Страница 137 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.35. Равны ли рациональные числа:

а) $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{-8}{-32} $;

б) $ \frac{-75}{100} $ и $ \frac{3}{-4} $;

в) $ \frac{24}{-40} $ и $ \frac{-27}{45} $;

г) $ \frac{-77}{-88} $ и $ \frac{63}{72} $?

а) Чтобы определить, равны ли числа $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{-8}{-32} $, упростим вторую дробь. Поскольку и числитель, и знаменатель отрицательны, дробь является положительным числом: $ \frac{-8}{-32} = \frac{8}{32} $. Теперь сократим дробь $ \frac{8}{32} $, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 8. $ \frac{8 \div 8}{32 \div 8} = \frac{1}{4} $. Так как $ \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $, числа равны.
Ответ: да.

б) Сравним числа $ \frac{-75}{100} $ и $ \frac{3}{-4} $. Сначала упростим первую дробь, сократив ее на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, который равен 25. $ \frac{-75}{100} = \frac{-75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{-3}{4} $. Вторую дробь $ \frac{3}{-4} $ можно записать как $ -\frac{3}{4} $ или $ \frac{-3}{4} $. Таким образом, оба числа равны $ \frac{-3}{4} $, следовательно, они равны между собой.
Ответ: да.

в) Рассмотрим числа $ \frac{24}{-40} $ и $ \frac{-27}{45} $. Упростим каждую дробь, приведя ее к несократимому виду. Для первой дроби $ \frac{24}{-40} = -\frac{24}{40} $. Наибольший общий делитель чисел 24 и 40 равен 8. $ -\frac{24 \div 8}{40 \div 8} = -\frac{3}{5} $. Для второй дроби $ \frac{-27}{45} = -\frac{27}{45} $. Наибольший общий делитель чисел 27 и 45 равен 9. $ -\frac{27 \div 9}{45 \div 9} = -\frac{3}{5} $. Обе дроби равны $ -\frac{3}{5} $, значит, исходные числа равны.
Ответ: да.

г) Сравним числа $ \frac{-77}{-88} $ и $ \frac{63}{72} $. Упростим каждую дробь. Первая дробь $ \frac{-77}{-88} $ является положительной, так как числитель и знаменатель отрицательны: $ \frac{77}{88} $. Сократим ее на 11 (наибольший общий делитель). $ \frac{77 \div 11}{88 \div 11} = \frac{7}{8} $. Вторая дробь $ \frac{63}{72} $. Сократим ее на 9 (наибольший общий делитель). $ \frac{63 \div 9}{72 \div 9} = \frac{7}{8} $. Поскольку обе дроби приводятся к виду $ \frac{7}{8} $, исходные числа равны.
Ответ: да.

4.36. Запишите в виде целого числа дробь:

а) $\frac{2}{1}$;

б) $\frac{-13}{1}$;

в) $\frac{0}{2}$;

г) $\frac{-14}{7}$;

д) $\frac{-32}{-4}$;

е) $\frac{44}{-11}$.

а) Чтобы записать дробь в виде целого числа, нужно разделить числитель на знаменатель. В данном случае делим 2 на 1. Любое число, деленное на 1, равно самому себе. $ \frac{2}{1} = 2 \div 1 = 2 $. Ответ: 2

б) Делим числитель -13 на знаменатель 1. Любое число, деленное на 1, равно самому себе. $ \frac{-13}{1} = -13 \div 1 = -13 $. Ответ: -13

в) Делим числитель 0 на знаменатель 2. Ноль, деленный на любое число, не равное нулю, равен нулю. $ \frac{0}{2} = 0 \div 2 = 0 $. Ответ: 0

г) Делим числитель -14 на знаменатель 7. При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным. $ \frac{-14}{7} = -14 \div 7 = -2 $. Ответ: -2

д) Делим числитель -32 на знаменатель -4. При делении отрицательного числа на отрицательное, результат будет положительным. $ \frac{-32}{-4} = -32 \div (-4) = 8 $. Ответ: 8

е) Делим числитель 44 на знаменатель -11. При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным. $ \frac{44}{-11} = 44 \div (-11) = -4 $. Ответ: -4

4.37. Даны рациональные числа:

-$ \frac{17}{9} $ $ \frac{37}{-48} $ $ \frac{-15}{-5} $ $ \frac{0}{-7} $ $ \frac{-17}{-1} $ $ \frac{16}{-8} $ $ \frac{-46}{-23} $ $ \frac{-20}{-30} $

Выпишите числа, являющиеся:

а) натуральными;

б) целыми.

