Страница 133 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.13. Запишите дроби $\frac{-2}{7}$, $\frac{-6}{11}$, $\frac{-2}{13}$, $\frac{5}{-7}$, $\frac{4}{-9}$, $\frac{12}{-7}$ так, чтобы знак «-» стоял перед чертой дроби.

Для того чтобы записать дроби так, чтобы знак «-» стоял перед чертой дроби, необходимо воспользоваться следующим свойством: для любых чисел $a$ и $b$ (где $b \neq 0$) верны равенства:
$\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$
Это означает, что если в дроби либо числитель, либо знаменатель является отрицательным числом, то знак минус можно вынести перед всей дробью.

$\frac{-2}{7}$
В данной дроби числитель отрицательный. Выносим знак минус перед дробью:
$\frac{-2}{7} = -\frac{2}{7}$
Ответ: $-\frac{2}{7}$

$\frac{-6}{11}$
В данной дроби числитель отрицательный. Выносим знак минус перед дробью:
$\frac{-6}{11} = -\frac{6}{11}$
Ответ: $-\frac{6}{11}$

$\frac{-2}{13}$
В данной дроби числитель отрицательный. Выносим знак минус перед дробью:
$\frac{-2}{13} = -\frac{2}{13}$
Ответ: $-\frac{2}{13}$

$\frac{5}{-7}$
В данной дроби знаменатель отрицательный. Выносим знак минус перед дробью:
$\frac{5}{-7} = -\frac{5}{7}$
Ответ: $-\frac{5}{7}$

$\frac{4}{-9}$
В данной дроби знаменатель отрицательный. Выносим знак минус перед дробью:
$\frac{4}{-9} = -\frac{4}{9}$
Ответ: $-\frac{4}{9}$

$\frac{12}{-7}$
В данной дроби знаменатель отрицательный. Выносим знак минус перед дробью:
$\frac{12}{-7} = -\frac{12}{7}$
Ответ: $-\frac{12}{7}$

4.14. Равны ли дроби:

а) $-\frac{2}{3}$ и $\frac{-2}{3}$;

б) $\frac{-5}{8}$ и $-\frac{5}{8}$;

в) $\frac{4}{9}$ и $\frac{-4}{9}$;

г) $-\frac{5}{7}$ и $\frac{5}{7}$?

а) Чтобы определить, равны ли дроби $-\frac{2}{3}$ и $\frac{-2}{3}$, необходимо вспомнить правило записи отрицательных дробей. Знак "минус" может стоять перед дробью, в числителе или в знаменателе, и это будет означать одно и то же число. Существует тождество: $-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$. В данном случае дроби $-\frac{2}{3}$ и $\frac{-2}{3}$ являются двумя разными формами записи одного и того же числа.
Ответ: да, дроби равны.

б) Сравниваем дроби $\frac{-5}{8}$ и $-\frac{5}{8}$. Как и в предыдущем пункте, это две разные формы записи одного и того же отрицательного числа. В первой дроби знак "минус" находится в числителе, а во второй — перед дробью. Согласно правилу, $\frac{-a}{b} = -\frac{a}{b}$, следовательно, $\frac{-5}{8} = -\frac{5}{8}$.
Ответ: да, дроби равны.

в) Сравниваем дроби $\frac{4}{9}$ и $\frac{-4}{9}$. Дробь $\frac{4}{9}$ является положительным числом, так как и числитель, и знаменатель положительны. Дробь $\frac{-4}{9}$ является отрицательным числом, так как ее числитель отрицателен, а знаменатель положителен (частное от деления отрицательного числа на положительное есть число отрицательное). Положительное число не может быть равно отрицательному.
Ответ: нет, дроби не равны.

г) Сравниваем дроби $-\frac{5}{7}$ и $\frac{5}{7}$. Первая дробь, $-\frac{5}{7}$, является отрицательным числом. Вторая дробь, $\frac{5}{7}$, является положительным числом. Эти числа являются противоположными. Они не равны друг другу.
Ответ: нет, дроби не равны.

4.15. Найдите модуль числа:

а) $-\frac{1}{2}$;

б) $\frac{-2}{3}$;

в) $\frac{3}{4}$;

г) $\frac{5}{-9}$;

д) $0$;

е) $-\frac{5}{4}$.

