Страница 128 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.233. Решите предыдущую задачу для пяти пилоток – двух синих и трёх красных и трёх учащихся. Какие случаи следует рассмотреть?

Для решения задачи о распределении пяти пилоток (двух синих и трёх красных) между тремя учащимися необходимо найти общее количество способов это сделать. Будем считать, что пилотки одного цвета неразличимы между собой, а учащиеся — различимы. Каждому учащемуся достается по одной пилотке.

Решение задачи сводится к рассмотрению всех возможных комбинаций цветов пилоток, которые могут получить трое учащихся. Следует рассмотреть следующие случаи в зависимости от цветового состава выданных пилоток:

• Трое учащихся получили красные пилотки.
• Двое учащихся получили красные пилотки и один — синюю.
• Один учащийся получил красную пилотку и двое — синие.

Случай, когда трое учащихся получают синие пилотки, невозможен, так как в наличии всего две синие пилотки.

Теперь найдем количество способов для каждого случая и сложим их, чтобы получить общее количество способов.

1. Трое учащихся получили красные пилотки.

В этом случае все трое учащихся получают по одной красной пилотке. Так как все красные пилотки неразличимы, и каждый из трёх учащихся получает такую пилотку, существует только 1 такой способ.

2. Двое учащихся получили красные пилотки и один — синюю.

В этом случае нам нужно распределить две красные и одну синюю пилотку между тремя учащимися. Задача сводится к выбору одного учащегося из трёх, который получит синюю пилотку (остальные двое автоматически получат красные). Число способов сделать это равно числу сочетаний из 3 по 1:

$C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = 3$ способа.

3. Один учащийся получил красную пилотку и двое — синие.

В этом случае нам нужно распределить одну красную и две синие пилотки между тремя учащимися. Задача сводится к выбору одного учащегося из трёх, который получит красную пилотку (остальные двое автоматически получат синие). Число способов сделать это также равно числу сочетаний из 3 по 1:

$C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = 3$ способа.

Общее количество способов равно сумме способов во всех рассмотренных случаях:

$N = 1 + 3 + 3 = 7$.

Ответ: 7.

3.234. Приехав в город, Ходжа Насреддин постучал в ворота первого дома и попросил хозяина пустить его переночевать. Денег у Насреддина не было, но была золотая цепочка из семи звеньев. Хозяин согласился приютить путника на семь дней с такими условиями:

1) за один день Насреддин платит одним звеном цепочки;

2) расплачиваться он должен ежедневно;

3) хозяин соглашается принять не более одного распиленного звена.

Смог ли Ходжа Насреддин расплатиться с хозяином?

Да, Ходжа Насреддин смог расплатиться с хозяином, проявив смекалку. Для этого ему понадобилось сделать всего один распил.

Решение заключается в том, чтобы распилить третье звено в цепочке. В результате этого одного действия Насреддин получает три части:

1. Кусок из двух целых звеньев (звенья 1-2).

2. Одно распиленное звено (звено 3).

3. Кусок из четырех целых звеньев (звенья 4-5-6-7).

Используя эти три части, он может производить ежедневный расчет с хозяином следующим образом:

День 1: Насреддин отдает хозяину одно распиленное звено. Теперь долг погашен, у хозяина $1$ звено.

День 2: Насреддин отдает хозяину кусок из двух звеньев и забирает у него в качестве сдачи одно распиленное звено, которое отдал вчера. Теперь у хозяина находится кусок из $2$ звеньев, что соответствует оплате за два дня.

День 3: Насреддин снова отдает хозяину одно распиленное звено. Теперь у хозяина есть кусок из $2$ звеньев и $1$ отдельное звено (всего $3$).

День 4: Насреддин отдает хозяину кусок из четырех звеньев, а в качестве сдачи забирает кусок из двух звеньев и одно отдельное звено. Теперь у хозяина кусок из $4$ звеньев.

День 5: Насреддин отдает хозяину одно распиленное звено. У хозяина теперь кусок из $4$ звеньев и $1$ отдельное звено (всего $5$).

День 6: Насреддин отдает хозяину кусок из двух звеньев и забирает одно отдельное звено. У хозяина теперь куски из $4$ и $2$ звеньев (всего $6$).

