Страница 152 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.121. a) $2 \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right);$

б) $\left(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}\right) \cdot (-3);$

в) $\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3} - \frac{2}{5}\right);$

г) $ - \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{4} - \frac{3}{5}\right);$

д) $\left(-\frac{3}{5} - \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{10}{27};$

е) $\left(-\frac{2}{5} - \frac{2}{7}\right) \cdot \left(-\frac{35}{44}\right).$

а) $2 \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right)$

Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 4.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1-2}{4} = -\frac{1}{4}$

Теперь умножим полученный результат на 2:

$2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{2 \cdot 1}{4} = -\frac{2}{4}$

Сократим дробь:

$-\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

б) $\left(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}\right) \cdot (-3)$

Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель для 9 и 3 равен 9.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{3} = \frac{1}{9} - \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9} - \frac{3}{9} = \frac{1-3}{9} = -\frac{2}{9}$

Теперь умножим результат на -3. Произведение двух отрицательных чисел положительно.

$\left(-\frac{2}{9}\right) \cdot (-3) = \frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{2 \cdot 3}{9} = \frac{6}{9}$

Сократим дробь на 3:

$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) $\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3} - \frac{2}{5}\right)$

Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель для 3 и 5 равен 15.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} - \frac{6}{15} = \frac{10-6}{15} = \frac{4}{15}$

Теперь умножим результат на $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 15} = \frac{4}{30}$

Сократим дробь на 2:

$\frac{4}{30} = \frac{2}{15}$

Ответ: $\frac{2}{15}$

г) $-\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{4} - \frac{3}{5}\right)$

Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель для 4 и 5 равен 20.

$\frac{3}{4} - \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{15}{20} - \frac{12}{20} = \frac{15-12}{20} = \frac{3}{20}$

Теперь умножим результат на $-\frac{1}{3}$:

$-\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{20} = -\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 20} = -\frac{3}{60}$

Сократим дробь на 3:

$-\frac{3}{60} = -\frac{1}{20}$

Ответ: $-\frac{1}{20}$

д) $\left(-\frac{3}{5} - \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{10}{27}$

Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель для 5 и 4 равен 20.

$-\frac{3}{5} - \frac{3}{4} = -\frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = -\frac{12}{20} - \frac{15}{20} = \frac{-12-15}{20} = -\frac{27}{20}$

Теперь умножим результат на $\frac{10}{27}$:

$\left(-\frac{27}{20}\right) \cdot \frac{10}{27} = -\frac{27 \cdot 10}{20 \cdot 27}$

Сократим числитель и знаменатель на 27 и на 10:

$-\frac{27 \cdot 10}{20 \cdot 27} = -\frac{10}{20} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

е) $\left(-\frac{2}{5} - \frac{2}{7}\right) \cdot \left(-\frac{35}{44}\right)$

Выполним вычитание в первых скобках. Общий знаменатель для 5 и 7 равен 35.

$-\frac{2}{5} - \frac{2}{7} = -\frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} - \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = -\frac{14}{35} - \frac{10}{35} = \frac{-14-10}{35} = -\frac{24}{35}$

Теперь умножим результат на $\left(-\frac{35}{44}\right)$. Произведение двух отрицательных чисел положительно.

$\left(-\frac{24}{35}\right) \cdot \left(-\frac{35}{44}\right) = \frac{24}{35} \cdot \frac{35}{44} = \frac{24 \cdot 35}{35 \cdot 44}$

Сократим дробь на 35, а также числитель 24 и знаменатель 44 на их общий делитель 4:

$\frac{24}{44} = \frac{24 \div 4}{44 \div 4} = \frac{6}{11}$

Ответ: $\frac{6}{11}$

4.122. Определите знак произведения:

a) $ (-1) \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{7}{13}); $

б) $ (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1) \cdot (-\frac{7}{-9}); $

в) $ (-\frac{-8}{9}) \cdot (-\frac{5}{-9}) \cdot (-\frac{1}{5}); $

г) $ (-\frac{-1}{-5}) \cdot (-\frac{1}{4}) \cdot \frac{1}{5} \cdot (\frac{-8}{7}). $

Чтобы определить знак произведения, необходимо посчитать количество отрицательных множителей в выражении. Если их количество четное, то произведение будет положительным. Если нечетное — отрицательным. Положительные множители не влияют на знак произведения.