Чтобы определить, какие из данных чисел являются натуральными или целыми, сначала упростим каждое из них:

$-\frac{17}{9}$ — не является целым числом, так как 17 не делится на 9 без остатка.

$\frac{37}{-48} = -\frac{37}{48}$ — не является целым числом.

$\frac{-15}{-5} = 3$ — является натуральным и целым числом.

$\frac{0}{-7} = 0$ — является целым числом.

$\frac{-17}{-1} = 17$ — является натуральным и целым числом.

$\frac{16}{-8} = -2$ — является целым числом.

$-\frac{46}{-23} = -(-2) = 2$ — является натуральным и целым числом.

$-\frac{20}{-30} = -(-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$ — не является целым числом.

а) натуральными

Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов: 1, 2, 3 и так далее. Они являются целыми и положительными. Из представленного списка натуральными числами являются 3, 17 и 2. В исходном виде это:

Ответ: $ \frac{-15}{-5} $; $ \frac{-17}{-1} $; $ -\frac{46}{-23} $.

б) целыми

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и ноль: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Из представленного списка целыми числами являются 3, 0, 17, -2 и 2. В исходном виде это:

Ответ: $ \frac{-15}{-5} $; $ \frac{0}{-7} $; $ \frac{-17}{-1} $; $ \frac{16}{-8} $; $ -\frac{46}{-23} $.

4.38. Найдите равные среди рациональных чисел:

$\frac{3}{9}$, $\frac{-5}{-10}$, $\frac{4}{-8}$, $\frac{-25}{50}$, $\frac{0}{100}$, $\frac{17}{34}$, $\frac{0}{-72}$, $\frac{100}{-300}$.

Чтобы найти равные рациональные числа, нужно упростить каждую дробь, приведя её к несократимому виду, и затем сравнить полученные значения.

Первая группа равных чисел

Рассмотрим дроби $ \frac{-5}{-10} $ и $ \frac{17}{34} $.

Упростим первую дробь: $ \frac{-5}{-10} $. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное, поэтому дробь равна $ \frac{5}{10} $. Сократим числитель и знаменатель на 5: $ \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2} $.

Упростим вторую дробь: $ \frac{17}{34} $. Сократим числитель и знаменатель на 17: $ \frac{17 \div 17}{34 \div 17} = \frac{1}{2} $.

Так как $ \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2} $ и $ \frac{17}{34} = \frac{1}{2} $, эти дроби равны.

Ответ: $ \frac{-5}{-10} = \frac{17}{34} $.

Вторая группа равных чисел

Рассмотрим дроби $ \frac{4}{-8} $ и $ \frac{-25}{50} $.

Упростим первую дробь: $ \frac{4}{-8} $. Дробь отрицательная, ее можно записать как $ -\frac{4}{8} $. Сократим числитель и знаменатель на 4: $ -\frac{4 \div 4}{8 \div 4} = -\frac{1}{2} $.

Упростим вторую дробь: $ \frac{-25}{50} $. Дробь отрицательная, ее можно записать как $ -\frac{25}{50} $. Сократим числитель и знаменатель на 25: $ -\frac{25 \div 25}{50 \div 25} = -\frac{1}{2} $.

Так как $ \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2} $ и $ \frac{-25}{50} = -\frac{1}{2} $, эти дроби равны.

Ответ: $ \frac{4}{-8} = \frac{-25}{50} $.

Третья группа равных чисел

Рассмотрим дроби $ \frac{0}{100} $ и $ \frac{0}{-72} $.

Любая дробь, у которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, равна нулю.

$ \frac{0}{100} = 0 $

$ \frac{0}{-72} = 0 $

Следовательно, эти дроби равны.

Ответ: $ \frac{0}{100} = \frac{0}{-72} $.

Остальные дроби, $ \frac{3}{9} $ и $ \frac{100}{-300} $, после упрощения дают $ \frac{1}{3} $ и $ -\frac{1}{3} $ соответственно. Они не равны ни друг другу, ни каким-либо другим дробям из списка.

4.39. Запишите три дроби с положительным знаменателем, равные числу:

а) 5;

б) -2;

в) -28;

г) 0.

Чтобы представить любое целое число в виде дроби с положительным знаменателем, можно записать это число в числитель, а в знаменатель — 1. Чтобы получить другие равные дроби, нужно умножить числитель и знаменатель на одно и то же положительное целое число. Это основное свойство дроби: $a = \frac{a}{1} = \frac{a \cdot k}{1 \cdot k}$ для любого положительного целого $k$.