День 7: Насреддин отдает хозяину последнее оставшееся у него распиленное звено. В итоге у хозяина оказываются все три части цепочки: кусок из $4$ звеньев, кусок из $2$ звеньев и $1$ отдельное звено. Общая стоимость равна семи звеньям.

Таким образом, все условия выполнены: оплата производилась ежедневно, и было использовано только одно распиленное звено.

Ответ: Да, смог.

3.235. В одной коробке лежат два белых шара, в другой — два чёрных, в третьей — один белый и один чёрный. На каждой коробке имеется табличка, но она неправильно указывает содержимое коробки (рис. 68). Из какой коробки не глядя надо вынуть шар, чтобы можно было определить содержимое каждой коробки?

Рис. 68

Поскольку по условию все таблички на коробках неверные, это даёт нам ключ к решению. Нужно вынуть шар из коробки с табличкой «БЧ» (один белый и один чёрный).

Рассуждаем следующим образом:

1. Так как табличка «БЧ» неверна, в этой коробке не может быть одного белого и одного чёрного шара. Следовательно, там лежат два шара одинакового цвета: либо два белых, либо два чёрных. Вытащив один шар, мы точно узнаем цвет второго и, соответственно, содержимое всей коробки.

2. Допустим, мы вытащили из коробки «БЧ» белый шар. Это значит, что в ней лежат два белых шара. Теперь мы знаем точное содержимое одной коробки. Осталось две коробки: с табличкой «ББ» и «ЧЧ», и два набора шаров: «два чёрных» и «один белый, один чёрный».

3. Смотрим на коробку с табличкой «ЧЧ». В ней не могут лежать два чёрных шара (табличка неверна). Также в ней не могут лежать два белых шара (мы уже определили, что они в коробке «БЧ»). Значит, в коробке «ЧЧ» лежит смешанный набор: один белый и один чёрный шар.

4. Методом исключения, в оставшейся коробке с табличкой «ББ» лежат два чёрных шара.

Аналогичные рассуждения можно провести, если бы мы вытащили из коробки «БЧ» чёрный шар. В любом случае, вытащив всего один шар из коробки с надписью «БЧ», мы можем однозначно определить содержимое всех трёх коробок.

Ответ: надо вынуть шар из коробки, на которой имеется табличка «БЧ».

3.236. Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое нет. Кто из мальчиков разбил стекло?

Это логическая задача, которую можно решить методом исключения, рассмотрев все возможные варианты.

В задаче есть два утверждения:

1. Утверждение Коли: «Это не я разбил стекло».

2. Утверждение Олега: «Это Петя разбил стекло».

По условию, одно из этих утверждений истинно, а другое ложно. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Утверждение Коли истинно, а утверждение Олега ложно.

Если Коля говорит правду («Это не я разбил стекло»), то Коля невиновен.

Если Олег лжет («Это Петя разбил стекло»), то Петя тоже невиновен.

Поскольку стекло разбил один из трех мальчиков (Коля, Олег или Петя), и мы выяснили, что это не Коля и не Петя, то виновником должен быть Олег. Этот сценарий не содержит противоречий.

Случай 2: Утверждение Коли ложно, а утверждение Олега истинно.

Если Коля лжет («Это не я разбил стекло»), то это означает, что именно Коля разбил стекло.

Если Олег говорит правду («Это Петя разбил стекло»), то это означает, что стекло разбил Петя.

В этом случае получается, что стекло разбили два человека одновременно: и Коля, и Петя. Это противоречит условию задачи, где сказано, что «один из них случайно разбил мячом оконное стекло». Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, единственно верным является первый случай.

Ответ: Стекло разбил Олег.

3.237. Задачи С. А. Рачинского.

а) В будущем (1892) году думаю провести в Петербурге столько минут, сколько часов проведу в деревне. Сколько времени я проведу в Петербурге? (Время на переезды не учитывается.)

б) У меня пять детей. Дал я им пряников поровну. Трое из них съели по пять пряников, и тогда у всех троих осталось столько пряников, сколько у двух остальных. Сколько всех пряников роздано?

в) От Москвы до Тамбова 450 вёрст. Выехали одновременно навстречу друг другу из Москвы почтовый, а из Тамбова товарный поезд. Второй мог бы пройти весь путь за 18 ч, а первый — вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

г) Дочь ткёт по 3 аршина в день, 4 дня она ткала одна, но затем стала ткать и мать, которая ткёт по 5 аршинов в день. Когда их ткань стала поровну, они прекратили работу. Сколько соткали они вдвоём?