а) $(-1) \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{7}{13})$
В данном произведении три отрицательных множителя: $(-1)$, $(-\frac{2}{3})$ и $(-\frac{7}{13})$.
Число 3 является нечетным, следовательно, знак произведения будет отрицательным.
Ответ: знак минус (–).

б) $(-\frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1) \cdot (\frac{-7}{-9})$
Определим знак каждого множителя:
$(-\frac{1}{3})$ – отрицательный.
$\frac{1}{2}$ – положительный.
$(-1)$ – отрицательный.
$(\frac{-7}{-9})$ – положительный, так как частное двух отрицательных чисел положительно $(\frac{-7}{-9} = \frac{7}{9})$.
В произведении два отрицательных множителя. Число 2 является четным, следовательно, знак произведения будет положительным.
Ответ: знак плюс (+).

в) $(-\frac{8}{9}) \cdot (-\frac{5}{-9}) \cdot (-\frac{1}{5})$
Определим знак каждого множителя:
$(-\frac{8}{9})$ – отрицательный.
$(-\frac{5}{-9})$ – положительный. Дробь $\frac{5}{-9}$ является отрицательной, но перед ней стоит знак минус, а $(-) \cdot (-) = (+)$. Таким образом, $-\frac{5}{-9} = \frac{5}{9}$.
$(-\frac{1}{5})$ – отрицательный.
В произведении два отрицательных множителя. Число 2 является четным, следовательно, знак произведения будет положительным.
Ответ: знак плюс (+).

г) $(-\frac{-1}{-5}) \cdot (-\frac{1}{4}) \cdot \frac{1}{5} \cdot (\frac{-8}{7})$
Определим знак каждого множителя:
$(-\frac{-1}{-5})$ – отрицательный. Дробь $\frac{-1}{-5}$ положительна, так как $\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5}$. Но перед дробью стоит знак минус, поэтому множитель отрицательный: $-(\frac{1}{5})$.
$(-\frac{1}{4})$ – отрицательный.
$\frac{1}{5}$ – положительный.
$(\frac{-8}{7})$ – отрицательный.
В произведении три отрицательных множителя. Число 3 является нечетным, следовательно, знак произведения будет отрицательным.
Ответ: знак минус (–).

4.123. Вычислите:

а) $(-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{3}{4};$

б) $(-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}).$

а) $(-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{3}{4}$

При умножении нескольких чисел, сначала определяем знак произведения. В данном выражении два отрицательных множителя. Так как число отрицательных множителей четное (два), результат будет положительным.

Теперь перемножим модули чисел:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 4}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{2} \cdot 1 \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) $(-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{1}{2})$

Определим знак произведения. В данном выражении три отрицательных множителя. Так как число отрицательных множителей нечетное (три), результат будет отрицательным.

Теперь перемножим модули чисел, поставив перед произведением знак минус:

$-(\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}) = -(\frac{4 \cdot 3 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 2})$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$-(\frac{\cancel{4} \cdot 3 \cdot 1}{5 \cdot \cancel{4} \cdot 2}) = -(\frac{3}{5 \cdot 2}) = -\frac{3}{10}$

Ответ: $-\frac{3}{10}$

4.124. Сколько отрицательных множителей может содержать произведение, чтобы оно было:

а) положительным;

б) отрицательным?

а)

Знак произведения чисел зависит от количества отрицательных множителей в нем. Положительные множители на знак итогового результата не влияют. Чтобы произведение было положительным, количество отрицательных множителей должно быть четным.

