Страница 161 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.157. Что называют средним арифметическим нескольких чисел?
Приведите пример.

Что называют средним арифметическим нескольких чисел?

Средним арифметическим нескольких чисел называют число, равное частному от деления суммы этих чисел на их количество. Это значение показывает "центральную тенденцию" или "среднее" значение для данного набора чисел.

Если имеется набор из $n$ чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$, то их среднее арифметическое, которое часто обозначают как $M$ или $\bar{x}$, вычисляется по формуле:

$M = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$

Ответ: Среднее арифметическое нескольких чисел – это сумма всех чисел, разделенная на их количество.

Приведите пример.

Найдем среднее арифметическое для набора из четырех чисел: 3, 5, 8, 10.

1. Сначала необходимо найти сумму всех чисел в наборе:

$3 + 5 + 8 + 10 = 26$

2. Затем нужно посчитать количество чисел в наборе. В данном случае их 4.

3. Наконец, разделим сумму на количество чисел:

$M = \frac{26}{4} = 6,5$

Таким образом, среднее арифметическое чисел 3, 5, 8 и 10 равно 6,5.

Ответ: Среднее арифметическое чисел 3, 5, 8 и 10 равно 6,5.

4.158. Изобразите на координатной прямой с единичным отрезком 8 см точки:

$0, \frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}, \frac{7}{8}, \frac{8}{8}, \frac{9}{8}, \frac{10}{8}, \frac{11}{8}, \frac{12}{8}$.

Для решения этой задачи необходимо изобразить координатную прямую и отметить на ней заданные точки.

1. Начертите горизонтальную прямую. Выберите на ней точку отсчета и обозначьте ее цифрой 0.

2. По условию, единичный отрезок равен 8 см. Это расстояние от точки 0 до точки 1. Отложите от точки 0 вправо 8 см и поставьте отметку, обозначающую точку 1.

3. Заданные точки имеют координаты в виде дробей со знаменателем 8: $\frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}$ и так далее. Это означает, что единичный отрезок (от 0 до 1) необходимо разделить на 8 равных частей. Так как длина единичного отрезка составляет 8 см, длина каждой из этих частей будет равна $8 \text{ см} \div 8 = 1 \text{ см}$.

4. Таким образом, чтобы отметить точку с координатой $\frac{n}{8}$, нужно отступить от начала отсчета (точки 0) вправо на $n$ сантиметров.

Расположение точек будет следующим:
• Точка с координатой 0 находится в начале отсчета.
• Точка с координатой $\frac{1}{8}$ находится на расстоянии 1 см от 0.
• Точка с координатой $\frac{2}{8}$ находится на расстоянии 2 см от 0.
• Точка с координатой $\frac{3}{8}$ находится на расстоянии 3 см от 0.
• Точка с координатой $\frac{4}{8}$ (или $\frac{1}{2}$) находится на расстоянии 4 см от 0.
• Точка с координатой $\frac{5}{8}$ находится на расстоянии 5 см от 0.
• Точка с координатой $\frac{6}{8}$ (или $\frac{3}{4}$) находится на расстоянии 6 см от 0.
• Точка с координатой $\frac{7}{8}$ находится на расстоянии 7 см от 0.
• Точка с координатой $\frac{8}{8}$ (или 1) находится на расстоянии 8 см от 0.
• Точка с координатой $\frac{9}{8}$ (или $1\frac{1}{8}$) находится на расстоянии 9 см от 0.
• Точка с координатой $\frac{10}{8}$ (или $1\frac{1}{4}$) находится на расстоянии 10 см от 0.
• Точка с координатой $\frac{11}{8}$ (или $1\frac{3}{8}$) находится на расстоянии 11 см от 0.
• Точка с координатой $\frac{12}{8}$ (или $1\frac{1}{2}$) находится на расстоянии 12 см от 0.

Ответ: Для построения нужно начертить координатную прямую, отметить на ней точку 0, а затем, двигаясь вправо, ставить отметки через каждый 1 см. Первая отметка будет соответствовать точке $\frac{1}{8}$, вторая — $\frac{2}{8}$, и так далее, до двенадцатой отметки, которая будет соответствовать точке $\frac{12}{8}$.

4.159. Изобразите на координатной прямой точки:

$0$, $\frac{1}{6}$, $\frac{2}{6}$, $\frac{3}{6}$, $\frac{4}{6}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{6}{6}$, $\frac{7}{6}$, $\frac{8}{6}$, $\frac{9}{6}$, $\frac{10}{6}$, $\frac{11}{6}$, $\frac{12}{6}$.

Какой единичный отрезок удобно взять?

