Страница 148 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.97. a) $-\frac{1}{3} \cdot 2;$

б) $7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right);$

В) $-4 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right);$

г) $\frac{3}{4} \cdot (-8);$

д) $\frac{25}{28} \cdot (-14);$

е) $-12 \cdot \left(-\frac{13}{24}\right).$

а) Чтобы умножить дробь на целое число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним. Так как один из множителей отрицательный, а другой положительный, произведение будет отрицательным.

$-\frac{1}{3} \cdot 2 = -\frac{1 \cdot 2}{3} = -\frac{2}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}$

б) Чтобы умножить целое число на дробь, нужно это число умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить прежним. Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно.

$7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{7 \cdot 1}{2} = -\frac{7}{2}$

Для удобства можно представить неправильную дробь в виде смешанного числа:

$-\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2}$

Ответ: $-3\frac{1}{2}$

в) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Умножим целое число на дробь и, если возможно, сократим полученную дробь.

$-4 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{6}$

Сократим числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{4}{6} = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

г) Произведение положительного числа и отрицательного числа является отрицательным числом. При умножении дроби на целое число можно сократить знаменатель дроби и целое число, если у них есть общий делитель.

$\frac{3}{4} \cdot (-8) = -\left(\frac{3}{4} \cdot 8\right) = -\frac{3 \cdot 8}{4}$

Сократим 8 и 4 на 4:

$-\frac{3 \cdot 8}{4} = -3 \cdot 2 = -6$

Ответ: $-6$

д) Произведение положительного числа и отрицательного числа является отрицательным числом. Сократим множители перед вычислением произведения.

$\frac{25}{28} \cdot (-14) = -\left(\frac{25}{28} \cdot 14\right) = -\frac{25 \cdot 14}{28}$

Сократим 14 и 28 на их общий делитель 14:

$-\frac{25 \cdot 14}{28} = -\frac{25 \cdot 1}{2} = -\frac{25}{2}$

Представим результат в виде смешанного числа:

$-\frac{25}{2} = -12\frac{1}{2}$

Ответ: $-12\frac{1}{2}$

е) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Сократим множители перед вычислением произведения.

$-12 \cdot \left(-\frac{13}{24}\right) = 12 \cdot \frac{13}{24} = \frac{12 \cdot 13}{24}$

Сократим 12 и 24 на их общий делитель 12:

$\frac{12 \cdot 13}{24} = \frac{1 \cdot 13}{2} = \frac{13}{2}$

Представим результат в виде смешанного числа:

$\frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}$

Ответ: $6\frac{1}{2}$

4.98. Запишите частное в виде дроби с положительным знаменателем, сократите полученную дробь:

а) $-2 : 6$;

б) $-5 : 15$;

в) $-10 : (-20)$;

г) $-4 : (-16).$

а) Запишем частное $-2 : 6$ в виде дроби. Делимое ($-2$) будет числителем, а делитель ($6$) – знаменателем.

$-2 : 6 = \frac{-2}{6}$

Знаменатель дроби ($6$) является положительным числом, что соответствует условию задачи. Теперь сократим полученную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя: НОД(2, 6) = 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:

$\frac{-2}{6} = \frac{-2 \div 2}{6 \div 2} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

б) Запишем частное $-5 : 15$ в виде дроби. Делимое ($-5$) будет числителем, а делитель ($15$) – знаменателем.

$-5 : 15 = \frac{-5}{15}$

Знаменатель дроби ($15$) является положительным числом. Сократим дробь, найдя НОД(5, 15) = 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{-5}{15} = \frac{-5 \div 5}{15 \div 5} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

в) Запишем частное $-10 : (-20)$ в виде дроби.

$-10 : (-20) = \frac{-10}{-20}$

Знаменатель ($-20$) является отрицательным числом. Чтобы сделать знаменатель положительным, воспользуемся правилом деления отрицательных чисел: частное двух отрицательных чисел является положительным числом. Поэтому мы можем убрать знаки "минус" и у числителя, и у знаменателя.

