Страница 124 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.211. Постройте круг с центром $O$. Отметьте внутри круга точку $M$. Постройте точку $N$, симметричную точке $M$ относительно точки $O$. Верно ли, что круг симметричен относительно своего центра?

Выполним по шагам все действия, указанные в задаче.

1. С помощью циркуля построим круг с центром в точке O и произвольным радиусом R.

2. Внутри этого круга отметим произвольную точку M. Так как точка M находится внутри круга, расстояние от центра O до точки M меньше радиуса круга: $OM < R$.

3. Для построения точки N, симметричной точке M относительно центра O, проведем прямую через точки M и O. На этой прямой отложим от точки O отрезок ON, равный по длине отрезку OM, так, чтобы точка O оказалась серединой отрезка MN. Построенная точка N и будет искомой.

Поскольку по построению $ON = OM$, а мы знаем, что $OM < R$, то отсюда следует, что и $ON < R$. Это означает, что точка N также лежит внутри круга.

Верно ли, что круг симметричен относительно своего центра?

Да, это утверждение верно.

Фигура называется симметричной относительно точки (центра симметрии), если для каждой точки, принадлежащей фигуре, симметричная ей точка относительно этого центра также принадлежит данной фигуре.

Рассмотрим произвольную точку M, принадлежащую кругу с центром O и радиусом R. По определению круга, расстояние от любой его точки до центра не превышает радиус, то есть $OM \le R$.

Пусть N — точка, симметричная точке M относительно центра O. По определению центральной симметрии, точка O является серединой отрезка MN, и, следовательно, длины отрезков OM и ON равны: $ON = OM$.

Так как $OM \le R$, то из равенства следует, что и $ON \le R$. Это означает, что точка N также принадлежит кругу, так как расстояние от неё до центра не превышает радиус.

Поскольку точка M была выбрана произвольно, это рассуждение справедливо для любой точки круга. Следовательно, круг симметричен относительно своего центра.

Ответ: Да, верно.

3.212. Дан отрезок $AB$ и точка $O$, не лежащая на этом отрезке. Постройте отрезок $A_1 B_1$, симметричный отрезку $AB$, так, чтобы точки $A$ и $A_1$, $B$ и $B_1$ были симметричны относительно точки $O$. Соедините точки $A$ и $B_1$, $A_1$ и $B$. Укажите все пары отрезков, симметричных друг другу относительно точки $O$. Какие из построенных отрезков симметричны сами себе относительно точки $O$?

Для решения задачи выполним построение и проанализируем его свойства.

1. Построение:

• Через точки $A$ и $O$ проводим прямую. На этой прямой от точки $O$ откладываем отрезок $OA_1$, равный отрезку $OA$, так, чтобы точка $O$ оказалась между точками $A$ и $A_1$. Точка $A_1$ симметрична точке $A$ относительно $O$.
• Аналогично через точки $B$ и $O$ проводим прямую и строим точку $B_1$, симметричную точке $B$ относительно $O$ ($BO = OB_1$).
• Соединяем точки $A_1$ и $B_1$. Полученный отрезок $A_1B_1$ является симметричным отрезку $AB$ относительно точки $O$.
• Соединяем точки $A$ и $B_1$, а также точки $A_1$ и $B$.

В результате построения мы получаем четырехугольник $AB_1A_1B$, диагонали которого ($AA_1$ и $BB_1$) пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Следовательно, четырехугольник $AB_1A_1B$ — параллелограмм.

Укажите все пары отрезков, симметричных друг другу относительно точки O.
Центральная симметрия отображает отрезок в равный ему отрезок. Чтобы найти отрезок, симметричный данному, нужно найти точки, симметричные его концам, и соединить их.

• Пара 1: По построению точка $A$ симметрична точке $A_1$, а точка $B$ симметрична точке $B_1$. Следовательно, отрезок, соединяющий точки $A$ и $B$ (отрезок $AB$), симметричен отрезку, соединяющему точки $A_1$ и $B_1$ (отрезок $A_1B_1$).
• Пара 2: Рассмотрим отрезок $AB_1$. Точка, симметричная точке $A$ относительно $O$, — это $A_1$. Точка, симметричная точке $B_1$ относительно $O$, — это $B$. Следовательно, отрезок $AB_1$ симметричен отрезку $A_1B$.