Чтобы выполнить задание, сначала ответим на вопрос о выборе единичного отрезка, так как это необходимо для построения, а затем изобразим точки на координатной прямой.

Какой единичный отрезок удобно взять?

Нам необходимо отметить на координатной прямой точки, координаты которых выражены дробями со знаменателем 6: $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots, \frac{12}{6}$. Для удобства и точности построения следует выбрать такой единичный отрезок (расстояние на прямой от 0 до 1), который легко делится на 6 равных частей. Наиболее удобным вариантом будет длина, кратная 6. Например, можно взять единичный отрезок длиной 6 клеток в тетради или 6 сантиметров. В этом случае каждая шестая часть ($\frac{1}{6}$) будет соответствовать 1 клетке или 1 сантиметру, что позволяет легко и точно нанести все точки.

Ответ: Удобно взять единичный отрезок, длина которого равна 6 клеткам тетради или 6 см (или любая другая длина, кратная 6).

Изобразите на координатной прямой точки

1. Начертим координатную прямую (горизонтальный луч, идущий вправо) и отметим на ней точку отсчета 0.

2. Выберем единичный отрезок. Согласно предыдущему пункту, возьмем его равным 6 условным единицам (например, 6 клеткам). Отложим от точки 0 вправо 6 клеток и поставим метку 1. Это будет точка с координатой $\frac{6}{6}$. Отложим еще 6 клеток вправо от точки 1 и поставим метку 2. Это будет точка с координатой $\frac{12}{6}$.

3. Теперь отметим все заданные точки. Поскольку одна шестая часть отрезка равна одной клетке, мы будем откладывать от нуля соответствующее количество клеток для каждой точки:
- Точка $\frac{1}{6}$ находится на расстоянии 1 клетки от 0.
- Точка $\frac{2}{6}$ находится на расстоянии 2 клеток от 0.
- Точка $\frac{3}{6}$ (или $\frac{1}{2}$) находится на расстоянии 3 клеток от 0.
- И так далее до точки $\frac{11}{6}$, которая находится на расстоянии 11 клеток от 0 (или 5 клеток от 1).
- Точки 0, 1 ($\frac{6}{6}$) и 2 ($\frac{12}{6}$) совпадают с основными делениями на прямой.

Ответ: Координатная прямая с отмеченными точками будет выглядеть следующим образом:

4.160. Выберите удобный единичный отрезок и отметьте на координатной прямой точки:

а) 0, 1, 2, 3, $\frac{1}{2}$, $1\frac{1}{2}$;

б) 0, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, 2, $2\frac{1}{4}$, $2\frac{1}{2}$, $2\frac{3}{4}$.

Чтобы отметить на координатной прямой точки с координатами 0, 1, 2, 3, $ \frac{1}{2} $ и $ 1\frac{1}{2} $, нужно выбрать удобный единичный отрезок. Поскольку в задании есть дроби со знаменателем 2, удобно взять единичный отрезок, который легко делится на 2. Возьмем за единичный отрезок 2 клетки тетради.

Начертим координатную прямую, отметим на ней начало отсчета — точку 0.
- Единичный отрезок равен 2 клеткам, значит, точка 1 будет находиться на расстоянии 2 клеток вправо от 0.
- Точка 2 будет находиться на расстоянии $ 2 \times 2 = 4 $ клетки от 0.
- Точка 3 будет находиться на расстоянии $ 3 \times 2 = 6 $ клеток от 0.
- Точка $ \frac{1}{2} $ — это половина единичного отрезка, то есть 1 клетка вправо от 0. Она будет расположена ровно посередине между 0 и 1.
- Точка $ 1\frac{1}{2} $ — это один целый единичный отрезок и еще половина. Ее положение: $ 1 \times 2 + 1 = 3 $ клетки вправо от 0. Она будет расположена ровно посередине между 1 и 2.

Ответ: На координатной прямой, где единичный отрезок равен 2 клеткам, точки располагаются следующим образом: 0 (в начале координат), $ \frac{1}{2} $ (через 1 клетку от 0), 1 (через 2 клетки от 0), $ 1\frac{1}{2} $ (через 3 клетки от 0), 2 (через 4 клетки от 0), 3 (через 6 клеток от 0).

В данном наборе точек 0, $ \frac{1}{4} $, $ \frac{1}{2} $, $ \frac{3}{4} $, 2, $ 2\frac{1}{4} $, $ 2\frac{1}{2} $, $ 2\frac{3}{4} $ присутствуют дроби со знаменателями 2 и 4. Для удобства построения выберем единичный отрезок, который делится на 4 (так как 4 является наименьшим общим кратным для знаменателей 2 и 4). Пусть единичный отрезок будет равен 4 клеткам.