а)

Пусть $T_П$ — время, проведённое в Петербурге (в часах), а $T_Д$ — время, проведённое в деревне (в часах). По условию, количество минут в Петербурге равно количеству часов в деревне. В одном часе 60 минут, поэтому:
$60 \cdot T_П = T_Д$

События происходят в 1892 году. Этот год является високосным, так как число 1892 делится на 4. В високосном году 366 дней. Общее время, проведённое в Петербурге и в деревне, составляет один год. Выразим это время в часах:
$T_{общ} = T_П + T_Д = 366 \text{ дней} \times 24 \text{ часа/день} = 8784 \text{ часа}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $T_Д = 60 \cdot T_П$
2) $T_П + T_Д = 8784$

Подставим первое уравнение во второе:
$T_П + 60 \cdot T_П = 8784$
$61 \cdot T_П = 8784$
$T_П = \frac{8784}{61} = 144$ часа

Таким образом, в Петербурге будет проведено 144 часа. Чтобы выразить это в сутках, разделим на 24:
$144 \text{ часа} / 24 \text{ часа/сутки} = 6$ суток.

Ответ: 144 часа или 6 суток.

б)

Пусть $x$ — количество пряников, которое получил каждый из пяти детей.
Всего было роздано $5x$ пряников.

Трое детей съели по 5 пряников. У каждого из них осталось по $(x - 5)$ пряников.
Общее количество пряников, оставшихся у этих троих детей, равно $3 \cdot (x - 5)$.

У двух других детей осталось по $x$ пряников, так как они ничего не ели.
Общее количество пряников у этих двоих детей равно $2 \cdot x$.

По условию, количество оставшихся пряников у первой группы детей равно количеству пряников у второй группы:
$3 \cdot (x - 5) = 2 \cdot x$

Решим это уравнение:
$3x - 15 = 2x$
$3x - 2x = 15$
$x = 15$

Итак, каждый ребёнок получил по 15 пряников.
Всего было роздано: $5 \cdot x = 5 \cdot 15 = 75$ пряников.

Ответ: 75 пряников.

в)

Расстояние между Москвой и Тамбовом $S = 450$ вёрст.
Пусть первый поезд — почтовый (из Москвы), а второй — товарный (из Тамбова).

Второй (товарный) поезд проходит весь путь за $t_2 = 18$ часов.
Его скорость $v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{450}{18} = 25$ вёрст/час.

Первый (почтовый) поезд вдвое быстрее второго.
Его скорость $v_1 = 2 \cdot v_2 = 2 \cdot 25 = 50$ вёрст/час.

Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Скорость сближения:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 50 + 25 = 75$ вёрст/час.

Время до встречи $t_{встр}$ найдём, разделив общее расстояние на скорость сближения:
$t_{встр} = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{450}{75} = 6$ часов.

Ответ: через 6 часов.

г)

Скорость работы дочери: $v_Д = 3$ аршина в день.
Скорость работы матери: $v_М = 5$ аршинов в день.

За первые 4 дня дочь, работая одна, соткала:
$W_{Д1} = v_Д \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12$ аршинов.

Затем к ней присоединилась мать. Пусть они работали вместе $t$ дней. За это время дочь соткала ещё $3t$ аршинов, а мать соткала $5t$ аршинов.

Общее количество ткани, сотканное дочерью, составило $W_Д = 12 + 3t$.
Общее количество ткани, сотканное матерью, составило $W_М = 5t$.

По условию, они прекратили работу, когда количество сотканной ими ткани стало равным:
$W_Д = W_М$
$12 + 3t = 5t$

Решим уравнение, чтобы найти $t$:
$12 = 5t - 3t$
$12 = 2t$
$t = 6$ дней.

Они работали вместе 6 дней. Найдём, сколько каждая из них соткала всего:
Дочь: $W_Д = 12 + 3 \cdot 6 = 12 + 18 = 30$ аршинов.
Мать: $W_М = 5 \cdot 6 = 30$ аршинов.

Вопрос "Сколько соткали они вдвоём?" означает общее количество ткани, произведенной обеими.
$W_{общ} = W_Д + W_М = 30 + 30 = 60$ аршинов.

Ответ: 60 аршинов.