Страница 157 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.148. Определите без вычислений, значение какого выражения больше:

а) $4\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{7}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3}{19}\right)$ или $5\frac{7}{9} : \left(-\frac{4}{17}\right) : \frac{8}{13}$;

б) $\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)$ или $\left(-\frac{1}{4}\right) : \left(-\frac{1}{2}\right) : \frac{1}{3}$;

в) $\left(-1\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-2\frac{2}{7}\right) \cdot \left(-3\frac{3}{5}\right)$ или $\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{10}\right) \cdot \left(-\frac{1}{100}\right)$.

а) Сравним выражения $4\frac{1}{2} \cdot (-\frac{7}{5}) \cdot (-\frac{3}{19})$ и $5\frac{7}{9} : (-\frac{4}{17}) : \frac{8}{13}$.

1. Определим знак первого выражения. Оно является произведением одного положительного числа ($4\frac{1}{2}$) и двух отрицательных чисел ($(–\frac{7}{5})$ и $(–\frac{3}{19})$). Произведение двух отрицательных чисел положительно ("минус на минус дает плюс"), поэтому итоговый результат будет положительным.

2. Определим знак второго выражения. Это частное от деления положительного числа ($5\frac{7}{9}$) на отрицательное ($(–\frac{4}{17})$), а затем на положительное ($\frac{8}{13}$). Деление положительного числа на отрицательное дает отрицательный результат. Последующее деление этого отрицательного результата на положительное число также дает отрицательный результат.

3. Сравниваем результаты. Первое выражение имеет положительное значение, а второе — отрицательное. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного.

Ответ: значение выражения $4\frac{1}{2} \cdot (-\frac{7}{5}) \cdot (-\frac{3}{19})$ больше.

б) Сравним выражения $(-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{4})$ и $(-\frac{1}{4}) : (-\frac{1}{2}) : \frac{1}{3}$.

1. Определим знак первого выражения. Оно является произведением трех отрицательных чисел. Произведение нечетного числа (трех) отрицательных сомножителей является отрицательным числом. Значит, значение первого выражения отрицательно.

2. Определим знак второго выражения. Сначала отрицательное число ($(–\frac{1}{4})$) делится на отрицательное ($(–\frac{1}{2})$), что дает положительный результат. Затем этот положительный результат делится на положительное число ($\frac{1}{3}$), и итоговый результат остается положительным.

3. Сравниваем результаты. Первое выражение отрицательно, а второе положительно. Любое положительное число больше любого отрицательного.

Ответ: значение выражения $(-\frac{1}{4}) : (-\frac{1}{2}) : \frac{1}{3}$ больше.

в) Сравним выражения $(-1\frac{1}{3}) \cdot (-2\frac{2}{7}) \cdot (-3\frac{3}{5})$ и $(-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{10}) \cdot (-\frac{1}{100})$.

1. Определим знаки выражений. В обоих случаях мы имеем произведение трех отрицательных чисел. Произведение нечетного числа отрицательных сомножителей является отрицательным. Следовательно, значения обоих выражений отрицательны.

2. Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Большим будет то отрицательное число, модуль которого меньше.

3. Найдем модуль первого выражения: $|(-1\frac{1}{3}) \cdot (-2\frac{2}{7}) \cdot (-3\frac{3}{5})| = 1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{2}{7} \cdot 3\frac{3}{5}$.
Каждый из множителей больше 1 ($1\frac{1}{3} > 1$, $2\frac{2}{7} > 2$ и $3\frac{3}{5} > 3$), следовательно, их произведение будет больше, чем $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Модуль первого выражения больше 6.

4. Найдем модуль второго выражения: $|(-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{10}) \cdot (-\frac{1}{100})| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{100} = \frac{1}{2000}$.
Модуль второго выражения - это правильная дробь, значение которой меньше 1.

5. Сравним модули: модуль первого выражения больше 6, а модуль второго равен $\frac{1}{2000}$. Так как оба исходных числа отрицательны, то больше то, чей модуль меньше. Поскольку $|(-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{10}) \cdot (-\frac{1}{100})| < |(-1\frac{1}{3}) \cdot (-2\frac{2}{7}) \cdot (-3\frac{3}{5})|$, то значение второго выражения больше.