$\frac{-10}{-20} = \frac{10}{20}$

Теперь знаменатель ($20$) положителен. Сократим полученную дробь. НОД(10, 20) = 10. Разделим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{10}{20} = \frac{10 \div 10}{20 \div 10} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Запишем частное $-4 : (-16)$ в виде дроби.

$-4 : (-16) = \frac{-4}{-16}$

Знаменатель ($-16$) отрицательный. Чтобы сделать его положительным, преобразуем дробь, так как частное двух отрицательных чисел положительно.

$\frac{-4}{-16} = \frac{4}{16}$

Теперь знаменатель ($16$) положителен. Сократим дробь. НОД(4, 16) = 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:

$\frac{4}{16} = \frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

4.99. Являются ли взаимно обратными числа:

а) $- \frac{1}{2}$ и $- \frac{4}{2}$;

б) $\frac{2}{-3}$ и $\frac{3}{2}$;

в) $- \frac{1}{4}$ и $-4$;

г) $- \frac{5}{6}$ и $\frac{6}{-5}$;

д) $-2$ и $- \frac{1}{2}$;

е) $-1$ и $1$?

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Проверим это условие для каждой пары чисел.

а) Даны числа $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{4}{2}$.

Сначала упростим второе число: $-\frac{4}{2} = -2$.

Теперь найдем произведение чисел: $(-\frac{1}{2}) \times (-2)$. Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому $(-\frac{1}{2}) \times (-2) = \frac{1}{2} \times 2 = \frac{2}{2} = 1$.

Поскольку произведение равно 1, числа являются взаимно обратными.

Ответ: да, являются.

б) Даны числа $\frac{2}{-3}$ и $\frac{3}{2}$.

Представим первое число в стандартном виде: $\frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$.

Найдем их произведение: $(-\frac{2}{3}) \times \frac{3}{2} = -\frac{2 \times 3}{3 \times 2} = -\frac{6}{6} = -1$.

Произведение равно -1, а не 1. Следовательно, числа не являются взаимно обратными.

Ответ: нет, не являются.

в) Даны числа $-\frac{1}{4}$ и $-4$.

Найдем их произведение: $(-\frac{1}{4}) \times (-4)$. Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому $(-\frac{1}{4}) \times (-4) = \frac{1}{4} \times 4 = \frac{4}{4} = 1$.

Так как произведение равно 1, числа являются взаимно обратными.

Ответ: да, являются.

г) Даны числа $-\frac{5}{6}$ и $\frac{6}{-5}$.

Представим второе число в стандартном виде: $\frac{6}{-5} = -\frac{6}{5}$.

Найдем произведение: $(-\frac{5}{6}) \times (-\frac{6}{5})$. Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому $(-\frac{5}{6}) \times (-\frac{6}{5}) = \frac{5 \times 6}{6 \times 5} = \frac{30}{30} = 1$.

Произведение равно 1, значит, числа являются взаимно обратными.

Ответ: да, являются.

д) Даны числа $-2$ и $\frac{-1}{2}$.

Представим второе число в стандартном виде: $\frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$.

Найдем произведение: $(-2) \times (-\frac{1}{2})$. Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому $(-2) \times (-\frac{1}{2}) = 2 \times \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Произведение равно 1, следовательно, числа являются взаимно обратными.

Ответ: да, являются.

е) Даны числа $-1$ и $1$.

Найдем их произведение: $(-1) \times 1 = -1$.

Произведение равно -1, а не 1. Таким образом, числа не являются взаимно обратными.

Ответ: нет, не являются.

4.100. Назовите делимое и делитель, найдите дробь, обратную делителю, замените деление умножением на дробь, обратную делителю:

а) $\frac{3}{5} : \frac{2}{3}$;

б) $-\frac{4}{5} : \frac{3}{8}$;

в) $-4 : \frac{-2}{3}$;

г) $-\frac{3}{7} : (-9)$.