Ответ: $AB$ и $A_1B_1$; $AB_1$ и $A_1B$.

Какие из построенных отрезков симметричны сами себе относительно точки O?
Отрезок симметричен сам себе относительно некоторой точки только в том случае, если эта точка является его серединой. В нашем построении:

• Точка $O$ является серединой отрезка $AA_1$ по определению симметричной точки.
• Точка $O$ является серединой отрезка $BB_1$ по определению симметричной точки.

Другие построенные отрезки ($AB$, $A_1B_1$, $AB_1$, $A_1B$) не проходят через точку $O$ (поскольку по условию точка $O$ не лежит на отрезке $AB$, а значит, и на симметричном ему $A_1B_1$), поэтому $O$ не может быть их серединой.
Ответ: $AA_1$ и $BB_1$.

3.213. Дан треугольник $ABC$. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно точки $A$.

Для построения треугольника, симметричного данному треугольнику $ABC$ относительно точки $A$, необходимо для каждой вершины треугольника $ABC$ построить симметричную ей точку относительно точки $A$. Пусть искомый треугольник будет $A'B'C'$.

Построение

Построение выполняется в несколько шагов:

1. Находим образ вершины $A$. Точка, симметричная центру симметрии, совпадает с самим центром. Следовательно, образ точки $A$, точка $A'$, совпадает с точкой $A$.
2. Строим образ вершины $B$ — точку $B'$. Точка $B'$ называется симметричной точке $B$ относительно точки $A$, если $A$ является серединой отрезка $BB'$. Для этого проводим луч из точки $B$ через точку $A$ и на его продолжении откладываем отрезок $AB'$, равный по длине отрезку $AB$.
3. Аналогично строим образ вершины $C$ — точку $C'$. Проводим луч из точки $C$ через точку $A$ и на его продолжении откладываем отрезок $AC'$, равный по длине отрезку $AC$. Точка $A$ будет серединой отрезка $CC'$.
4. Соединяем полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками. Учитывая, что точка $A'$ совпадает с $A$, искомым треугольником будет $\triangle AB'C'$.

Таким образом, треугольник $AB'C'$ является симметричным треугольнику $ABC$ относительно точки $A$.

Ответ: Искомый треугольник $AB'C'$ строится так, что точка $A$ является серединой отрезков $BB'$ и $CC'$.

3.214 Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно точки $O$, лежащей на стороне $AB$.

Для построения треугольника, симметричного треугольнику $ABC$ относительно точки $O$, необходимо построить точки $A'$, $B'$ и $C'$, симметричные соответственно вершинам $A$, $B$ и $C$ относительно точки $O$. Точка $X'$ называется симметричной точке $X$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $XX'$.

1. Построение точки A'

Проводим луч $AO$ и на его продолжении за точку $O$ откладываем отрезок $OA'$, равный отрезку $AO$. Таким образом, точка $O$ становится серединой отрезка $AA'$, а точка $A'$ является симметричной точке $A$.

2. Построение точки B'

Аналогично, проводим луч $BO$ и на его продолжении за точку $O$ откладываем отрезок $OB'$, равный отрезку $BO$. Точка $B'$ будет симметрична точке $B$ относительно $O$. Так как точка $O$ по условию лежит на стороне $AB$, то точки $A, O, B$ лежат на одной прямой. Следовательно, их симметричные образы $A', O, B'$ также будут лежать на этой же прямой.

3. Построение точки C'

Проводим луч $CO$ и на его продолжении за точку $O$ откладываем отрезок $OC'$, равный отрезку $CO$. Точка $C'$ будет симметрична точке $C$ относительно $O$.

4. Завершение построения

Соединяем точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками. Полученный треугольник $A'B'C'$ является искомым, так как его вершины симметричны вершинам треугольника $ABC$ относительно точки $O$.

Ответ: Треугольник $A'B'C'$, построенный согласно вышеописанным шагам, является искомым треугольником, симметричным треугольнику $ABC$ относительно точки $O$.

3.215. Из прямоугольника вырезали квадрат (рис. 66). Постройте прямую, которая делит площадь закрашенной фигуры пополам.

Рис. 66

Для решения этой задачи воспользуемся свойством центральной симметрии: любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит ее площадь пополам.