Ответ: значение выражения $(-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{10}) \cdot (-\frac{1}{100})$ больше.

4.149. Вычислите степень, предварительно указав основание и показатель степени:

а) $\left(-\frac{1}{2}\right)^2$;

б) $\left(-\frac{1}{2}\right)^3$;

в) $\left(-\frac{1}{3}\right)^2$;

г) $\left(-\frac{1}{3}\right)^3$.

а) В выражении $(-\frac{1}{2})^2$ основание степени равно $-\frac{1}{2}$, а показатель степени равен $2$.

Чтобы вычислить значение степени, нужно основание умножить само на себя столько раз, сколько указывает показатель. Так как показатель степени — четное число ($2$), результат возведения отрицательного числа в степень будет положительным.

$(-\frac{1}{2})^2 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) В выражении $(-\frac{1}{2})^3$ основание степени равно $-\frac{1}{2}$, а показатель степени равен $3$.

Так как показатель степени — нечетное число ($3$), результат возведения отрицательного основания в степень будет отрицательным.

$(-\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = -(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

в) В выражении $(-\frac{1}{3})^2$ основание степени равно $-\frac{1}{3}$, а показатель степени равен $2$.

Показатель степени — четное число ($2$), поэтому результат возведения отрицательного числа в степень будет положительным.

$(-\frac{1}{3})^2 = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

г) В выражении $(-\frac{1}{3})^3$ основание степени равно $-\frac{1}{3}$, а показатель степени равен $3$.

Показатель степени — нечетное число ($3$), поэтому результат возведения отрицательного основания в степень будет отрицательным.

$(-\frac{1}{3})^3 = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{3}) = -(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) = -\frac{1^3}{3^3} = -\frac{1}{27}$.

Ответ: $-\frac{1}{27}$.

4.150. Сравните с нулём, затем вычислите:

а) $ (-\frac{3}{4})^3 $;

б) $ (-\frac{1}{2})^5 $;

в) $ (-\frac{2}{3})^4 $;

г) $ (-\frac{4}{5})^3 $.

а)

Сначала сравним выражение $(-\frac{3}{4})^3$ с нулём. Основание степени $(-\frac{3}{4})$ является отрицательным числом, а показатель степени $3$ — нечётным. При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат будет отрицательным. Следовательно, $(-\frac{3}{4})^3 < 0$.

Теперь вычислим значение выражения:
$(-\frac{3}{4})^3 = (-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{3}{4}) = -(\frac{3^3}{4^3}) = -\frac{27}{64}$.

Ответ: $(-\frac{3}{4})^3 < 0$; $(-\frac{3}{4})^3 = -\frac{27}{64}$.

б)

Сравним выражение $(-\frac{1}{2})^5$ с нулём. Основание степени $(-\frac{1}{2})$ — отрицательное число, а показатель степени $5$ — нечётное число. Результат возведения отрицательного числа в нечётную степень будет отрицательным. Таким образом, $(-\frac{1}{2})^5 < 0$.

Вычислим значение:
$(-\frac{1}{2})^5 = -(\frac{1^5}{2^5}) = -\frac{1}{32}$.

Ответ: $(-\frac{1}{2})^5 < 0$; $(-\frac{1}{2})^5 = -\frac{1}{32}$.

в)

Сравним выражение $(-\frac{2}{3})^4$ с нулём. Основание степени $(-\frac{2}{3})$ — отрицательное число, а показатель степени $4$ — чётное число. При возведении отрицательного числа в чётную степень результат будет положительным. Значит, $(-\frac{2}{3})^4 > 0$.

Вычислим значение:
$(-\frac{2}{3})^4 = (\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$.

Ответ: $(-\frac{2}{3})^4 > 0$; $(-\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$.

г)

Сравним выражение $(-\frac{4}{5})^3$ с нулём. Основание степени $(-\frac{4}{5})$ — отрицательное число, а показатель степени $3$ — нечётное число. Результат будет отрицательным. Следовательно, $(-\frac{4}{5})^3 < 0$.