а)
В выражении $ \frac{3}{5} : \frac{2}{3} $:

• Делимое: $ \frac{3}{5} $
• Делитель: $ \frac{2}{3} $

Дробь, обратная делителю $ \frac{2}{3} $, это $ \frac{3}{2} $.
Заменим деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычислим результат: $ \frac{3}{5} : \frac{2}{3} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{9}{10} $.
Ответ: $ \frac{9}{10} $.

б)
В выражении $ -\frac{4}{5} : \frac{3}{8} $:

• Делимое: $ -\frac{4}{5} $
• Делитель: $ \frac{3}{8} $

Дробь, обратная делителю $ \frac{3}{8} $, это $ \frac{8}{3} $.
Заменим деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычислим результат: $ -\frac{4}{5} : \frac{3}{8} = -\frac{4}{5} \cdot \frac{8}{3} = -\frac{4 \cdot 8}{5 \cdot 3} = -\frac{32}{15} = -2\frac{2}{15} $.
Ответ: $ -2\frac{2}{15} $.

в)
В выражении $ -4 : (-\frac{2}{3}) $:

• Делимое: $ -4 $
• Делитель: $ -\frac{2}{3} $

Дробь, обратная делителю $ -\frac{2}{3} $, это $ -\frac{3}{2} $.
Заменим деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычислим результат. Целое число $ -4 $ можно представить в виде дроби $ -\frac{4}{1} $: $ -4 : (-\frac{2}{3}) = -4 \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{12}{2} = 6 $.
Ответ: $ 6 $.

г)
В выражении $ \frac{3}{7} : (-9) $:

• Делимое: $ \frac{3}{7} $
• Делитель: $ -9 $

Целое число $ -9 $ можно представить в виде дроби $ -\frac{9}{1} $. Дробь, обратная делителю $ -\frac{9}{1} $, это $ -\frac{1}{9} $.
Заменим деление умножением на дробь, обратную делителю, и вычислим результат: $ \frac{3}{7} : (-9) = \frac{3}{7} \cdot (-\frac{1}{9}) = -\frac{3 \cdot 1}{7 \cdot 9} = -\frac{3}{63} $. Сократим дробь на 3: $ -\frac{3:3}{63:3} = -\frac{1}{21} $.
Ответ: $ -\frac{1}{21} $.

Вычислите (4.101-4.106):

4.101. а) $\frac{-3}{5} : \frac{5}{-9};$

б) $\frac{16}{-25} : \frac{8}{-15};$

в) $\frac{9}{-10} : \frac{1}{2};$

г) $\frac{2}{3} : \frac{6}{-7}.$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Обратной к дроби $\frac{5}{-9}$ является дробь $\frac{-9}{5}$.

$\frac{-3}{5} : \frac{5}{-9} = \frac{-3}{5} \cdot \frac{-9}{5}$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Перемножим числители и знаменатели:

$\frac{(-3) \cdot (-9)}{5 \cdot 5} = \frac{27}{25}$

Результат можно представить в виде смешанного числа: $1\frac{2}{25}$.

Ответ: $\frac{27}{25}$

Для выполнения деления, умножим делимое $\frac{16}{-25}$ на дробь, обратную делителю $\frac{8}{-15}$. Обратной дробью является $\frac{-15}{8}$.

$\frac{16}{-25} : \frac{8}{-15} = \frac{16}{-25} \cdot \frac{-15}{8}$

Произведение двух отрицательных чисел — число положительное, поэтому можно записать:

$\frac{16}{25} \cdot \frac{15}{8} = \frac{16 \cdot 15}{25 \cdot 8}$

Чтобы упростить вычисление, сократим дробь. Разделим 16 и 8 на их общий делитель 8. Разделим 25 и 15 на их общий делитель 5.

$\frac{16 \cdot 15}{25 \cdot 8} = \frac{(2 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 5)}{(5 \cdot 5) \cdot 8} = \frac{2 \cdot 3}{5} = \frac{6}{5}$

Результат можно представить в виде смешанного числа: $1\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{6}{5}$

Чтобы разделить дробь $\frac{9}{-10}$ на $\frac{1}{2}$, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй, то есть на $\frac{2}{1}$.

