Страница 135 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.17. Какое число называют рациональным? Назовите несколько рациональных чисел.

Какое число называют рациональным?

Рациональным числом называют любое число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Другими словами, это все целые числа, обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби. Множество рациональных чисел обозначается символом $\mathbb{Q}$.

• Целые числа: любое целое число $z$ можно представить как дробь со знаменателем 1, например, $5 = \frac{5}{1}$.
• Конечные десятичные дроби: любая такая дробь представима в виде дроби со знаменателем, являющимся степенью 10, например, $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
• Бесконечные периодические дроби: любую такую дробь можно преобразовать в обыкновенную, например, $0,(3) = 0,333... = \frac{1}{3}$.

Ответ: Число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

Назовите несколько рациональных чисел.

Вот несколько примеров рациональных чисел из разных категорий:

• Целые числа: $8, -15, 0$.
• Положительные и отрицательные дроби: $\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, \frac{17}{5}$.
• Конечные десятичные дроби: $0,5; -1,2; 3,14$.
• Бесконечные периодические дроби: $0,(6) = 0,666...$, что равно $\frac{2}{3}$.

Ответ: $8; -15; \frac{1}{2}; 0,5; 0,(6)$.

4.18. Является ли натуральное число рациональным?

Да, любое натуральное число является рациональным. Чтобы доказать это, необходимо обратиться к определениям этих понятий.

Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число (принадлежит множеству целых чисел $Z$), а знаменатель $n$ — натуральное число (принадлежит множеству натуральных чисел $N$).

Натуральные числа — это числа, используемые для счёта: $1, 2, 3, \ldots$

Возьмем любое натуральное число, обозначим его $k$. Мы можем представить его в виде дроби со знаменателем 1: $k = \frac{k}{1}$.

Эта запись полностью соответствует определению рационального числа. Числитель $k$ является натуральным числом, а любое натуральное число также является и целым. Знаменатель 1 является натуральным числом. Следовательно, так как любое натуральное число можно записать в виде дроби, удовлетворяющей определению рационального числа, то оно является рациональным.

Таким образом, множество натуральных чисел $N$ является подмножеством множества рациональных чисел $Q$.

Ответ: Да, является.

4.19 Является ли целое число рациональным?

Да, любое целое число является рациональным.

Согласно определению, рациональным числом называется любое число, которое можно представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $, где $ m $ — целое число, а $ n $ — целое число, не равное нулю ($ n \neq 0 $).

Любое целое число $ z $ можно представить в виде такой дроби, если в качестве знаменателя взять 1:

$ z = \frac{z}{1} $

В этом представлении числитель $ z $ является целым числом (по определению целого числа), а знаменатель 1 также является целым числом и не равен нулю. Следовательно, любое целое число полностью удовлетворяет определению рационального числа.

Например, целое число 5 можно записать как дробь $ \frac{5}{1} $, целое число -23 — как $ \frac{-23}{1} $, а 0 — как $ \frac{0}{1} $. Все эти представления соответствуют виду $ \frac{m}{n} $.

Таким образом, множество всех целых чисел является подмножеством множества всех рациональных чисел.

Ответ: Да, любое целое число является рациональным, поскольку его можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

4.20 Является ли положительная дробь рациональным числом?

Да, любая положительная дробь является рациональным числом. Для того чтобы это доказать, необходимо обратиться к определениям.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), или, в более общем определении, где $q$ — ненулевое целое число ($q \in \mathbb{Z}, q \neq 0$).

Положительная дробь — это дробь вида $\frac{a}{b}$, где числитель $a$ и знаменатель $b$ являются натуральными числами (то есть целыми и положительными).

Теперь сравним определение положительной дроби с определением рационального числа:

1. Числитель положительной дроби $a$ является натуральным числом. Поскольку любое натуральное число также является целым, то $a$ удовлетворяет условию для числителя рационального числа ($a \in \mathbb{Z}$).

2. Знаменатель положительной дроби $b$ является натуральным числом. Это означает, что $b$ — это целое число, не равное нулю. Это удовлетворяет условию для знаменателя рационального числа ($b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$).

Таким образом, любая положительная дробь полностью соответствует определению рационального числа. Множество положительных дробей является подмножеством множества рациональных чисел.

Ответ: Да, является.

4.21. Сформулируйте основное свойство дроби. Приведите пример использования основного свойства дроби для приведения дроби к новому знаменателю.

Сформулируйте основное свойство дроби.