Рассмотрим это правило на примерах:
- Если отрицательных множителей нет (их количество равно 0, а 0 — четное число), то все множители положительны, и их произведение также будет положительным.
- Если в произведении два отрицательных множителя, то их произведение даст положительное число, так как по правилу умножения $(-a) \cdot (-b) = ab$. Умножение этого положительного результата на остальные (положительные) множители также даст в итоге положительное число. Например, $(-2) \cdot (-5) \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30$.
- Если отрицательных множителей четыре, их можно сгруппировать попарно. Каждая пара отрицательных множителей даст в произведении положительное число. Произведение получившихся положительных чисел также будет положительным. Например, $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) = (2) \cdot (12) = 24$.

Эта закономерность сохраняется для любого четного количества отрицательных множителей.

Ответ: Чтобы произведение было положительным, оно должно содержать четное количество отрицательных множителей (0, 2, 4, 6 и так далее).

б)

Чтобы произведение было отрицательным, количество отрицательных множителей в нем должно быть нечетным.

Рассмотрим это правило на примерах:
- Если отрицательный множитель только один (их количество равно 1, а 1 — нечетное число), то произведение будет отрицательным (при условии, что остальные множители положительны). Например, $(-5) \cdot 2 \cdot 4 = -40$.
- Если отрицательных множителей три, то произведение первых двух из них будет положительным. При умножении этого положительного результата на третий отрицательный множитель итоговое произведение станет отрицательным. Например, $(-2) \cdot (-3) \cdot (-4) = 6 \cdot (-4) = -24$.

Эта закономерность сохраняется для любого нечетного количества отрицательных множителей.

Ответ: Чтобы произведение было отрицательным, оно должно содержать нечетное количество отрицательных множителей (1, 3, 5, 7 и так далее).

4.125. а) Произведение пяти множителей — положительное число. Можно ли утверждать, что все множители — положительные числа?

б) Произведение четырёх множителей — положительное число. Можно ли утверждать, что все множители — положительные числа?

а)

Нет, утверждать, что все множители — положительные числа, нельзя. Произведение нескольких чисел является положительным, если среди множителей чётное количество отрицательных чисел (ноль, два, четыре и т.д.). В случае пяти множителей, их произведение будет положительным, если либо все множители положительны, либо два из них отрицательны, либо четыре из них отрицательны.
Например, рассмотрим произведение: $(-1) \cdot (-2) \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$. Здесь два отрицательных множителя (чётное число). Результат будет положительным: $2 \cdot 60 = 120$.
Поскольку мы привели пример, где произведение пяти множителей положительно, но не все множители являются положительными, исходное утверждение не всегда верно.

Ответ: Нет, нельзя.

б)

Нет, это утверждать также нельзя. Как и в предыдущем пункте, произведение будет положительным при чётном количестве отрицательных множителей. Для четырёх множителей это означает, что отрицательных множителей может быть ноль, два или четыре.
Например, в произведении $(-1) \cdot (-2) \cdot 3 \cdot 4 = 24$ два отрицательных множителя, и результат положителен.
В другом примере, $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) = 24$, все четыре множителя отрицательны, и результат также положителен.
Так как существуют случаи, когда не все множители положительны, а их произведение положительно, то данное утверждение неверно.

Ответ: Нет, нельзя.

ДОКАЗЫВАЕМ

4.126. Сформулируйте и докажите свойства деления рациональных чисел, выраженных равенствами:

a) $a : b = (a \cdot n) : (b \cdot n);$

б) $a : b = (a : n) : (b : n);$

в) $(a + b) : n = a : n + b : n,$ где $b \ne 0$ и $n \ne 0.$

а) Формулировка свойства: частное двух рациональных чисел не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же ненулевое рациональное число.
Доказательство:
Докажем справедливость равенства $a : b = (a \cdot n) : (b \cdot n)$ для любых рациональных чисел $a$, $b$, $n$, при условии что $b \ne 0$ и $n \ne 0$.
Преобразуем правую часть равенства, используя определение деления (деление на число равносильно умножению на число, обратное делителю):
$(a \cdot n) : (b \cdot n) = (a \cdot n) \cdot \frac{1}{b \cdot n}$
Используя свойства умножения, запишем выражение в виде дроби:
$(a \cdot n) \cdot \frac{1}{b \cdot n} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$
Согласно основному свойству дроби, мы можем сократить дробь на общий множитель $n$, так как $n \ne 0$:
$\frac{a \cdot n}{b \cdot n} = \frac{a}{b}$
По определению, $\frac{a}{b}$ есть частное от деления $a$ на $b$, то есть $a:b$.
Таким образом, мы доказали, что правая часть равенства равна левой: $(a \cdot n) : (b \cdot n) = a : b$.
Ответ: Частное двух чисел не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

б) Формулировка свойства: частное двух рациональных чисел не изменится, если делимое и делитель разделить на одно и то же ненулевое рациональное число.
Доказательство:
Докажем справедливость равенства $a : b = (a : n) : (b : n)$ для любых рациональных чисел $a$, $b$, $n$, при условии что $b \ne 0$ и $n \ne 0$.
Преобразуем правую часть равенства. Запишем операцию деления в виде дроби:
$(a : n) : (b : n) = \frac{a:n}{b:n} = \frac{\frac{a}{n}}{\frac{b}{n}}$
Воспользуемся основным свойством дроби и умножим числитель и знаменатель полученной "многоэтажной" дроби на $n$ (это допустимо, так как $n \ne 0$):
$\frac{\frac{a}{n} \cdot n}{\frac{b}{n} \cdot n} = \frac{a}{b}$
Выражение $\frac{a}{b}$ по определению равно частному $a : b$.
Следовательно, мы доказали, что правая часть исходного равенства равна левой: $(a : n) : (b : n) = a : b$.
Ответ: Частное двух чисел не изменится, если делимое и делитель разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

в) Формулировка свойства: распределительное свойство деления относительно сложения. Чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число, можно разделить на это число каждое слагаемое в отдельности и затем сложить полученные частные.
Доказательство:
Докажем справедливость равенства $(a + b) : n = a : n + b : n$ для любых рациональных чисел $a$, $b$, $n$, при условии что $n \ne 0$.
Преобразуем левую часть равенства, заменив деление на умножение на обратное число:
$(a + b) : n = (a + b) \cdot \frac{1}{n}$
Теперь применим распределительное свойство умножения относительно сложения:
$(a + b) \cdot \frac{1}{n} = a \cdot \frac{1}{n} + b \cdot \frac{1}{n}$
Рассмотрим правую часть исходного равенства и также заменим в ней деление на умножение:
$a : n + b : n = a \cdot \frac{1}{n} + b \cdot \frac{1}{n}$
Так как преобразованная левая часть оказалась равна правой части, равенство доказано.
Ответ: Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

Вычислите (4.127–4.129):

4.127. а) $-\frac{3}{4} : \frac{5}{6} + \frac{15}{16} \cdot \frac{2}{5} - 1 : \frac{1}{9};$

б) $2 : \left(-\frac{3}{5}\right) + \frac{3}{5} : 2 - \frac{3}{2} : 6 + 6 : \frac{3}{2};$

в) $\frac{11}{4} : \left(\frac{2}{5} - \frac{3}{2}\right) + \left(\frac{3}{4} + \frac{5}{6}\right) : \left(-\frac{25}{8}\right);$

г) $\left(\frac{2}{15} + \frac{19}{12}\right) \cdot \frac{30}{103} - \left(1 : \frac{9}{4}\right) \cdot \left(-\frac{9}{16}\right).$

а)

Выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок операций (сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание):
1) Первое действие (деление): $-\frac{3}{4}:\frac{5}{6} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{6}{5} = -\frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 5} = -\frac{18}{20} = -\frac{9}{10}$.
2) Второе действие (умножение): $\frac{15}{16}\cdot\frac{2}{5} = \frac{15 \cdot 2}{16 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 2}{16 \cdot 5} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
3) Третье действие (деление): $1:\frac{1}{9} = 1 \cdot \frac{9}{1} = 9$.
4) Теперь сложим и вычтем полученные результаты: $-\frac{9}{10} + \frac{3}{8} - 9$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 10 и 8 равно 40.
$-\frac{9 \cdot 4}{10 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} - 9 = -\frac{36}{40} + \frac{15}{40} - 9 = \frac{-36+15}{40} - 9 = -\frac{21}{40} - 9 = -9\frac{21}{40}$.

