Страница 144 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.80. a) $-\frac{1}{5} + \frac{3}{10} - \frac{7}{20}$;

б) $-\frac{3}{20} - \frac{7}{30} + \frac{2}{40}$;

в) $\frac{11}{60} - \frac{23}{30} - \frac{17}{20}$.

а) $-\frac{1}{5} + \frac{3}{10} - \frac{7}{20}$

Чтобы выполнить сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 5, 10 и 20 равен 20, так как 20 делится без остатка на 5, 10 и 20.

Приведем каждую дробь к знаменателю 20, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:

Для дроби $-\frac{1}{5}$ дополнительный множитель равен $20 \div 5 = 4$. Получаем: $-\frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = -\frac{4}{20}$.

Для дроби $\frac{3}{10}$ дополнительный множитель равен $20 \div 10 = 2$. Получаем: $\frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{6}{20}$.

Дробь $-\frac{7}{20}$ уже имеет знаменатель 20.

Теперь выполним действия с дробями с одинаковыми знаменателями:

$-\frac{4}{20} + \frac{6}{20} - \frac{7}{20} = \frac{-4 + 6 - 7}{20} = \frac{2 - 7}{20} = \frac{-5}{20}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5:

$\frac{-5}{20} = -\frac{5 \div 5}{20 \div 5} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

б) $-\frac{3}{20} - \frac{7}{30} + \frac{2}{40}$

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 20, 30 и 40. Для этого разложим их на простые множители:

$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

$40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$

НОЗ(20, 30, 40) будет произведением всех простых множителей в их наибольшей степени: $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.

Приведем дроби к знаменателю 120:

Для дроби $-\frac{3}{20}$ дополнительный множитель равен $120 \div 20 = 6$. Получаем: $-\frac{3 \cdot 6}{20 \cdot 6} = -\frac{18}{120}$.

Для дроби $-\frac{7}{30}$ дополнительный множитель равен $120 \div 30 = 4$. Получаем: $-\frac{7 \cdot 4}{30 \cdot 4} = -\frac{28}{120}$.

Для дроби $\frac{2}{40}$ дополнительный множитель равен $120 \div 40 = 3$. Получаем: $\frac{2 \cdot 3}{40 \cdot 3} = \frac{6}{120}$.

Выполним действия:

$-\frac{18}{120} - \frac{28}{120} + \frac{6}{120} = \frac{-18 - 28 + 6}{120} = \frac{-46 + 6}{120} = \frac{-40}{120}$

Сократим результат, разделив числитель и знаменатель на 40:

$\frac{-40}{120} = -\frac{40 \div 40}{120 \div 40} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

в) $\frac{11}{60} - \frac{23}{30} - \frac{17}{20}$

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 60, 30 и 20. НОЗ(60, 30, 20) = 60, так как 60 делится на 30 и 20.

Приведем дроби к знаменателю 60:

Дробь $\frac{11}{60}$ уже имеет нужный знаменатель.

Для дроби $-\frac{23}{30}$ дополнительный множитель равен $60 \div 30 = 2$. Получаем: $-\frac{23 \cdot 2}{30 \cdot 2} = -\frac{46}{60}$.

Для дроби $-\frac{17}{20}$ дополнительный множитель равен $60 \div 20 = 3$. Получаем: $-\frac{17 \cdot 3}{20 \cdot 3} = -\frac{51}{60}$.

Выполним вычитание:

$\frac{11}{60} - \frac{46}{60} - \frac{51}{60} = \frac{11 - 46 - 51}{60} = \frac{-35 - 51}{60} = \frac{-86}{60}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{-86}{60} = -\frac{86 \div 2}{60 \div 2} = -\frac{43}{30}$

Данную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $-\frac{43}{30} = -1\frac{13}{30}$.