а) 5

Чтобы записать три дроби, равные числу 5, будем последовательно умножать числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{1}$ на разные положительные целые числа.

1. Самый простой способ — представить число 5 как дробь со знаменателем 1: $5 = \frac{5}{1}$.

2. Умножим числитель и знаменатель на 2: $\frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{10}{2}$.

3. Умножим числитель и знаменатель на 3: $\frac{5 \cdot 3}{1 \cdot 3} = \frac{15}{3}$.

Все три дроби имеют положительные знаменатели и равны 5.

Ответ: $\frac{5}{1}, \frac{10}{2}, \frac{15}{3}$.

б) -2

Аналогично, представим число -2 в виде дроби и будем находить равные ей дроби.

1. Представим -2 как дробь со знаменателем 1: $-2 = \frac{-2}{1}$.

2. Умножим числитель и знаменатель на 2: $\frac{-2 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{-4}{2}$.

3. Умножим числитель и знаменатель на 5: $\frac{-2 \cdot 5}{1 \cdot 5} = \frac{-10}{5}$.

Все три дроби имеют положительные знаменатели и равны -2.

Ответ: $\frac{-2}{1}, \frac{-4}{2}, \frac{-10}{5}$.

в) -28

Применим тот же метод для числа -28.

1. Представим -28 как дробь со знаменателем 1: $-28 = \frac{-28}{1}$.

2. Умножим числитель и знаменатель на 2: $\frac{-28 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{-56}{2}$.

3. Умножим числитель и знаменатель на 10: $\frac{-28 \cdot 10}{1 \cdot 10} = \frac{-280}{10}$.

Все три дроби имеют положительные знаменатели и равны -28.

Ответ: $\frac{-28}{1}, \frac{-56}{2}, \frac{-280}{10}$.

г) 0

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. По условию, знаменатель должен быть положительным. Значит, мы можем выбрать любое положительное целое число для знаменателя.

1. Выберем знаменатель 1: $\frac{0}{1}$.

2. Выберем знаменатель 7: $\frac{0}{7}$.

3. Выберем знаменатель 42: $\frac{0}{42}$.

Все эти дроби равны 0 и имеют положительные знаменатели.

Ответ: $\frac{0}{1}, \frac{0}{7}, \frac{0}{42}$.

4.40. Является ли дробь положительной, отрицательной:

а) $ \frac{3}{5} $;

б) $ \frac{-5}{9} $;

в) $ \frac{4}{-3} $;

г) $ \frac{0}{-1} $;

д) $ \frac{-6}{-8} $;

е) $ -\frac{1}{3} $;

ж) $ -\frac{7}{9} $;

з) $ \frac{-9}{17} $?

а) Чтобы определить знак дроби $\frac{3}{5}$, нужно посмотреть на знаки её числителя и знаменателя. Числитель $3$ является положительным числом, и знаменатель $5$ также является положительным числом. Если числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные), то дробь является положительной.
Ответ: положительная.

б) В дроби $\frac{-5}{9}$ числитель $-5$ является отрицательным числом, а знаменатель $9$ — положительным. Если числитель и знаменатель дроби имеют разные знаки, то дробь является отрицательной.
Ответ: отрицательная.

в) В дроби $\frac{4}{-3}$ числитель $4$ — положительное число, а знаменатель $-3$ — отрицательное. Так как знаки числителя и знаменателя различны, дробь является отрицательной.
Ответ: отрицательная.

г) В дроби $\frac{0}{-1}$ числитель равен нулю. Если числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю, то значение всей дроби равно нулю. Число $0$ не является ни положительным, ни отрицательным.
Ответ: не является ни положительной, ни отрицательной.

д) В дроби $\frac{-6}{-8}$ числитель $-6$ — отрицательное число, и знаменатель $-8$ — также отрицательное число. Поскольку знаки числителя и знаменателя одинаковы, дробь является положительной. $\frac{-6}{-8} = \frac{6}{8}$.
Ответ: положительная.

е) Выражение $-\frac{1}{3}$ представляет собой дробь $\frac{1}{3}$ со знаком минус перед ней. Дробь $\frac{1}{3}$ положительна, а знак минус делает всё выражение отрицательным. Это то же самое, что и $\frac{-1}{3}$.
Ответ: отрицательная.