$\frac{9}{-10} : \frac{1}{2} = \frac{-9}{10} \cdot \frac{2}{1}$

При умножении отрицательного числа ($-\frac{9}{10}$) на положительное ($\frac{2}{1}$), результат будет отрицательным.

$-\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{1} = -\frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 1}$

Сократим дробь, разделив числитель (2) и знаменатель (10) на 2:

$-\frac{9 \cdot 2}{10} = -\frac{9 \cdot 1}{5} = -\frac{9}{5}$

Результат можно представить в виде смешанного числа: $-1\frac{4}{5}$.

Ответ: $-\frac{9}{5}$

Для деления дроби $\frac{2}{3}$ на $\frac{6}{-7}$, умножим делимое на дробь, обратную делителю. Обратной к $\frac{6}{-7}$ является дробь $\frac{-7}{6}$.

$\frac{2}{3} : \frac{6}{-7} = \frac{2}{3} \cdot \frac{-7}{6}$

При умножении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.

$\frac{2}{3} \cdot (-\frac{7}{6}) = -\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 6}$

Сократим дробь, разделив 2 в числителе и 6 в знаменателе на 2:

$-\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 6} = -\frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 3} = -\frac{7}{9}$

Ответ: $-\frac{7}{9}$

4.102. а) $-\frac{3}{7} : \frac{5}{6}$;

б) $\frac{16}{-25} : \left(-\frac{8}{15}\right)$;

в) $-\frac{9}{20} : \left(-\frac{18}{25}\right)$;

г) $\frac{28}{63} : \left(-\frac{9}{7}\right)$;

д) $-\frac{15}{16} : \left(-\frac{10}{24}\right)$;

е) $-\frac{15}{17} : \frac{25}{34}$.

а)

Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую). При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным.

$-\frac{3}{7} : \frac{5}{6} = -\left(\frac{3}{7} \cdot \frac{6}{5}\right) = -\frac{3 \cdot 6}{7 \cdot 5} = -\frac{18}{35}$

Ответ: $-\frac{18}{35}$

б)

Сначала представим дробь $\frac{16}{-25}$ в стандартном виде как $-\frac{16}{25}$. При делении отрицательного числа на отрицательное, результат будет положительным. Далее, заменяем деление на умножение на обратную дробь.

$\frac{16}{-25} : \left(-\frac{8}{15}\right) = \left(-\frac{16}{25}\right) : \left(-\frac{8}{15}\right) = \frac{16}{25} \cdot \frac{15}{8}$

Перед умножением сократим дроби. Числитель 16 и знаменатель 8 можно сократить на 8. Числитель 15 и знаменатель 25 можно сократить на 5.

$\frac{16}{25} \cdot \frac{15}{8} = \frac{16 \cdot 15}{25 \cdot 8} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 1} = \frac{6}{5}$

Ответ: $\frac{6}{5}$

в)

При делении отрицательного числа на отрицательное, результат будет положительным. Заменяем деление на умножение на обратную дробь.

$-\frac{9}{20} : \left(-\frac{18}{25}\right) = \frac{9}{20} \cdot \frac{25}{18}$

Сократим дроби: 9 и 18 сокращаются на 9; 25 и 20 сокращаются на 5.

$\frac{9 \cdot 25}{20 \cdot 18} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{5}{8}$

Ответ: $\frac{5}{8}$

г)

При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным. Сначала сократим первую дробь: числитель 28 и знаменатель 63 делятся на 7. $\frac{28}{63} = \frac{4}{9}$. Затем заменим деление на умножение на обратную дробь.

$\frac{28}{63} : \left(-\frac{9}{7}\right) = \frac{4}{9} : \left(-\frac{9}{7}\right) = -\left(\frac{4}{9} \cdot \frac{7}{9}\right) = -\frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 9} = -\frac{28}{81}$

Ответ: $-\frac{28}{81}$

д)

При делении отрицательного числа на отрицательное, результат будет положительным. Заменяем деление на умножение на обратную дробь.

