Страница 129 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.238. Бочку можно наполнить, если в неё налить 6 маленьких, 3 средних и 1 большое ведро воды, или 2 маленьких, 1 среднее и 3 больших ведра воды. А если наполнять бочку только большими вёдрами, сколько их потребуется?

Обозначим объём маленького ведра как $m$, среднего — как $s$, а большого — как $b$. Объём бочки обозначим как $V$.

Исходя из условия задачи, мы можем составить два уравнения для объёма бочки:

1) $V = 6m + 3s + 1b$

2) $V = 2m + 1s + 3b$

Поскольку левые части уравнений равны (обе равны объёму бочки $V$), мы можем приравнять их правые части:

$6m + 3s + 1b = 2m + 1s + 3b$

Теперь упростим это уравнение, чтобы найти соотношение между объёмами вёдер. Перенесём все переменные с $m$ и $s$ в левую часть, а с $b$ — в правую:

$6m - 2m + 3s - 1s = 3b - 1b$

$4m + 2s = 2b$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы получить более простое соотношение:

$2m + s = b$

Это означает, что объём одного большого ведра равен сумме объёмов двух маленьких и одного среднего ведра.

Теперь подставим это соотношение во второе исходное уравнение для объёма бочки, чтобы выразить его только через большие вёдра:

$V = 2m + 1s + 3b$

Мы можем сгруппировать слагаемые: $V = (2m + 1s) + 3b$.

Так как мы выяснили, что $2m + s = b$, заменим выражение в скобках на $b$:

$V = b + 3b$

$V = 4b$

Таким образом, объём бочки равен объёму четырёх больших вёдер. Это означает, что для наполнения бочки потребуется 4 больших ведра.

Ответ: 4.

3.239. Рабочие выполняют разметку автотрассы — рисуют посередине пунктирную линию. Штрихи и расстояния между ними имеют равную длину. На разметку одного километра дороги в среднем уходит 10 кг краски. Сколько краски будет расходоваться на один километр дороги, если штрихи делать в 2 раза длиннее, а расстояния между ними в 2 раза короче, чем сейчас?

Для решения этой задачи определим, какая доля дороги покрывается краской в первом и во втором случаях. Расход краски прямо пропорционален общей длине нарисованных штрихов на одном километре.

Изначально длина штриха и расстояние между штрихами были равны. Обозначим эту длину как $L$. Тогда один полный цикл разметки (штрих + промежуток) имеет длину $L + L = 2L$. Доля закрашенной поверхности на любом участке дороги составляет отношение длины штриха к длине полного цикла: $\frac{L}{2L} = \frac{1}{2}$. Следовательно, на 1 км дороги закрашивалась половина, то есть $1 \text{ км} \times \frac{1}{2} = 0.5$ км. На это уходило 10 кг краски.

Теперь рассмотрим новые условия. Длина штриха стала в 2 раза длиннее, то есть $2L$. Расстояние между штрихами стало в 2 раза короче, то есть $\frac{L}{2}$. Длина нового полного цикла разметки теперь составляет $2L + \frac{L}{2} = \frac{4L + L}{2} = \frac{5L}{2}$. Новая доля закрашенной поверхности дороги равна отношению новой длины штриха к новой длине цикла: $\frac{2L}{\frac{5L}{2}} = \frac{2L \times 2}{5L} = \frac{4}{5}$. Это означает, что теперь на 1 км дороги будет закрашено $1 \text{ км} \times \frac{4}{5} = 0.8$ км.

Мы знаем, что на покраску 0.5 км линии требуется 10 кг краски. Найдем, сколько краски потребуется для 0.8 км линии. Составим пропорцию, где $x$ — новый расход краски:

$\frac{10 \text{ кг}}{0.5 \text{ км}} = \frac{x \text{ кг}}{0.8 \text{ км}}$

Отсюда $x = \frac{10 \times 0.8}{0.5} = \frac{8}{0.5} = 16$ кг.

Ответ: 16 кг.

3.240. Первый землекоп выкопает яму за 20 ч, а второй — за 24 ч. За сколько часов совместной работы они выкопают яму, если при совместной работе производительность труда каждого из них повышается на $ \frac{1}{11} $?

Для решения задачи примем всю работу (выкопать одну яму) за 1. Производительность труда — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

1. Определим первоначальную производительность каждого землекопа.
Производительность первого землекопа ($P_1$), который выполняет всю работу за 20 часов, составляет:
$P_1 = \frac{1}{20}$ ямы/час.
Производительность второго землекопа ($P_2$), который выполняет всю работу за 24 часа, составляет:
$P_2 = \frac{1}{24}$ ямы/час.