Обоснование

Пусть $S_R$ — площадь прямоугольника, а $C_R$ — его центр симметрии (точка пересечения диагоналей). Пусть $S_Q$ — площадь вырезанного квадрата, а $C_Q$ — его центр симметрии (точка пересечения диагоналей). Площадь закрашенной фигуры равна $S = S_R - S_Q$.

Рассмотрим прямую $l$, проходящую через оба центра $C_R$ и $C_Q$.

• Поскольку прямая $l$ проходит через центр прямоугольника $C_R$, она делит площадь прямоугольника на две равные части, каждая площадью $\frac{S_R}{2}$.
• Поскольку прямая $l$ проходит через центр квадрата $C_Q$, она делит площадь квадрата на две равные части, каждая площадью $\frac{S_Q}{2}$.

Следовательно, прямая $l$ разделит закрашенную фигуру на две части. Площадь каждой из этих частей будет равна разности площадей половинки прямоугольника и половинки квадрата, то есть:

$$ \frac{S_R}{2} - \frac{S_Q}{2} = \frac{S_R - S_Q}{2} = \frac{S}{2} $$

Таким образом, прямая, проведенная через центры прямоугольника и квадрата, делит площадь закрашенной фигуры пополам.

Построение

1. Находим центр симметрии прямоугольника, проведя его диагонали. Обозначим эту точку $C_R$.
2. Находим центр симметрии вырезанного квадрата, проведя его диагонали. Обозначим эту точку $C_Q$.
3. Проводим прямую через точки $C_R$ и $C_Q$. Эта прямая и будет искомой.

На рисунке ниже показано это построение. Красным цветом обозначен центр прямоугольника $C_R$, синим — центр квадрата $C_Q$. Искомая прямая проведена через эти две точки.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через центры симметрии исходного прямоугольника и вырезанного квадрата.

3.216. Вороне как-то Бог послал кусочек сыра... Предположим, что, в отличие от героини известной басни, наша Ворона захотела разделить сыр поровну с Лисицей. Как она должна разрезать по прямой кусок сыра, если этот кусок имеет форму прямоугольника с круглой дыркой (рис. 67)? (Толщина куска сыра во всех местах одна и та же.)

Рис. 67

Чтобы разделить кусок сыра на две равные по площади части одним прямолинейным разрезом, необходимо использовать свойство центральной симметрии. Любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит ее площадь пополам.

В нашей задаче кусок сыра представляет собой сложную фигуру — прямоугольник с круглым вырезом. Площадь этого куска сыра равна разности площадей прямоугольника и круга: $S_{сыра} = S_{прямоугольника} - S_{круга}$.

Рассмотрим обе фигуры по отдельности:

1. Прямоугольник. Это центрально-симметричная фигура. Его центр симметрии — это точка пересечения диагоналей. Любая прямая, проведенная через эту точку, разделит площадь прямоугольника на две равные части.
2. Круг. Это также центрально-симметричная фигура. Его центр симметрии — это его геометрический центр. Любая прямая, проведенная через центр круга, разделит его площадь на две равные части.

Чтобы разделить площадь сыра пополам, нужно провести разрез так, чтобы он одновременно разделил пополам и площадь исходного прямоугольника, и площадь круглого выреза. Прямая, обладающая таким свойством, должна проходить одновременно через центр симметрии прямоугольника и через центр симметрии круга.

Пусть $O_R$ — центр прямоугольника (точка пересечения его диагоналей), а $O_C$ — центр круглого отверстия. Проведем прямую через эти две точки $O_R$ и $O_C$.

Эта прямая разделит:

• площадь прямоугольника на две части, каждая площадью $\frac{S_{прямоугольника}}{2}$;
• площадь круга на две части, каждая площадью $\frac{S_{круга}}{2}$.

В результате каждая из двух получившихся частей сыра будет иметь площадь, равную:

$\frac{S_{прямоугольника}}{2} - \frac{S_{круга}}{2} = \frac{S_{прямоугольника} - S_{круга}}{2} = \frac{S_{сыра}}{2}$

Таким образом, обе части будут иметь одинаковую площадь.

Ответ: Ворона должна сделать прямой разрез, проходящий через две точки: центр прямоугольного куска сыра (точку пересечения его диагоналей) и центр круглого отверстия.