрезка OC равна:

$OC = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.

Ответ: $\sqrt{13}$.

г) OD

Для точек O(0, 0) и D(-2, -2) длина отрезка OD равна:

$OD = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$.

д) AC

Для точек A(4, 0) и C(-3, 2) длина отрезка AC равна:

$AC = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}$.

Ответ: $\sqrt{53}$.

е) AE

Для точек A(4, 0) и E(1, -4) длина отрезка AE равна:

$AE = \sqrt{(1 - 4)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5.

ж) OE

Для точек O(0, 0) и E(1, -4) длина отрезка OE равна:

$OE = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.

Ответ: $\sqrt{17}$.

з) CB

Для точек C(-3, 2) и B(0, 3) длина отрезка CB равна:

$CB = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{10}$.

и) DA

Для точек D(-2, -2) и A(4, 0) длина отрезка DA равна:

$DA = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

Ответ: $2\sqrt{10}$.

к) BE

Для точек B(0, 3) и E(1, -4) длина отрезка BE равна:

$BE = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Ответ: $5\sqrt{2}$.

3.194. Изобразите координатную прямую (единичный отрезок 1 см).

Отметьте на ней точки $A (-5)$, $B (7)$, $C (4)$, $D (-4)$. Вычислите длину отрезка:

а) $OA$;

б) $OB$;

в) $BC$;

г) $BD$;

д) $AD$.

Результаты проверьте с помощью линейки.

Сначала изобразим координатную прямую. Для этого проведем прямую, выберем на ней начало отсчета (точку О с координатой 0), положительное направление (обычно вправо) и единичный отрезок, который по условию равен 1 см. Затем отметим на этой прямой точки в соответствии с их координатами:

• Точка A(-5) будет находиться на 5 единичных отрезков (5 см) левее начала отсчета.
• Точка B(7) будет находиться на 7 единичных отрезков (7 см) правее начала отсчета.
• Точка C(4) будет находиться на 4 единичных отрезка (4 см) правее начала отсчета.
• Точка D(-4) будет находиться на 4 единичных отрезка (4 см) левее начала отсчета.

Для вычисления длины отрезка на координатной прямой нужно найти модуль разности координат его концов. Если отрезок соединяет точки $M(x_1)$ и $N(x_2)$, то его длина $MN$ равна $|x_2 - x_1|$. Начало отсчета О имеет координату 0.

Координаты точек: O(0) и A(-5).
Длина отрезка OA вычисляется по формуле: $OA = |-5 - 0| = |-5| = 5$. Так как единичный отрезок равен 1 см, длина отрезка OA равна 5 см. Ответ: 5 см.

Координаты точек: O(0) и B(7).
Длина отрезка OB вычисляется по формуле: $OB = |7 - 0| = |7| = 7$. Длина отрезка OB равна 7 см. Ответ: 7 см.

Координаты точек: B(7) и C(4).
Длина отрезка BC вычисляется по формуле: $BC = |4 - 7| = |-3| = 3$. Длина отрезка BC равна 3 см. Ответ: 3 см.

Координаты точек: B(7) и D(-4).
Длина отрезка BD вычисляется по формуле: $BD = |-4 - 7| = |-11| = 11$. Длина отрезка BD равна 11 см. Ответ: 11 см.

Координаты точек: A(-5) и D(-4).
Длина отрезка AD вычисляется по формуле: $AD = |-4 - (-5)| = |-4 + 5| = |1| = 1$. Длина отрезка AD равна 1 см. Ответ: 1 см.

3.195. Изобразите координатную прямую (единичный отрезок 1 клетка тетради). Отметьте на ней точки $O (0)$, $A (5)$, $B (-8)$, $C (9)$, $D (-2)$. Вычислите длину отрезка:

а) $OA$;

б) $OB$;

в) $AB$;

г) $AC$;

д) $DC$.

Первым шагом изобразим координатную прямую. Для этого проведем горизонтальную линию, на которой отметим точку O — начало отсчета с координатой 0. Вправо от точки O будут располагаться положительные числа, а влево — отрицательные. Единичный отрезок, согласно условию, равен 1 клетке.

Теперь отметим на прямой заданные точки:

• Точка O имеет координату 0.
• Точка A имеет координату 5 (откладываем 5 клеток вправо от O).
• Точка B имеет координату -8 (откладываем 8 клеток влево от O).
• Точка C имеет координату 9 (откладываем 9 клеток вправо от O).
• Точка D имеет координату -2 (откладываем 2 клетки влево от O).

Далее вычислим длины отрезков. Длина отрезка на координатной прямой равна модулю разности координат его концов. Если концы отрезка имеют координаты $x_1$ и $x_2$, то его длина равна $|x_2 - x_1|$.

а) OA
Находим длину отрезка с концами в точках O(0) и A(5).
$OA = |5 - 0| = 5$.
Ответ: 5

б) OB
Находим длину отрезка с концами в точках O(0) и B(-8).
$OB = |-8 - 0| = |-8| = 8$.
Ответ: 8

в) AB
Находим длину отрезка с концами в точках A(5) и B(-8).
$AB = |5 - (-8)| = |5 + 8| = 13$.
Ответ: 13

г) AC
Находим длину отрезка с концами в точках A(5) и C(9).
$AC = |9 - 5| = 4$.
Ответ: 4

д) DC
Находим длину отрезка с концами в точках D(-2) и C(9).
$DC = |9 - (-2)| = |9 + 2| = 11$.
Ответ: 11