$-\frac{15}{16} : \left(-\frac{10}{24}\right) = \frac{15}{16} \cdot \frac{24}{10}$

Сократим дроби перед умножением: 15 и 10 сокращаются на 5; 24 и 16 сокращаются на 8.

$\frac{15 \cdot 24}{16 \cdot 10} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{9}{4}$

Ответ: $\frac{9}{4}$

е)

Чтобы разделить одну дробь на другую, умножим первую дробь на дробь, обратную второй.

$\frac{15}{17} : \frac{25}{34} = \frac{15}{17} \cdot \frac{34}{25}$

Сократим дроби: 15 и 25 сокращаются на 5; 34 и 17 сокращаются на 17.

$\frac{15 \cdot 34}{17 \cdot 25} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{6}{5}$

Ответ: $\frac{6}{5}$

4.103. а) $\frac{32}{75} : \left(-\frac{48}{25}\right)$;

б) $-\frac{38}{75} : \left(-\frac{19}{100}\right)$;

в) $-\frac{32}{77} : \left(-\frac{64}{55}\right)$;

г) $-\frac{125}{196} : \frac{50}{52}$;

д) $\frac{228}{245} : \left(-\frac{57}{125}\right)$;

е) $-\frac{132}{1000} : \left(-\frac{143}{1000}\right)$.

а)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую). При делении положительного числа на отрицательное получится отрицательное число.

$ \frac{32}{75} : \left(-\frac{48}{25}\right) = -\left(\frac{32}{75} \cdot \frac{25}{48}\right) $

Сократим дроби, разложив числа на множители. $32 = 2 \cdot 16$, $75 = 3 \cdot 25$, $48 = 3 \cdot 16$.

$ -\left(\frac{32}{75} \cdot \frac{25}{48}\right) = -\left(\frac{2 \cdot 16}{3 \cdot 25} \cdot \frac{25}{3 \cdot 16}\right) = -\frac{2 \cdot \cancel{16} \cdot \cancel{25}}{3 \cdot \cancel{25} \cdot 3 \cdot \cancel{16}} = -\frac{2}{3 \cdot 3} = -\frac{2}{9} $

Ответ: $ -\frac{2}{9} $

б)

При делении отрицательного числа на отрицательное получится положительное число. Деление заменяем умножением на обратную дробь.

$ -\frac{38}{75} : \left(-\frac{19}{100}\right) = \frac{38}{75} \cdot \frac{100}{19} $

Сократим дроби. $38 = 2 \cdot 19$, $75 = 3 \cdot 25$, $100 = 4 \cdot 25$.

$ \frac{2 \cdot 19}{3 \cdot 25} \cdot \frac{4 \cdot 25}{19} = \frac{2 \cdot \cancel{19} \cdot 4 \cdot \cancel{25}}{3 \cdot \cancel{25} \cdot \cancel{19}} = \frac{2 \cdot 4}{3} = \frac{8}{3} $

Выделим целую часть:

$ \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $

Ответ: $ 2\frac{2}{3} $

в)

При делении отрицательного числа на отрицательное получится положительное число. Заменим деление умножением на обратную дробь.

$ -\frac{32}{77} : \left(-\frac{64}{55}\right) = \frac{32}{77} \cdot \frac{55}{64} $

Сократим дроби. $77 = 7 \cdot 11$, $55 = 5 \cdot 11$, $64 = 2 \cdot 32$.

$ \frac{32}{7 \cdot 11} \cdot \frac{5 \cdot 11}{2 \cdot 32} = \frac{\cancel{32} \cdot 5 \cdot \cancel{11}}{7 \cdot \cancel{11} \cdot 2 \cdot \cancel{32}} = \frac{5}{7 \cdot 2} = \frac{5}{14} $

Ответ: $ \frac{5}{14} $

г)

При делении отрицательного числа на положительное получится отрицательное число. Деление заменяем умножением на обратную дробь.

$ -\frac{125}{196} : \frac{50}{52} = -\left(\frac{125}{196} \cdot \frac{52}{50}\right) $

Сократим дроби. $125 = 5 \cdot 25$, $196 = 4 \cdot 49$, $52 = 4 \cdot 13$, $50 = 2 \cdot 25$.