Ответ: $-\frac{43}{30}$

4.81. Найдите число x, для которого верно равенство:

а) $x + \frac{1}{8} = -\frac{5}{8};$

б) $\frac{1}{7} + x = -\frac{3}{7};$

в) $x - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2};$

г) $x - \frac{1}{6} = \frac{1}{3};$

д) $\frac{2}{3} - x = -\frac{1}{7};$

е) $\frac{1}{6} - x = -\frac{4}{9}.$

а) Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $(-\frac{5}{8})$ вычесть известное слагаемое $(\frac{1}{8})$.
$x + \frac{1}{8} = -\frac{5}{8}$
$x = -\frac{5}{8} - \frac{1}{8}$
$x = \frac{-5 - 1}{8}$
$x = -\frac{6}{8}$
Сократим дробь на 2:
$x = -\frac{3}{4}$
Ответ: $-\frac{3}{4}$

б) Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $(-\frac{3}{7})$ вычесть известное слагаемое $(\frac{1}{7})$.
$\frac{1}{7} + x = -\frac{3}{7}$
$x = -\frac{3}{7} - \frac{1}{7}$
$x = \frac{-3 - 1}{7}$
$x = -\frac{4}{7}$
Ответ: $-\frac{4}{7}$

в) Чтобы найти уменьшаемое $x$, нужно к разности $(-\frac{1}{2})$ прибавить вычитаемое $(\frac{1}{4})$.
$x - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}$
$x = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$
Приведем дроби к общему знаменателю 4:
$x = -\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} + \frac{1}{4}$
$x = \frac{-2 + 1}{4}$
$x = -\frac{1}{4}$
Ответ: $-\frac{1}{4}$

г) Чтобы найти уменьшаемое $x$, нужно к разности $(\frac{1}{3})$ прибавить вычитаемое $(\frac{1}{6})$.
$x - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$
$x = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$x = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6}$
$x = \frac{2 + 1}{6}$
$x = \frac{3}{6}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

д) Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого $(\frac{2}{3})$ вычесть разность $(-\frac{1}{7})$.
$\frac{2}{3} - x = -\frac{1}{7}$
$x = \frac{2}{3} - (-\frac{1}{7})$
$x = \frac{2}{3} + \frac{1}{7}$
Приведем дроби к общему знаменателю 21:
$x = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{14}{21} + \frac{3}{21}$
$x = \frac{14 + 3}{21}$
$x = \frac{17}{21}$
Ответ: $\frac{17}{21}$

е) Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого $(\frac{1}{6})$ вычесть разность $(-\frac{4}{9})$.
$\frac{1}{6} - x = -\frac{4}{9}$
$x = \frac{1}{6} - (-\frac{4}{9})$
$x = \frac{1}{6} + \frac{4}{9}$
Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю 18:
$x = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{3}{18} + \frac{8}{18}$
$x = \frac{3 + 8}{18}$
$x = \frac{11}{18}$
Ответ: $\frac{11}{18}$

4.82. Найдите число, которое:

а) на $\frac{1}{2}$ больше числа $-\frac{1}{2}$;

б) на $\frac{1}{4}$ меньше числа $\frac{1}{6}$.

а) Чтобы найти число, которое на $\frac{1}{2}$ больше числа $-\frac{1}{2}$, необходимо к числу $-\frac{1}{2}$ прибавить $\frac{1}{2}$. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю.

$-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Ответ: 0

б) Чтобы найти число, которое на $\frac{1}{4}$ меньше числа $\frac{1}{6}$, необходимо из числа $\frac{1}{6}$ вычесть $\frac{1}{4}$.

Для вычитания дробей с разными знаменателями, сначала приведем их к наименьшему общему знаменателю. Для чисел 6 и 4 наименьший общий знаменатель равен 12.

Приведем каждую дробь к знаменателю 12:

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{2}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2 - 3}{12} = -\frac{1}{12}$

Ответ: $-\frac{1}{12}$

4.83. Запишите разность дробей в виде равной ей суммы дробей:

a) $\frac{1}{3} - \frac{4}{3}$;

б) $-\frac{1}{5} - \frac{1}{5}$;

в) $\frac{-4}{7} - \frac{-8}{7}$.

а) Чтобы записать разность дробей в виде равной ей суммы, необходимо заменить операцию вычитания на операцию сложения с числом, противоположным вычитаемому. В данном случае вычитаемое равно $\frac{4}{3}$, а противоположное ему число — $(-\frac{4}{3})$.

Таким образом, разность можно записать в виде следующей суммы:

$\frac{1}{3} - \frac{4}{3} = \frac{1}{3} + (-\frac{4}{3})$

Ответ: $\frac{1}{3} + (-\frac{4}{3})$.