Вычислим значение:
$(-\frac{4}{5})^3 = -(\frac{4}{5})^3 = -\frac{4^3}{5^3} = -\frac{64}{125}$.

Ответ: $(-\frac{4}{5})^3 < 0$; $(-\frac{4}{5})^3 = -\frac{64}{125}$.

Вычислите (4.151–4.154):

4.151. а) $3\frac{2}{3} : \frac{-11}{12}$;

б) $\frac{8}{15} : \frac{16}{-25}$;

в) $\frac{-7}{9} : 2\frac{1}{3}$;

г) $\frac{-9}{-16} : 1\frac{13}{32}$;

д) $-1\frac{1}{3} : \frac{2}{3}$;

е) $\frac{7}{8} : \left( -1\frac{5}{8} \right)$;

ж) $-\frac{4}{5} : \left( -1\frac{1}{5} \right)$;

з) $-\frac{4}{3} : \left( -1\frac{5}{6} \right)$;

и) $4 : \left( -1\frac{1}{3} \right)$;

к) $\left( -2\frac{2}{5} \right) : 10$;

л) $-6 : 3\frac{3}{5}$;

м) $-2\frac{5}{7} : (-38).$

а) Чтобы разделить смешанное число на дробь, сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь (перевернутую):
$3\frac{2}{3} : \frac{-11}{12} = \frac{11}{3} : \frac{-11}{12} = \frac{11}{3} \cdot \frac{12}{-11}$
Сократим общие множители (11) в числителе и знаменателе:
$\frac{11}{3} \cdot \frac{12}{-11} = \frac{1 \cdot 12}{3 \cdot (-1)} = \frac{12}{-3} = -4$
Ответ: $-4$.

б) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$\frac{8}{15} : \frac{16}{-25} = \frac{8}{15} \cdot \frac{-25}{16}$
Выполним умножение, предварительно сократив дроби. 8 и 16 сокращаются на 8; 15 и -25 сокращаются на 5:
$\frac{8}{15} \cdot \frac{-25}{16} = \frac{8^1}{15_3} \cdot \frac{-25^{-5}}{16_2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{-5}{2} = \frac{1 \cdot (-5)}{3 \cdot 2} = -\frac{5}{6}$
Ответ: $-\frac{5}{6}$.

в) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
Теперь выполним деление дробей, заменив его на умножение на обратную дробь:
$\frac{-7}{9} : 2\frac{1}{3} = \frac{-7}{9} : \frac{7}{3} = \frac{-7}{9} \cdot \frac{3}{7}$
Сократим общие множители (7 и 3):
$\frac{-7^1}{9_3} \cdot \frac{3^1}{7_1} = \frac{-1}{3} \cdot \frac{1}{1} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

г) Упростим первую дробь (минус на минус дает плюс) и преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$\frac{-9}{-16} = \frac{9}{16}$
$1\frac{13}{32} = \frac{1 \cdot 32 + 13}{32} = \frac{45}{32}$
Выполним деление:
$\frac{9}{16} : \frac{45}{32} = \frac{9}{16} \cdot \frac{32}{45}$
Сократим дроби (9 и 45 на 9; 16 и 32 на 16):
$\frac{9^1}{16_1} \cdot \frac{32^2}{45_5} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$
Ответ: $\frac{2}{5}$.

д) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$
Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$-1\frac{1}{3} : \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} : \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}$
Сократим общие множители:
$-\frac{4^2}{3_1} \cdot \frac{3^1}{2_1} = -\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{1} = -2$
Ответ: $-2$.

е) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$-1\frac{5}{8} = -\frac{1 \cdot 8 + 5}{8} = -\frac{13}{8}$
Выполним деление:
$\frac{7}{8} : (-1\frac{5}{8}) = \frac{7}{8} : (-\frac{13}{8}) = \frac{7}{8} \cdot (-\frac{8}{13})$
Сократим общий множитель 8:
$\frac{7}{8_1} \cdot (-\frac{8^1}{13}) = \frac{7}{1} \cdot (-\frac{1}{13}) = -\frac{7}{13}$
Ответ: $-\frac{7}{13}$.