Основное свойство дроби гласит: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число (или любое число, не равное нулю), то получится дробь, равная данной.

Это можно выразить формулой:
$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $
и
$ \frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c} $
(где $b \ne 0$ и $c \ne 0$).

Ответ: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то значение дроби не изменится.

Приведите пример использования основного свойства дроби для приведения дроби к новому знаменателю.

Допустим, необходимо привести дробь $ \frac{3}{7} $ к новому знаменателю 21.

1. Сначала находим дополнительный множитель. Для этого новый знаменатель делим на старый:
$ 21 : 7 = 3 $

2. Затем, согласно основному свойству дроби, умножаем числитель и знаменатель исходной дроби на найденный дополнительный множитель:
$ \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{9}{21} $

Таким образом, дробь $ \frac{3}{7} $ была приведена к знаменателю 21, и в результате получилась равная ей дробь $ \frac{9}{21} $.

Ответ: Пример: чтобы привести дробь $ \frac{3}{7} $ к знаменателю 21, нужно найти дополнительный множитель ($21:7=3$) и умножить на него числитель и знаменатель исходной дроби: $ \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{9}{21} $.

4.92 В каком случае дробь можно сократить? На основании какого свойства сокращают дроби? Приведите примеры.

В каком случае дробь можно сократить? Дробь можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. Иными словами, наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя должен быть больше единицы. Если НОД числителя и знаменателя равен 1 (такие числа называются взаимно простыми), то дробь является несократимой. Ответ: Дробь можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель больше 1.

На основании какого свойства сокращают дроби? Сокращение дробей выполняется на основании основного свойства дроби. Оно гласит, что если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же натуральное число (их общий делитель), то получится равная ей дробь. Математически это свойство для сокращения выглядит так: $ \frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c} $, где $a$ – числитель, $b$ – знаменатель, а $c$ – их общий делитель, отличный от 1. Ответ: Дроби сокращают на основании основного свойства дроби.

Приведите примеры. Рассмотрим дробь $ \frac{12}{18} $. Числитель 12 и знаменатель 18 делятся на 2, на 3 и на 6. Их наибольший общий делитель (НОД) равен 6. Чтобы сократить дробь, разделим ее числитель и знаменатель на 6: $ \frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} $. Еще один пример: дробь $ \frac{25}{35} $. НОД(25, 35) = 5. Сокращаем дробь: $ \frac{25}{35} = \frac{25 \div 5}{35 \div 5} = \frac{5}{7} $. В качестве примера несократимой дроби можно взять $ \frac{9}{16} $. НОД(9, 16) = 1, поэтому у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы, и сократить эту дробь нельзя. Ответ: Примеры сокращения дробей: $ \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $; $ \frac{25}{35} = \frac{5}{7} $. Пример несократимой дроби: $ \frac{9}{16} $.

4.23. В каком случае дробь положительна? отрицательна? Приведите примеры.

В каком случае дробь положительна?

Дробь является положительным числом, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Это правило аналогично правилу деления чисел.

Существует два таких случая:

1. Числитель и знаменатель — положительные числа.
   Пример: в дроби $\frac{5}{7}$ числитель $5 > 0$ и знаменатель $7 > 0$, следовательно, дробь положительна.
2. Числитель и знаменатель — отрицательные числа.
   Пример: в дроби $\frac{-2}{-9}$ числитель $-2 < 0$ и знаменатель $-9 < 0$. При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным, поэтому дробь $\frac{-2}{-9} = \frac{2}{9}$ положительна.

Ответ: Дробь положительна, когда её числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

В каком случае дробь отрицательна?

Дробь является отрицательным числом, если ее числитель и знаменатель имеют разные (противоположные) знаки.

Существует два таких случая:

1. Числитель — отрицательное число, а знаменатель — положительное.
   Пример: в дроби $\frac{-3}{4}$ числитель $-3 < 0$, а знаменатель $4 > 0$, следовательно, дробь отрицательна.
2. Числитель — положительное число, а знаменатель — отрицательное.
   Пример: в дроби $\frac{6}{-11}$ числитель $6 > 0$, а знаменатель $-11 < 0$, следовательно, дробь также отрицательна.

Заметим, что $\frac{-3}{4} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$.

Ответ: Дробь отрицательна, когда её числитель и знаменатель имеют разные знаки.

4.24 Любую ли дробь можно привести к положительному знаменателю?

Да, любую дробь можно привести к положительному знаменателю. Это следует из основного свойства дроби, которое гласит, что если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.