б) Исходное выражение: $-\frac{1}{5} - \frac{1}{5}$. Здесь уменьшаемое — это $-\frac{1}{5}$, а вычитаемое — $\frac{1}{5}$. Чтобы заменить разность на сумму, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Противоположным числом для $\frac{1}{5}$ является $(-\frac{1}{5})$.

Запишем выражение в виде суммы:

$-\frac{1}{5} - \frac{1}{5} = -\frac{1}{5} + (-\frac{1}{5})$

Ответ: $-\frac{1}{5} + (-\frac{1}{5})$.

в) Дана разность $\frac{-4}{7} - \frac{-8}{7}$. В этом выражении вычитаемым является дробь $\frac{-8}{7}$. Число, противоположное вычитаемому, равно $-(\frac{-8}{7}) = \frac{8}{7}$.

Заменим вычитание на сложение с противоположным числом:

$\frac{-4}{7} - \frac{-8}{7} = \frac{-4}{7} + \frac{8}{7}$

Ответ: $\frac{-4}{7} + \frac{8}{7}$.

4.84. Вычислите, предварительно заменив разность дробей равной ей суммой:

а) $\frac{1}{2} - (-\frac{1}{3});$ б) $\frac{4}{9} - (-\frac{7}{9});$ в) $- \frac{9}{16} - (-\frac{3}{8});$

г) $- \frac{1}{2} - (-\frac{3}{8});$ д) $- \frac{9}{10} - (-\frac{15}{16});$ е) $\frac{25}{26} - (-\frac{11}{13}).$

а) Заменим разность равной ей суммой по правилу вычитания рациональных чисел (чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому):
$ \frac{1}{2} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} $
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$ \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} $
Сложим дроби:
$ \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} $
Ответ: $ \frac{5}{6} $.

б) Заменим разность равной ей суммой:
$ \frac{4}{9} - (-\frac{7}{9}) = \frac{4}{9} + \frac{7}{9} $
Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{4+7}{9} = \frac{11}{9} $
Выделим целую часть:
$ \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} $
Ответ: $ 1\frac{2}{9} $.

в) Заменим разность равной ей суммой:
$ -\frac{9}{16} - (-\frac{3}{8}) = -\frac{9}{16} + \frac{3}{8} $
Приведем дроби к общему знаменателю 16:
$ -\frac{9}{16} + \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2} = -\frac{9}{16} + \frac{6}{16} $
Сложим дроби:
$ \frac{-9+6}{16} = -\frac{3}{16} $
Ответ: $ -\frac{3}{16} $.

г) Заменим разность равной ей суммой:
$ -\frac{1}{2} - (-\frac{3}{8}) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{8} $
Приведем дроби к общему знаменателю 8:
$ -\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{3}{8} = -\frac{4}{8} + \frac{3}{8} $
Сложим дроби:
$ \frac{-4+3}{8} = -\frac{1}{8} $
Ответ: $ -\frac{1}{8} $.

д) Заменим разность равной ей суммой:
$ -\frac{9}{10} - (-\frac{15}{16}) = -\frac{9}{10} + \frac{15}{16} $
Приведем дроби к общему знаменателю 80 (НОК(10, 16) = 80):
$ -\frac{9 \cdot 8}{10 \cdot 8} + \frac{15 \cdot 5}{16 \cdot 5} = -\frac{72}{80} + \frac{75}{80} $
Сложим дроби:
$ \frac{-72+75}{80} = \frac{3}{80} $
Ответ: $ \frac{3}{80} $.

е) Заменим разность равной ей суммой:
$ \frac{25}{26} - (-\frac{11}{13}) = \frac{25}{26} + \frac{11}{13} $
Приведем дроби к общему знаменателю 26:
$ \frac{25}{26} + \frac{11 \cdot 2}{13 \cdot 2} = \frac{25}{26} + \frac{22}{26} $
Сложим дроби:
$ \frac{25+22}{26} = \frac{47}{26} $
Выделим целую часть:
$ \frac{47}{26} = 1\frac{21}{26} $
Ответ: $ 1\frac{21}{26} $.