ж) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь. При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным.
$-1\frac{1}{5} = -\frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = -\frac{6}{5}$
$-\frac{4}{5} : (-1\frac{1}{5}) = -\frac{4}{5} : (-\frac{6}{5}) = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}$
Сократим общий множитель 5, а также 4 и 6 на 2:
$\frac{4^2}{5_1} \cdot \frac{5^1}{6_3} = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$.

з) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь. При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным.
$-1\frac{5}{6} = -\frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = -\frac{11}{6}$
$-\frac{4}{3} : (-1\frac{5}{6}) = -\frac{4}{3} : (-\frac{11}{6}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{11}$
Сократим 3 и 6 на 3:
$\frac{4}{3_1} \cdot \frac{6^2}{11} = \frac{4 \cdot 2}{1 \cdot 11} = \frac{8}{11}$
Ответ: $\frac{8}{11}$.

и) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$
Чтобы разделить целое число на дробь, представим целое число как дробь со знаменателем 1 и умножим на обратную дробь:
$4 : (-1\frac{1}{3}) = 4 : (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{1} \cdot (-\frac{3}{4})$
Сократим общий множитель 4:
$\frac{4^1}{1} \cdot (-\frac{3}{4_1}) = \frac{1}{1} \cdot (-\frac{3}{1}) = -3$
Ответ: $-3$.

к) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$-2\frac{2}{5} = -\frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = -\frac{12}{5}$
Чтобы разделить дробь на целое число, нужно умножить эту дробь на число, обратное делителю (т.е. на 1/10):
$(-2\frac{2}{5}) : 10 = -\frac{12}{5} : 10 = -\frac{12}{5} \cdot \frac{1}{10}$
Умножим дроби и сократим результат на 2:
$-\frac{12 \cdot 1}{5 \cdot 10} = -\frac{12}{50} = -\frac{6}{25}$
Ответ: $-\frac{6}{25}$.

л) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5}$
Выполним деление целого числа на дробь:
$-6 : 3\frac{3}{5} = -6 : \frac{18}{5} = -\frac{6}{1} \cdot \frac{5}{18}$
Сократим 6 и 18 на 6:
$-\frac{6^1}{1} \cdot \frac{5}{18_3} = -\frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 3} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$
Ответ: $-1\frac{2}{3}$.

м) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь. При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным.
$-2\frac{5}{7} = -\frac{2 \cdot 7 + 5}{7} = -\frac{19}{7}$
Выполним деление:
$-2\frac{5}{7} : (-38) = \frac{19}{7} : 38 = \frac{19}{7} \cdot \frac{1}{38}$
Сократим 19 и 38 на 19:
$\frac{19^1}{7} \cdot \frac{1}{38_2} = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{14}$
Ответ: $\frac{1}{14}$.

4.152. a) $1\frac{1}{2} : \left(-1\frac{1}{6}\right);$

б) $-2\frac{1}{3} : \left(-1\frac{5}{6}\right);$

в) $-1\frac{1}{3} : 2\frac{7}{8};$

г) $-2\frac{1}{8} : \left(-3\frac{1}{16}\right);$

д) $1\frac{13}{15} : \left(-1\frac{2}{5}\right);$

е) $\left(-2\frac{2}{21}\right) : \left(-1\frac{4}{7}\right).$

а) $1\frac{1}{2} : (-1\frac{1}{6})$

Для выполнения деления смешанных чисел, сначала преобразуем их в неправильные дроби.

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

$-1\frac{1}{6} = -(\frac{1 \cdot 6 + 1}{6}) = -\frac{7}{6}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{3}{2} : (-\frac{7}{6}) = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{6}{7})$

При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.

$-(\frac{3}{2} \cdot \frac{6}{7}) = -(\frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 7}) = -(\frac{18}{14})$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$-\frac{18 \div 2}{14 \div 2} = -\frac{9}{7}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7}$

Ответ: $-1\frac{2}{7}$

б) $-2\frac{1}{3} : (-1\frac{5}{6})$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$-2\frac{1}{3} = -(\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{7}{3}$

$-1\frac{5}{6} = -(\frac{1 \cdot 6 + 5}{6}) = -\frac{11}{6}$

Выполним деление. При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным.