Модуль (или абсолютная величина) числа — это его значение без учёта знака. Геометрически модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Модуль числа $x$ обозначается как $|x|$ и определяется следующим образом:
- если $x \ge 0$, то $|x| = x$;
- если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Применяя это определение, найдем модули заданных чисел.

а) Найдем модуль числа $-\frac{1}{2}$.
Число $-\frac{1}{2}$ является отрицательным, поэтому его модуль равен противоположному ему положительному числу.
$|-\frac{1}{2}| = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Найдем модуль числа $\frac{-2}{3}$.
Число $\frac{-2}{3}$ эквивалентно $-\frac{2}{3}$, оно отрицательное. Его модуль равен противоположному ему положительному числу.
$|\frac{-2}{3}| = |-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

в) Найдем модуль числа $\frac{3}{4}$.
Число $\frac{3}{4}$ является положительным, поэтому его модуль равен самому числу.
$|\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

г) Найдем модуль числа $\frac{5}{-9}$.
Число $\frac{5}{-9}$ эквивалентно $-\frac{5}{9}$, оно отрицательное. Его модуль равен противоположному ему положительному числу.
$|\frac{5}{-9}| = |-\frac{5}{9}| = \frac{5}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{9}$

д) Найдем модуль числа 0.
Модуль нуля по определению равен нулю.
$|0| = 0$.
Ответ: 0

е) Найдем модуль числа $-\frac{5}{4}$.
Число $-\frac{5}{4}$ является отрицательным, поэтому его модуль равен противоположному ему положительному числу.
$|-\frac{5}{4}| = \frac{5}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{4}$

4.16. Вычислите:

а) $|-\frac{1}{2}| + |\frac{1}{2}|;$

б) $|\frac{2}{3}| + |-\frac{1}{3}|;$

в) $|-\frac{13}{23}| - |\frac{13}{23}|;$

г) $|-3\frac{2}{3}| - |-2\frac{2}{3}|;$

д) $|-3\frac{1}{3}| \cdot |-2\frac{2}{5}|;$

е) $|2\frac{3}{5}| : |-5\frac{1}{5}|.$

а) Модуль числа — это его значение без знака. Таким образом, $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ и $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Выполним сложение полученных значений:
$|-\frac{1}{2}| + |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: 1

б) Сначала найдем модули чисел: $|\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$ и $|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$. Теперь сложим их:
$|\frac{2}{3}| + |-\frac{1}{3}| = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2+1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
Ответ: 1

в) Найдем модули чисел: $|-\frac{13}{23}| = \frac{13}{23}$ и $|\frac{13}{23}| = \frac{13}{23}$. Теперь выполним вычитание:
$|-\frac{13}{23}| - |\frac{13}{23}| = \frac{13}{23} - \frac{13}{23} = 0$.
Ответ: 0

г) Найдем модули смешанных чисел: $|-3\frac{2}{3}| = 3\frac{2}{3}$ и $|-2\frac{2}{3}| = 2\frac{2}{3}$. Выполним вычитание:
$|-3\frac{2}{3}| - |-2\frac{2}{3}| = 3\frac{2}{3} - 2\frac{2}{3} = (3-2) + (\frac{2}{3} - \frac{2}{3}) = 1 + 0 = 1$.
Ответ: 1

д) Найдем модули чисел: $|-3\frac{1}{3}| = 3\frac{1}{3}$ и $|-2\frac{2}{5}| = 2\frac{2}{5}$. Для выполнения умножения переведем смешанные числа в неправильные дроби: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$ и $2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$. Теперь умножим дроби:
$|-3\frac{1}{3}| \cdot |-2\frac{2}{5}| = \frac{10}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{10 \cdot 12}{3 \cdot 5} = \frac{120}{15} = 8$.
Ответ: 8

е) Найдем модули чисел: $|2\frac{3}{5}| = 2\frac{3}{5}$ и $|-5\frac{1}{5}| = 5\frac{1}{5}$. Для выполнения деления переведем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$ и $5\frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{26}{5}$. Теперь разделим дроби (деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь):
$|2\frac{3}{5}| : |-5\frac{1}{5}| = \frac{13}{5} : \frac{26}{5} = \frac{13}{5} \cdot \frac{5}{26} = \frac{13 \cdot 5}{5 \cdot 26} = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$