Начертим координатную прямую и отметим на ней начало отсчета — точку 0.
- Дробь $ \frac{1}{4} $ будет соответствовать 1 клетке ($ \frac{1}{4} $ от 4 клеток).
- Дробь $ \frac{1}{2} $ приведем к знаменателю 4: $ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} $. Эта точка будет соответствовать 2 клеткам от 0.
- Дробь $ \frac{3}{4} $ будет соответствовать 3 клеткам от 0.
- Целое число 2 будет находиться на расстоянии $ 2 \times 4 = 8 $ клеток от 0.
- Точка $ 2\frac{1}{4} $ будет находиться на расстоянии $ 8 + 1 = 9 $ клеток от 0.
- Точка $ 2\frac{1}{2} = 2\frac{2}{4} $ будет находиться на расстоянии $ 8 + 2 = 10 $ клеток от 0.
- Точка $ 2\frac{3}{4} $ будет находиться на расстоянии $ 8 + 3 = 11 $ клеток от 0.

Ответ: На координатной прямой, где единичный отрезок равен 4 клеткам, точки располагаются на следующих расстояниях от точки 0: 0 (0 клеток), $ \frac{1}{4} $ (1 клетка), $ \frac{1}{2} $ (2 клетки), $ \frac{3}{4} $ (3 клетки), 2 (8 клеток), $ 2\frac{1}{4} $ (9 клеток), $ 2\frac{1}{2} $ (10 клеток), $ 2\frac{3}{4} $ (11 клеток).

4.161. Изобразите на координатной прямой точки $A(\frac{1}{2})$, $B(2)$, $C(2\frac{3}{4})$.

Найдите длины отрезков AB, BC, AC.

Сначала изобразим заданные точки на координатной прямой. Для этого начертим прямую, выберем начало отсчета (точку 0), единичный отрезок и положительное направление.

Координата точки A: $A(\frac{1}{2})$. Эта точка находится ровно посередине между 0 и 1.

Координата точки B: $B(2)$. Эта точка совпадает с целой отметкой 2.

Координата точки C: $C(2\frac{3}{4})$. Эта точка находится между 2 и 3, на расстоянии $\frac{3}{4}$ единичного отрезка от точки 2.

Теперь найдем длины отрезков. Длина отрезка на координатной прямой равна модулю разности координат его концов. Так как координаты точек расположены в порядке возрастания (A, B, C), для нахождения длины отрезка достаточно вычесть из координаты правой точки координату левой.

AB

Длина отрезка AB равна разности координат точек B и A.

$AB = 2 - \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$

BC

Длина отрезка BC равна разности координат точек C и B.

$BC = 2\frac{3}{4} - 2 = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

AC

Длина отрезка AC равна разности координат точек C и A. Для вычитания приведем дробные части к общему знаменателю 4.

$AC = 2\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = 2\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = 2\frac{1}{4}$

Ответ: $2\frac{1}{4}$

4.162. Изобразите на координатной прямой с единичным отрезком 4 см точки:

а) $0, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, 1\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{5}{8}$

б) $-1, -\frac{1}{2}, -\frac{2}{2}, -\frac{1}{4}, -\frac{2}{4}, -\frac{3}{4}, -\frac{5}{4}$

Для решения задачи необходимо начертить координатную прямую. По условию, единичный отрезок равен 4 см. Это означает, что расстояние между двумя соседними целыми числами (например, между 0 и 1, или между -1 и 0) на прямой будет составлять 4 см.

Требуется изобразить точки с координатами $0, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, 1\frac{1}{4}, 1\frac{1}{8}, 1\frac{5}{8}$. Все эти координаты неотрицательные, поэтому точки будут расположены вправо от начала отсчета (точки 0) или совпадать с ним.

Для построения мы начертим координатную прямую, отметим на ней точку 0. Отложим вправо от нее 4 см и отметим точку 1, еще через 4 см — точку 2. Чтобы отмечать дроби со знаменателем 4, разделим единичный отрезок (4 см) на 4 равные части. Каждая часть будет равна 1 см. Чтобы отмечать дроби со знаменателем 8, разделим единичный отрезок (4 см) на 8 равных частей. Каждая часть будет равна 0,5 см.