$(-\frac{7}{3}) : (-\frac{11}{6}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{6}{11} = \frac{7 \cdot 6}{3 \cdot 11}$

Сократим дробь на 3:

$\frac{7 \cdot (2 \cdot 3)}{3 \cdot 11} = \frac{7 \cdot 2}{11} = \frac{14}{11}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{14}{11} = 1\frac{3}{11}$

Ответ: $1\frac{3}{11}$

в) $-1\frac{1}{3} : 2\frac{7}{8}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$-1\frac{1}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{4}{3}$

$2\frac{7}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{23}{8}$

Выполним деление. При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным.

$(-\frac{4}{3}) : (\frac{23}{8}) = -\frac{4}{3} \cdot \frac{8}{23} = -(\frac{4 \cdot 8}{3 \cdot 23}) = -\frac{32}{69}$

Дробь является правильной и несократимой.

Ответ: $-\frac{32}{69}$

г) $-2\frac{1}{8} : (-3\frac{1}{16})$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$-2\frac{1}{8} = -(\frac{2 \cdot 8 + 1}{8}) = -\frac{17}{8}$

$-3\frac{1}{16} = -(\frac{3 \cdot 16 + 1}{16}) = -\frac{49}{16}$

Выполним деление. При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным.

$(-\frac{17}{8}) : (-\frac{49}{16}) = \frac{17}{8} \cdot \frac{16}{49} = \frac{17 \cdot 16}{8 \cdot 49}$

Сократим дробь на 8:

$\frac{17 \cdot (2 \cdot 8)}{8 \cdot 49} = \frac{17 \cdot 2}{49} = \frac{34}{49}$

Дробь является правильной и несократимой.

Ответ: $\frac{34}{49}$

д) $1\frac{13}{15} : (-1\frac{2}{5})$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$1\frac{13}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 13}{15} = \frac{28}{15}$

$-1\frac{2}{5} = -(\frac{1 \cdot 5 + 2}{5}) = -\frac{7}{5}$

Выполним деление. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.

$\frac{28}{15} : (-\frac{7}{5}) = -(\frac{28}{15} \cdot \frac{5}{7}) = -(\frac{28 \cdot 5}{15 \cdot 7})$

Сократим числитель и знаменатель: 28 и 7 на 7, 5 и 15 на 5.

$-(\frac{(4 \cdot 7) \cdot 5}{(3 \cdot 5) \cdot 7}) = -(\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1}) = -\frac{4}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$

Ответ: $-1\frac{1}{3}$

е) $(-2\frac{2}{21}) : (-1\frac{4}{7})$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$-2\frac{2}{21} = -(\frac{2 \cdot 21 + 2}{21}) = -\frac{44}{21}$

$-1\frac{4}{7} = -(\frac{1 \cdot 7 + 4}{7}) = -\frac{11}{7}$

Выполним деление. При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным.

$(-\frac{44}{21}) : (-\frac{11}{7}) = \frac{44}{21} \cdot \frac{7}{11} = \frac{44 \cdot 7}{21 \cdot 11}$

Сократим числитель и знаменатель: 44 и 11 на 11, 7 и 21 на 7.

$\frac{(4 \cdot 11) \cdot 7}{(3 \cdot 7) \cdot 11} = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Ответ: $1\frac{1}{3}$

4.153. a) $7 \frac{2}{9} \cdot 8 \frac{2}{3} - 7 \frac{2}{9} \cdot 6 \frac{2}{3};$

б) $12 \frac{35}{44} \cdot 4 \frac{1}{10} - 8 \frac{35}{44} \cdot 4 \frac{1}{10};$

в) $7 \frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{5} + 7 \frac{1}{3} \cdot 1 \frac{4}{5};$

г) $\left(-3 \frac{1}{9}\right) \cdot 7 \frac{4}{7} + \left(-3 \frac{1}{9}\right) \cdot \left(-2 \frac{3}{7}\right);$