2. Рассчитаем новую производительность каждого землекопа с учетом ее повышения.
По условию, при совместной работе производительность каждого из них повышается на $\frac{1}{11}$ от их первоначальной производительности.
Новая производительность первого землекопа ($P_{1\_нов}$):
$P_{1\_нов} = P_1 + P_1 \cdot \frac{1}{11} = P_1 \cdot (1 + \frac{1}{11}) = \frac{1}{20} \cdot \frac{12}{11} = \frac{12}{220} = \frac{3}{55}$ ямы/час.
Новая производительность второго землекопа ($P_{2\_нов}$):
$P_{2\_нов} = P_2 + P_2 \cdot \frac{1}{11} = P_2 \cdot (1 + \frac{1}{11}) = \frac{1}{24} \cdot \frac{12}{11} = \frac{12}{264} = \frac{1}{22}$ ямы/час.

3. Найдем общую производительность при совместной работе.
Общая производительность ($P_{общ}$) равна сумме их новых производительностей:
$P_{общ} = P_{1\_нов} + P_{2\_нов} = \frac{3}{55} + \frac{1}{22}$.
Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 55 и 22 — это 110.
$P_{общ} = \frac{3 \cdot 2}{55 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 5}{22 \cdot 5} = \frac{6}{110} + \frac{5}{110} = \frac{11}{110} = \frac{1}{10}$ ямы/час.

4. Определим время, за которое они выкопают яму вместе.
Время ($t$) находится делением всей работы на общую производительность:
$t = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10$ часов.

Ответ: 10 часов.

3.241. Один рабочий выроет колодец за 150 ч, другой — за 100 ч. А при совместной работе производительность труда каждого из них увеличивается на 25%. За сколько часов совместной работы они выроют колодец?

Для решения задачи примем весь объем работы по рытью колодца за 1.

1. Найдем первоначальную производительность каждого рабочего.

Производительность (скорость выполнения работы) - это объем работы, деленный на время.

Производительность первого рабочего: $P_1 = \frac{1}{150}$ (часть колодца в час).

Производительность второго рабочего: $P_2 = \frac{1}{100}$ (часть колодца в час).

2. Найдем новую производительность каждого рабочего при совместной работе.

По условию, производительность каждого увеличивается на 25%. Это означает, что новая производительность составляет $100\% + 25\% = 125\%$ от первоначальной, то есть в 1,25 раза больше.

Новая производительность первого рабочего: $P'_1 = P_1 \times 1.25 = \frac{1}{150} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{600} = \frac{1}{120}$ (часть колодца в час).

Новая производительность второго рабочего: $P'_2 = P_2 \times 1.25 = \frac{1}{100} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{400} = \frac{1}{80}$ (часть колодца в час).

3. Найдем совместную производительность рабочих.

Для этого сложим их новые производительности:

$P_{совм} = P'_1 + P'_2 = \frac{1}{120} + \frac{1}{80}$

Приведем дроби к общему знаменателю 240:

$P_{совм} = \frac{2}{240} + \frac{3}{240} = \frac{5}{240} = \frac{1}{48}$ (часть колодца в час).

4. Найдем время, за которое рабочие выроют колодец вместе.

Время равно объему работы, деленному на производительность:

$t = \frac{1}{P_{совм}} = \frac{1}{\frac{1}{48}} = 48$ часов.

Ответ: 48 часов.

3.242. В нашем классе есть и любители задач, и любители головоломок. Но треть любителей задач не любит головоломки, а четверть любителей головоломок не любит задачи. Кого у нас больше: любителей задач или любителей головоломок?

Для решения этой задачи давайте введем переменные:

Пусть $З$ — это общее количество любителей задач.

Пусть $Г$ — это общее количество любителей головоломок.

Количество учеников, которые любят и задачи, и головоломки, обозначим как $О$.

По условию, треть любителей задач не любит головоломки. Это значит, что они любят только задачи. Их количество составляет $\frac{1}{3}З$. Следовательно, остальные любители задач любят и головоломки. Их количество составляет:

$О = З - \frac{1}{3}З = \frac{2}{3}З$

Также по условию, четверть любителей головоломок не любит задачи. Это значит, что они любят только головоломки. Их количество составляет $\frac{1}{4}Г$. Следовательно, остальные любители головоломок любят и задачи. Их количество составляет:

$О = Г - \frac{1}{4}Г = \frac{3}{4}Г$

Теперь у нас есть два выражения для $О$ (количества учеников, которые любят и то, и другое). Мы можем их приравнять:

$\frac{2}{3}З = \frac{3}{4}Г$

Чтобы сравнить количество любителей задач ($З$) и любителей головоломок ($Г$), выразим одну переменную через другую. Давайте выразим $З$:

$З = \frac{3}{4}Г \cdot \frac{3}{2}$

$З = \frac{9}{8}Г$

Мы получили, что $З = 1.125 \cdot Г$. Поскольку коэффициент $\frac{9}{8}$ больше единицы, это означает, что $З > Г$.

Ответ: Любителей задач больше, чем любителей головоломок.