Номер 3.239, страница 129 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Целые числа. Дополнения к главе 3. Занимательные задачи - номер 3.239, страница 129.

Условие.

3.239. Рабочие выполняют разметку автотрассы — рисуют посередине пунктирную линию. Штрихи и расстояния между ними имеют равную длину. На разметку одного километра дороги в среднем уходит 10 кг краски. Сколько краски будет расходоваться на один километр дороги, если штрихи делать в 2 раза длиннее, а расстояния между ними в 2 раза короче, чем сейчас?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения этой задачи определим, какая доля дороги покрывается краской в первом и во втором случаях. Расход краски прямо пропорционален общей длине нарисованных штрихов на одном километре.

Изначально длина штриха и расстояние между штрихами были равны. Обозначим эту длину как $L$. Тогда один полный цикл разметки (штрих + промежуток) имеет длину $L + L = 2L$. Доля закрашенной поверхности на любом участке дороги составляет отношение длины штриха к длине полного цикла: $\frac{L}{2L} = \frac{1}{2}$. Следовательно, на 1 км дороги закрашивалась половина, то есть $1 \text{ км} \times \frac{1}{2} = 0.5$ км. На это уходило 10 кг краски.

Теперь рассмотрим новые условия. Длина штриха стала в 2 раза длиннее, то есть $2L$. Расстояние между штрихами стало в 2 раза короче, то есть $\frac{L}{2}$. Длина нового полного цикла разметки теперь составляет $2L + \frac{L}{2} = \frac{4L + L}{2} = \frac{5L}{2}$. Новая доля закрашенной поверхности дороги равна отношению новой длины штриха к новой длине цикла: $\frac{2L}{\frac{5L}{2}} = \frac{2L \times 2}{5L} = \frac{4}{5}$. Это означает, что теперь на 1 км дороги будет закрашено $1 \text{ км} \times \frac{4}{5} = 0.8$ км.

Мы знаем, что на покраску 0.5 км линии требуется 10 кг краски. Найдем, сколько краски потребуется для 0.8 км линии. Составим пропорцию, где $x$ — новый расход краски:

$\frac{10 \text{ кг}}{0.5 \text{ км}} = \frac{x \text{ кг}}{0.8 \text{ км}}$

Отсюда $x = \frac{10 \times 0.8}{0.5} = \frac{8}{0.5} = 16$ кг.

Ответ: 16 кг.