Ответ: $-9\frac{21}{40}$

б)

Выполним вычисления по действиям:
1) $2:(-\frac{3}{5}) = 2 \cdot (-\frac{5}{3}) = -\frac{10}{3}$.
2) $\frac{3}{5}:2 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$.
3) $-\frac{3}{2}:6 = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$.
4) $6:\frac{3}{2} = 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$.
5) Сложим и вычтем результаты: $-\frac{10}{3} + \frac{3}{10} - \frac{1}{4} + 4$.
Найдем общий знаменатель для 3, 10 и 4. Наименьшее общее кратное равно 60.
$-\frac{10 \cdot 20}{3 \cdot 20} + \frac{3 \cdot 6}{10 \cdot 6} - \frac{1 \cdot 15}{4 \cdot 15} + \frac{4 \cdot 60}{60} = -\frac{200}{60} + \frac{18}{60} - \frac{15}{60} + \frac{240}{60} = \frac{-200+18-15+240}{60} = \frac{43}{60}$.

Ответ: $\frac{43}{60}$

в)

Сначала выполним действия в скобках, затем деление и сложение:
1) Действие в первой скобке: $\frac{2}{5}-\frac{3}{2}$. Общий знаменатель 10.
$\frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{3 \cdot 5}{10} = \frac{4-15}{10} = -\frac{11}{10}$.
2) Действие во второй скобке: $\frac{3}{4}+\frac{5}{6}$. Общий знаменатель 12.
$\frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{5 \cdot 2}{12} = \frac{9+10}{12} = \frac{19}{12}$.
3) Первое деление: $\frac{11}{4} : (-\frac{11}{10}) = \frac{11}{4} \cdot (-\frac{10}{11}) = -\frac{11 \cdot 10}{4 \cdot 11} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$.
4) Второе деление: $\frac{19}{12} : (-\frac{25}{8}) = \frac{19}{12} \cdot (-\frac{8}{25}) = -\frac{19 \cdot 8}{12 \cdot 25} = -\frac{19 \cdot 2}{3 \cdot 25} = -\frac{38}{75}$.
5) Сложим результаты: $-\frac{5}{2} + (-\frac{38}{75}) = -\frac{5}{2} - \frac{38}{75}$.
Общий знаменатель для 2 и 75 равен 150.
$-\frac{5 \cdot 75}{150} - \frac{38 \cdot 2}{150} = -\frac{375}{150} - \frac{76}{150} = \frac{-375-76}{150} = -\frac{451}{150} = -3\frac{1}{150}$.

Ответ: $-3\frac{1}{150}$

г)

Выполним действия по порядку:
1) Сложение в первой скобке: $\frac{2}{15}+\frac{19}{12}$. Общий знаменатель 60.
$\frac{2 \cdot 4}{60} + \frac{19 \cdot 5}{60} = \frac{8+95}{60} = \frac{103}{60}$.
2) Умножение результата первого действия: $(\frac{103}{60}) \cdot \frac{30}{103} = \frac{103 \cdot 30}{60 \cdot 103} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$.
3) Деление во второй части выражения: $1:\frac{9}{4} = 1 \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{9}$.
4) Умножение во второй части выражения: $(\frac{4}{9}) \cdot (-\frac{9}{16}) = -\frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 16} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$.
5) Вычитание результатов: $\frac{1}{2} - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$.
Приведем к общему знаменателю 4: $\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$