$ -\left(\frac{5 \cdot 25}{4 \cdot 49} \cdot \frac{4 \cdot 13}{2 \cdot 25}\right) = -\frac{5 \cdot \cancel{25} \cdot \cancel{4} \cdot 13}{\cancel{4} \cdot 49 \cdot 2 \cdot \cancel{25}} = -\frac{5 \cdot 13}{49 \cdot 2} = -\frac{65}{98} $

Ответ: $ -\frac{65}{98} $

д)

При делении положительного числа на отрицательное получится отрицательное число. Заменим деление умножением на обратную дробь.

$ \frac{228}{245} : \left(-\frac{57}{125}\right) = -\left(\frac{228}{245} \cdot \frac{125}{57}\right) $

Сократим дроби. $228 = 4 \cdot 57$, $245 = 5 \cdot 49$, $125 = 5 \cdot 25$.

$ -\left(\frac{4 \cdot 57}{5 \cdot 49} \cdot \frac{5 \cdot 25}{57}\right) = -\frac{4 \cdot \cancel{57} \cdot \cancel{5} \cdot 25}{\cancel{5} \cdot 49 \cdot \cancel{57}} = -\frac{4 \cdot 25}{49} = -\frac{100}{49} $

Выделим целую часть:

$ -\frac{100}{49} = -2\frac{2}{49} $

Ответ: $ -2\frac{2}{49} $

е)

При делении отрицательного числа на отрицательное получится положительное число. Заменим деление умножением на обратную дробь.

$ -\frac{132}{1000} : \left(-\frac{143}{1000}\right) = \frac{132}{1000} \cdot \frac{1000}{143} $

Сократим 1000 в числителе и знаменателе.

$ \frac{132}{\cancel{1000}} \cdot \frac{\cancel{1000}}{143} = \frac{132}{143} $

Чтобы сократить полученную дробь, найдем общий делитель для 132 и 143. $132 = 12 \cdot 11$, $143 = 13 \cdot 11$. Общий делитель - 11.

$ \frac{132}{143} = \frac{12 \cdot \cancel{11}}{13 \cdot \cancel{11}} = \frac{12}{13} $

Ответ: $ \frac{12}{13} $

4.104. a) $- \frac{1}{2} : 2;$

б) $- \frac{1}{3} : 2;$

в) $- \frac{2}{5} : (-3);$

г) $\frac{3}{7} : (-9);$

д) $-4 : \frac{1}{2};$

е) $(-3) : (-\frac{1}{2});$

ж) $5 : (-\frac{3}{10});$

з) $-8 : \frac{4}{5}.$

а)

Чтобы разделить дробь на целое число, нужно представить целое число в виде дроби и затем умножить первую дробь на дробь, обратную второй. Деление на 2 эквивалентно умножению на $\frac{1}{2}$.

$-\frac{1}{2} : 2 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Перемножаем числители и знаменатели:

$-\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Деление на 2 заменяем умножением на обратную дробь $\frac{1}{2}$.

$-\frac{1}{3} : 2 = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Перемножаем числители и знаменатели:

$-\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$

в)

Чтобы разделить отрицательную дробь на отрицательное целое число, нужно умножить эту дробь на число, обратное делителю. Результат будет положительным, так как частное двух отрицательных чисел положительно.

$-\frac{2}{5} : (-3) = -\frac{2}{5} : (-\frac{3}{1}) = -\frac{2}{5} \cdot (-\frac{1}{3})$

$\frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 3} = \frac{2}{15}$

Ответ: $\frac{2}{15}$

г)

Чтобы разделить положительную дробь на отрицательное целое число, нужно умножить дробь на число, обратное делителю. Результат будет отрицательным.

$\frac{3}{7} : (-9) = \frac{3}{7} \cdot (-\frac{1}{9}) = -\frac{3 \cdot 1}{7 \cdot 9} = -\frac{3}{63}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$-\frac{3 : 3}{63 : 3} = -\frac{1}{21}$

Ответ: $-\frac{1}{21}$

д)

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.