д) $2 \frac{6}{7} \cdot 4 \frac{2}{5} - 2 \frac{6}{7} \cdot 4;$

е) $\left(-2 \frac{3}{7}\right) \cdot (-5) + 2 \frac{3}{7} \cdot \left(-2 \frac{2}{3}\right).$

а) $7\frac{2}{9} \cdot 8\frac{2}{3} - 7\frac{2}{9} \cdot 6\frac{2}{3}$

Вынесем общий множитель $7\frac{2}{9}$ за скобки, используя распределительное свойство умножения:

$7\frac{2}{9} \cdot (8\frac{2}{3} - 6\frac{2}{3}) = 7\frac{2}{9} \cdot 2$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и выполним умножение:

$\frac{7 \cdot 9 + 2}{9} \cdot 2 = \frac{65}{9} \cdot 2 = \frac{130}{9} = 14\frac{4}{9}$.

Ответ: $14\frac{4}{9}$.

б) $12\frac{35}{44} \cdot 4\frac{1}{10} - 8\frac{35}{44} \cdot 4\frac{1}{10}$

Вынесем общий множитель $4\frac{1}{10}$ за скобки:

$(12\frac{35}{44} - 8\frac{35}{44}) \cdot 4\frac{1}{10} = 4 \cdot 4\frac{1}{10}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и выполним умножение:

$4 \cdot \frac{4 \cdot 10 + 1}{10} = 4 \cdot \frac{41}{10} = \frac{164}{10} = \frac{82}{5} = 16\frac{2}{5}$.

Ответ: $16\frac{2}{5}$.

в) $7\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{5} + 7\frac{1}{3} \cdot 1\frac{4}{5}$

Вынесем общий множитель $7\frac{1}{3}$ за скобки:

$7\frac{1}{3} \cdot (2\frac{1}{5} + 1\frac{4}{5}) = 7\frac{1}{3} \cdot (3 + \frac{5}{5}) = 7\frac{1}{3} \cdot 4$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и выполним умножение:

$\frac{7 \cdot 3 + 1}{3} \cdot 4 = \frac{22}{3} \cdot 4 = \frac{88}{3} = 29\frac{1}{3}$.

Ответ: $29\frac{1}{3}$.

г) $(-3\frac{1}{9}) \cdot 7\frac{4}{7} + (-3\frac{1}{9}) \cdot (-2\frac{3}{7})$

Вынесем общий множитель $(-3\frac{1}{9})$ за скобки:

$(-3\frac{1}{9}) \cdot (7\frac{4}{7} + (-2\frac{3}{7})) = (-3\frac{1}{9}) \cdot (7\frac{4}{7} - 2\frac{3}{7}) = (-3\frac{1}{9}) \cdot 5\frac{1}{7}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и выполним умножение, предварительно сократив:

$-\frac{3 \cdot 9 + 1}{9} \cdot \frac{5 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{28}{9} \cdot \frac{36}{7} = -\frac{\cancel{28}^4 \cdot \cancel{36}^4}{\cancel{9}_1 \cdot \cancel{7}_1} = -4 \cdot 4 = -16$.

Ответ: -16.

д) $2\frac{6}{7} \cdot 4\frac{2}{5} - 2\frac{6}{7} \cdot 4$

Вынесем общий множитель $2\frac{6}{7}$ за скобки:

$2\frac{6}{7} \cdot (4\frac{2}{5} - 4) = 2\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{5}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и выполним умножение:

$\frac{2 \cdot 7 + 6}{7} \cdot \frac{2}{5} = \frac{20}{7} \cdot \frac{2}{5} = \frac{\cancel{20}^4 \cdot 2}{7 \cdot \cancel{5}_1} = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7}$.

Ответ: $1\frac{1}{7}$.

е) $(-2\frac{3}{7}) \cdot (-5) + 2\frac{3}{7} \cdot (-2\frac{2}{3})$

Упростим первое произведение, так как произведение двух отрицательных чисел положительно: $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$.