Рассмотрим все возможные случаи для знаменателя дроби $\frac{a}{b}$ (по определению $b \neq 0$):

Знаменатель положителен ($b > 0$)
В этом случае дробь уже имеет положительный знаменатель, и никаких действий не требуется. Например, в дроби $\frac{2}{3}$ знаменатель 3 является положительным числом.

Знаменатель отрицателен ($b < 0$)
В этом случае мы можем умножить и числитель, и знаменатель дроби на $-1$. Согласно основному свойству дроби, ее значение при этом не изменится, но знаменатель станет положительным.
$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot (-1)}{b \cdot (-1)} = \frac{-a}{-b}$
Поскольку исходный знаменатель $b$ был отрицательным ($b < 0$), то новый знаменатель $-b$ будет положительным ($-b > 0$).

Пример 1: Приведем дробь $\frac{5}{-7}$ к положительному знаменателю.
$\frac{5}{-7} = \frac{5 \cdot (-1)}{-7 \cdot (-1)} = \frac{-5}{7}$. Новый знаменатель 7 — положительный.

Пример 2: Приведем дробь $\frac{-4}{-9}$ к положительному знаменателю.
$\frac{-4}{-9} = \frac{-4 \cdot (-1)}{-9 \cdot (-1)} = \frac{4}{9}$. Новый знаменатель 9 — положительный.

Таким образом, любую дробь (знаменатель которой по определению не равен нулю) можно представить в виде, где ее знаменатель является положительным числом.

Ответ: Да, любую дробь можно привести к положительному знаменателю.

4.25. Сократите дроби $\frac{8}{20}$, $\frac{35}{36}$, $\frac{42}{48}$, $\frac{764}{828}$, $\frac{792}{891}$.

Чтобы сократить дробь, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя и разделить на него оба числа.

$\frac{8}{20}$

Найдем наибольший общий делитель для чисел 8 и 20. Разложим их на простые множители:

$8 = 2 \times 2 \times 2$

$20 = 2 \times 2 \times 5$

Общие множители - это $2 \times 2 = 4$. Следовательно, НОД(8, 20) = 4.

Теперь разделим числитель и знаменатель дроби на 4:

$\frac{8}{20} = \frac{8 \div 4}{20 \div 4} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

$\frac{35}{36}$

Найдем НОД для чисел 35 и 36, разложив их на простые множители:

$35 = 5 \times 7$

$36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3$

Числа 35 и 36 не имеют общих простых множителей, кроме 1. Такие числа называются взаимно простыми. Следовательно, данная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{35}{36}$

$\frac{42}{48}$

Найдем НОД для чисел 42 и 48, разложив их на простые множители:

$42 = 2 \times 3 \times 7$

$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$

Общие множители - это 2 и 3. Таким образом, НОД(42, 48) = $2 \times 3 = 6$.

Разделим числитель и знаменатель дроби на 6:

$\frac{42}{48} = \frac{42 \div 6}{48 \div 6} = \frac{7}{8}$

Ответ: $\frac{7}{8}$

$\frac{764}{828}$

Для сокращения этой дроби найдем общий делитель для числителя 764 и знаменателя 828. Оба числа четные, поэтому они делятся на 2.

$\frac{764}{828} = \frac{764 \div 2}{828 \div 2} = \frac{382}{414}$

Полученные числа 382 и 414 также являются четными, поэтому сократим дробь еще раз на 2.

$\frac{382}{414} = \frac{382 \div 2}{414 \div 2} = \frac{191}{207}$

Проверим, можно ли сократить дробь $\frac{191}{207}$ дальше. Число 191 является простым. Разложим на множители знаменатель: $207 = 9 \times 23$. Так как у чисел 191 и 207 нет общих делителей (кроме 1), дробь несократима.

Ответ: $\frac{191}{207}$

$\frac{792}{891}$

Найдем общий делитель для числителя 792 и знаменателя 891. Воспользуемся признаком делимости на 9: если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Сумма цифр числителя: $7+9+2=18$. 18 делится на 9, значит и 792 делится на 9.

Сумма цифр знаменателя: $8+9+1=18$. 18 делится на 9, значит и 891 делится на 9.

Сократим дробь на 9:

$\frac{792}{891} = \frac{792 \div 9}{891 \div 9} = \frac{88}{99}$

Теперь видно, что и числитель 88, и знаменатель 99 делятся на 11.

Сократим дробь на 11:

$\frac{88}{99} = \frac{88 \div 11}{99 \div 11} = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$