$-4 : \frac{1}{2} = -4 \cdot \frac{2}{1} = -4 \cdot 2 = -8$

Ответ: $-8$

е)

При делении отрицательного числа на отрицательное, результат будет положительным. Умножаем делимое на число, обратное делителю.

$(-3) : (-\frac{1}{2}) = (-3) \cdot (-2)$

$3 \cdot 2 = 6$

Ответ: $6$

ж)

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю. При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным.

$5 : (-\frac{3}{10}) = 5 \cdot (-\frac{10}{3}) = -\frac{5 \cdot 10}{3} = -\frac{50}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{50}{3} = -16\frac{2}{3}$

Ответ: $-16\frac{2}{3}$

з)

При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным. Умножаем делимое на число, обратное делителю.

$-8 : \frac{4}{5} = -8 \cdot \frac{5}{4} = -\frac{8 \cdot 5}{4}$

Сократим 8 и 4 на 4:

$-\frac{(8:4) \cdot 5}{(4:4)} = -\frac{2 \cdot 5}{1} = -10$

Ответ: $-10$

4.105. a) $48 : \left(-\frac{1}{2}\right)$;

б) $-55 : \left(-\frac{2}{5}\right)$;

в) $-72 : \frac{36}{37}$;

г) $\left(-\frac{16}{35}\right) : 64$;

д) $-\frac{12}{13} : 24$;

е) $\frac{15}{32} : (-20).$

а) Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю. При делении положительного числа на отрицательное получается отрицательное число.

$48 : (-\frac{1}{2}) = 48 \cdot (-\frac{2}{1}) = -(48 \cdot 2) = -96$

Ответ: $-96$

б) Чтобы разделить отрицательное число на отрицательную дробь, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число.

$-55 : (-\frac{2}{5}) = -55 \cdot (-\frac{5}{2}) = \frac{55 \cdot 5}{2} = \frac{275}{2} = 137\frac{1}{2} = 137,5$

Ответ: $137,5$

в) Чтобы разделить отрицательное число на положительную дробь, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. Результат будет отрицательным.

$-72 : \frac{36}{37} = -72 \cdot \frac{37}{36} = -\frac{72 \cdot 37}{36}$

Сократим 72 и 36 на 36:

$-\frac{72 \cdot 37}{36} = -\frac{2 \cdot 37}{1} = -74$

Ответ: $-74$

г) Чтобы разделить дробь на число, нужно умножить эту дробь на число, обратное делителю. Деление отрицательного числа на положительное даёт отрицательный результат.

$(-\frac{16}{35}) : 64 = -\frac{16}{35} \cdot \frac{1}{64} = -\frac{16}{35 \cdot 64}$

Сократим 16 и 64 на 16:

$-\frac{16}{35 \cdot 64} = -\frac{1}{35 \cdot 4} = -\frac{1}{140}$

Ответ: $-\frac{1}{140}$

д) Чтобы разделить отрицательную дробь на положительное число, нужно умножить эту дробь на число, обратное делителю. Результат будет отрицательным.

$-\frac{12}{13} : 24 = -\frac{12}{13} \cdot \frac{1}{24} = -\frac{12}{13 \cdot 24}$

Сократим 12 и 24 на 12:

$-\frac{12}{13 \cdot 24} = -\frac{1}{13 \cdot 2} = -\frac{1}{26}$

Ответ: $-\frac{1}{26}$

е) Чтобы разделить дробь на отрицательное число, нужно умножить эту дробь на число, обратное делителю. Результат деления положительного числа на отрицательное будет отрицательным.

$\frac{15}{32} : (-20) = \frac{15}{32} \cdot (-\frac{1}{20}) = -\frac{15}{32 \cdot 20}$

Сократим 15 и 20 на 5:

$-\frac{15}{32 \cdot 20} = -\frac{3}{32 \cdot 4} = -\frac{3}{128}$

Ответ: $-\frac{3}{128}$