$2\frac{3}{7} \cdot 5 + 2\frac{3}{7} \cdot (-2\frac{2}{3})$

Вынесем общий множитель $2\frac{3}{7}$ за скобки:

$2\frac{3}{7} \cdot (5 + (-2\frac{2}{3})) = 2\frac{3}{7} \cdot (5 - 2\frac{2}{3}) = 2\frac{3}{7} \cdot (4\frac{3}{3} - 2\frac{2}{3}) = 2\frac{3}{7} \cdot 2\frac{1}{3}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и выполним умножение:

$\frac{2 \cdot 7 + 3}{7} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{17}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{17 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot 3} = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3}$.

Ответ: $5\frac{2}{3}$.

4.154. a) $7\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) + \left(-1\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{9}{10}\right) - 17\frac{29}{30};$

б) $\left(-2\frac{13}{25}\right) : \left(-2\frac{7}{10}\right) - 17\frac{25}{47} : \left(-17\frac{25}{47}\right) - 4\frac{3}{5}.$

а) $7\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{5}) + (-1\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{9}{10}) - 17\frac{29}{30}$

Решим пример по действиям, соблюдая порядок: сначала умножение, затем сложение и вычитание.

1. Выполним первое умножение. Для этого переведем смешанное число в неправильную дробь:

$7\frac{1}{2} = \frac{7 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{15}{2}$

$\frac{15}{2} \cdot (-\frac{1}{5}) = -\frac{15 \cdot 1}{2 \cdot 5} = -\frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = -\frac{3}{2}$

2. Выполним второе умножение. Также переведем смешанное число в неправильную дробь. Произведение двух отрицательных чисел положительно:

$-1\frac{2}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 2}{3}) = -\frac{5}{3}$

$(-\frac{5}{3}) \cdot (-\frac{9}{10}) = \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 10} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{3}{2}$

3. Подставим результаты в исходное выражение:

$-\frac{3}{2} + \frac{3}{2} - 17\frac{29}{30}$

4. Сложим первые два слагаемых:

$-\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0$

5. Выполним вычитание:

$0 - 17\frac{29}{30} = -17\frac{29}{30}$

Ответ: $-17\frac{29}{30}$

б) $(-2\frac{13}{25}) : (-2\frac{7}{10}) - 17\frac{25}{47} : (-17\frac{25}{47}) - 4\frac{3}{5}$

Решим пример по действиям: сначала деление, затем вычитание.

1. Выполним первое деление. Переведем смешанные числа в неправильные дроби. Деление двух отрицательных чисел дает положительный результат. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$-2\frac{13}{25} = -(\frac{2 \cdot 25 + 13}{25}) = -\frac{63}{25}$

$-2\frac{7}{10} = -(\frac{2 \cdot 10 + 7}{10}) = -\frac{27}{10}$

$(-\frac{63}{25}) : (-\frac{27}{10}) = \frac{63}{25} \cdot \frac{10}{27} = \frac{63 \cdot 10}{25 \cdot 27} = \frac{(7 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 5)}{(5 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 9)} = \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \frac{14}{15}$

2. Выполним второе деление. Деление числа на само себя с противоположным знаком всегда дает в результате -1:

$17\frac{25}{47} : (-17\frac{25}{47}) = -1$

3. Подставим полученные значения в выражение:

$\frac{14}{15} - (-1) - 4\frac{3}{5} = \frac{14}{15} + 1 - 4\frac{3}{5}$

4. Выполним сложение и вычитание. Переведем смешанное число в неправильную дробь и приведем все к общему знаменателю 15:

$4\frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{23}{5}$

$\frac{14}{15} + 1 - \frac{23}{5} = \frac{14}{15} + \frac{15}{15} - \frac{23 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{14}{15} + \frac{15}{15} - \frac{69}{15}$

$\frac{14 + 15 - 69}{15} = \frac{29 - 69}{15} = -\frac{40}{15}$

5. Сократим полученную дробь и, если возможно, выделим целую часть:

$-\frac{40}{15} = -\frac{40:5}{15:5} = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$

Ответ: $-2\frac{2}{3}$