Номер 3.237, страница 128 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Целые числа. Дополнения к главе 3. Занимательные задачи - номер 3.237, страница 128.

Условие.

3.237. Задачи С. А. Рачинского.

а) В будущем (1892) году думаю провести в Петербурге столько минут, сколько часов проведу в деревне. Сколько времени я проведу в Петербурге? (Время на переезды не учитывается.)

б) У меня пять детей. Дал я им пряников поровну. Трое из них съели по пять пряников, и тогда у всех троих осталось столько пряников, сколько у двух остальных. Сколько всех пряников роздано?

в) От Москвы до Тамбова 450 вёрст. Выехали одновременно навстречу друг другу из Москвы почтовый, а из Тамбова товарный поезд. Второй мог бы пройти весь путь за 18 ч, а первый — вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

г) Дочь ткёт по 3 аршина в день, 4 дня она ткала одна, но затем стала ткать и мать, которая ткёт по 5 аршинов в день. Когда их ткань стала поровну, они прекратили работу. Сколько соткали они вдвоём?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Пусть $T_П$ — время, проведённое в Петербурге (в часах), а $T_Д$ — время, проведённое в деревне (в часах). По условию, количество минут в Петербурге равно количеству часов в деревне. В одном часе 60 минут, поэтому:
$60 \cdot T_П = T_Д$

События происходят в 1892 году. Этот год является високосным, так как число 1892 делится на 4. В високосном году 366 дней. Общее время, проведённое в Петербурге и в деревне, составляет один год. Выразим это время в часах:
$T_{общ} = T_П + T_Д = 366 \text{ дней} \times 24 \text{ часа/день} = 8784 \text{ часа}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $T_Д = 60 \cdot T_П$
2) $T_П + T_Д = 8784$

Подставим первое уравнение во второе:
$T_П + 60 \cdot T_П = 8784$
$61 \cdot T_П = 8784$
$T_П = \frac{8784}{61} = 144$ часа

Таким образом, в Петербурге будет проведено 144 часа. Чтобы выразить это в сутках, разделим на 24:
$144 \text{ часа} / 24 \text{ часа/сутки} = 6$ суток.

Ответ: 144 часа или 6 суток.

б)

Пусть $x$ — количество пряников, которое получил каждый из пяти детей.
Всего было роздано $5x$ пряников.

Трое детей съели по 5 пряников. У каждого из них осталось по $(x - 5)$ пряников.
Общее количество пряников, оставшихся у этих троих детей, равно $3 \cdot (x - 5)$.

У двух других детей осталось по $x$ пряников, так как они ничего не ели.
Общее количество пряников у этих двоих детей равно $2 \cdot x$.

По условию, количество оставшихся пряников у первой группы детей равно количеству пряников у второй группы:
$3 \cdot (x - 5) = 2 \cdot x$

Решим это уравнение:
$3x - 15 = 2x$
$3x - 2x = 15$
$x = 15$

Итак, каждый ребёнок получил по 15 пряников.
Всего было роздано: $5 \cdot x = 5 \cdot 15 = 75$ пряников.

Ответ: 75 пряников.

в)

Расстояние между Москвой и Тамбовом $S = 450$ вёрст.
Пусть первый поезд — почтовый (из Москвы), а второй — товарный (из Тамбова).

Второй (товарный) поезд проходит весь путь за $t_2 = 18$ часов.
Его скорость $v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{450}{18} = 25$ вёрст/час.

Первый (почтовый) поезд вдвое быстрее второго.
Его скорость $v_1 = 2 \cdot v_2 = 2 \cdot 25 = 50$ вёрст/час.

Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Скорость сближения:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 50 + 25 = 75$ вёрст/час.

Время до встречи $t_{встр}$ найдём, разделив общее расстояние на скорость сближения:
$t_{встр} = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{450}{75} = 6$ часов.

Ответ: через 6 часов.

г)

Скорость работы дочери: $v_Д = 3$ аршина в день.
Скорость работы матери: $v_М = 5$ аршинов в день.

За первые 4 дня дочь, работая одна, соткала:
$W_{Д1} = v_Д \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12$ аршинов.

Затем к ней присоединилась мать. Пусть они работали вместе $t$ дней. За это время дочь соткала ещё $3t$ аршинов, а мать соткала $5t$ аршинов.

Общее количество ткани, сотканное дочерью, составило $W_Д = 12 + 3t$.
Общее количество ткани, сотканное матерью, составило $W_М = 5t$.

По условию, они прекратили работу, когда количество сотканной ими ткани стало равным:
$W_Д = W_М$
$12 + 3t = 5t$

Решим уравнение, чтобы найти $t$:
$12 = 5t - 3t$
$12 = 2t$
$t = 6$ дней.

Они работали вместе 6 дней. Найдём, сколько каждая из них соткала всего:
Дочь: $W_Д = 12 + 3 \cdot 6 = 12 + 18 = 30$ аршинов.
Мать: $W_М = 5 \cdot 6 = 30$ аршинов.

Вопрос "Сколько соткали они вдвоём?" означает общее количество ткани, произведенной обеими.
$W_{общ} = W_Д + W_М = 30 + 30 = 60$ аршинов.

Ответ: 60 аршинов.