ж) Выражение $-\frac{7}{9}$ аналогично предыдущему. Знак минус перед положительной дробью $\frac{7}{9}$ делает всё выражение отрицательным.
Ответ: отрицательная.

з) В дроби $\frac{-9}{17}$ числитель $-9$ является отрицательным числом, а знаменатель $17$ — положительным. Так как числитель и знаменатель имеют разные знаки, дробь является отрицательной.
Ответ: отрицательная.

4.41. Назовите и запишите дробь, противоположную дроби:

а) $-\frac{1}{5}$;

б) $-\frac{1}{3}$;

в) $\frac{4}{7}$;

г) $-\frac{5}{6}$;

д) $-\frac{7}{8}$;

е) $\frac{-1}{-3}$.

Противоположными называются числа, которые отличаются только знаком. Сумма противоположных чисел равна нулю. Чтобы найти дробь, противоположную данной, нужно изменить ее знак на противоположный.

а) Дана дробь $-\frac{1}{5}$. Это отрицательное число. Противоположным для него будет положительное число с тем же модулем. Чтобы найти противоположную дробь, нужно поменять знак с минуса на плюс.

$-(-\frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) Дана дробь $\frac{-1}{3}$, что эквивалентно записи $-\frac{1}{3}$. Это отрицательное число. Противоположной для нее будет дробь с противоположным знаком (положительная).

$-(\frac{-1}{3}) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) Дана дробь $\frac{4}{7}$. Это положительное число. Противоположной для нее будет дробь с противоположным знаком, то есть отрицательная дробь.

$-\frac{4}{7}$.

Ответ: $-\frac{4}{7}$.

г) Дана дробь $-\frac{5}{6}$. Это отрицательное число. Противоположной для нее будет дробь с противоположным, то есть положительным, знаком.

$-(-\frac{5}{6}) = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$.

д) Дана дробь $-\frac{7}{8}$. Это отрицательное число. Противоположной для нее будет дробь с противоположным знаком.

$-(-\frac{7}{8}) = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$.

е) Дана дробь $\frac{-1}{-3}$. Сначала упростим данную дробь. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число:

$\frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем дробь, противоположную полученной дроби $\frac{1}{3}$. Это будет отрицательная дробь с тем же модулем.

$-\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

4.42. Одинаковые или разные знаки имеют числа m и n ($mn \neq 0$), если верно равенство:

a) $\left|\frac{m}{n}\right|=\frac{m}{n}$;

б) $\left|\frac{m}{n}\right|=-\frac{m}{n}$?

а)

Рассмотрим равенство $|\frac{m}{n}| = \frac{m}{n}$.

По определению модуля (абсолютной величины), равенство $|x| = x$ верно тогда и только тогда, когда число $x$ является неотрицательным, то есть $x \ge 0$.

В нашем случае роль $x$ играет дробь $\frac{m}{n}$. Следовательно, данное в условии равенство выполняется, если $\frac{m}{n} \ge 0$.

По условию задачи $mn \neq 0$, что означает, что ни $m$, ни $n$ не равны нулю. Поэтому их частное $\frac{m}{n}$ также не может быть равно нулю. Таким образом, остается только одно условие: $\frac{m}{n} > 0$.

Дробь положительна в том случае, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. То есть, либо оба числа $m$ и $n$ положительны ($m > 0$ и $n > 0$), либо оба отрицательны ($m < 0$ и $n < 0$).

В обоих случаях числа $m$ и $n$ имеют одинаковые знаки.

Ответ: одинаковые знаки.

б)

Рассмотрим равенство $|\frac{m}{n}| = -\frac{m}{n}$.

По определению модуля (абсолютной величины), равенство $|x| = -x$ верно тогда и только тогда, когда число $x$ является неположительным, то есть $x \le 0$.

В данном случае $x = \frac{m}{n}$. Следовательно, равенство из условия выполняется, если $\frac{m}{n} \le 0$.

Так как по условию $mn \neq 0$, то $m \neq 0$ и $n \neq 0$, а значит и дробь $\frac{m}{n}$ не может быть равна нулю. Таким образом, остается только одно условие: $\frac{m}{n} < 0$.

Дробь отрицательна в том случае, когда ее числитель и знаменатель имеют разные (противоположные) знаки. То есть, либо $m > 0$ и $n < 0$, либо $m < 0$ и $n > 0$.

В обоих случаях числа $m$ и $n$ имеют разные знаки.

Ответ: разные знаки.