Рассчитаем положение каждой точки на прямой, измеряя расстояние от точки 0:

• Точка с координатой 0 находится в начале координат.
• Точка с координатой $\frac{1}{4}$: расстояние от 0 равно $\frac{1}{4} \times 4 \text{ см} = 1 \text{ см}$.
• Точка с координатой $\frac{1}{2}$ (которая равна $\frac{2}{4}$): расстояние от 0 равно $\frac{1}{2} \times 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$.
• Точка с координатой $\frac{3}{4}$: расстояние от 0 равно $\frac{3}{4} \times 4 \text{ см} = 3 \text{ см}$.
• Точка с координатой $\frac{4}{4}$ (которая равна 1): расстояние от 0 равно $1 \times 4 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
• Точка с координатой $1\frac{1}{8}$: это $1 + \frac{1}{8}$. Расстояние от 0 равно $1 \times 4 \text{ см} + \frac{1}{8} \times 4 \text{ см} = 4 \text{ см} + 0.5 \text{ см} = 4.5 \text{ см}$.
• Точка с координатой $1\frac{1}{4}$: это $1 + \frac{1}{4}$. Расстояние от 0 равно $1 \times 4 \text{ см} + \frac{1}{4} \times 4 \text{ см} = 4 \text{ см} + 1 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
• Точка с координатой $1\frac{5}{8}$: это $1 + \frac{5}{8}$. Расстояние от 0 равно $1 \times 4 \text{ см} + \frac{5}{8} \times 4 \text{ см} = 4 \text{ см} + 2.5 \text{ см} = 6.5 \text{ см}$.

Ответ: На координатной прямой, где единичный отрезок равен 4 см, точки будут расположены на следующих расстояниях вправо от точки 0: 0 см (координата 0), 1 см (координата $\frac{1}{4}$), 2 см (координаты $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{4}$), 3 см (координата $\frac{3}{4}$), 4 см (координата $\frac{4}{4}$), 4.5 см (координата $1\frac{1}{8}$), 5 см (координата $1\frac{1}{4}$), 6.5 см (координата $1\frac{5}{8}$).

Требуется изобразить точки с координатами $-1, -\frac{1}{2}, -\frac{2}{2}, -\frac{1}{4}, -\frac{2}{4}, -\frac{3}{4}, -\frac{5}{4}$. Все эти координаты отрицательные, поэтому они будут расположены слева от начала отсчета (точки 0).

Используем ту же координатную прямую с единичным отрезком 4 см. Отрезок от 0 до -1 также имеет длину 4 см. Разделим его на 4 равные части по 1 см для удобства нанесения точек с дробями в знаменателе 4.

Рассчитаем положение каждой точки на прямой, измеряя расстояние влево от точки 0:

• Точка с координатой $-\frac{1}{4}$: расстояние от 0 равно $|-\frac{1}{4}| \times 4 \text{ см} = 1 \text{ см}$ влево.
• Точка с координатой $-\frac{1}{2}$ (которая равна $-\frac{2}{4}$): расстояние от 0 равно $|-\frac{1}{2}| \times 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$ влево.
• Точка с координатой $-\frac{3}{4}$: расстояние от 0 равно $|-\frac{3}{4}| \times 4 \text{ см} = 3 \text{ см}$ влево.
• Точка с координатой $-1$ (которая равна $-\frac{2}{2}$): расстояние от 0 равно $|-1| \times 4 \text{ см} = 4 \text{ см}$ влево.
• Точка с координатой $-\frac{5}{4}$ (которая равна $-1\frac{1}{4}$): расстояние от 0 равно $|-\frac{5}{4}| \times 4 \text{ см} = 5 \text{ см}$ влево.

Ответ: На координатной прямой, где единичный отрезок равен 4 см, точки будут расположены на следующих расстояниях влево от точки 0: 1 см (координата $-\frac{1}{4}$), 2 см (координаты $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{2}{4}$), 3 см (координата $-\frac{3}{4}$), 4 см (координаты $-1$ и $-\frac{2}{2}$), 5 см (координата $-\frac{5}{4}$).

4.163. Выберите удобный единичный отрезок и изобразите на координатной прямой точки:

а) $-1\frac{1}{2}$, $-2\frac{1}{2}$, $-3\frac{1}{2}$, $-4\frac{1}{2}$;

б) $-\frac{1}{3}$, $-\frac{2}{3}$, $-1\frac{1}{3}$, $-1\frac{2}{3}$, $-2\frac{1}{3}$, $-2\frac{2}{3}$.

а)

Для точек $-1\frac{1}{2}$, $-2\frac{1}{2}$, $-3\frac{1}{2}$, $-4\frac{1}{2}$ все дробные части равны $\frac{1}{2}$. Поэтому удобно выбрать единичный отрезок, который легко делится на 2. Например, если единичный отрезок равен 2 клеткам, то $\frac{1}{2}$ отрезка будет равна 1 клетке. Каждая заданная точка будет расположена ровно посередине между соответствующими целыми числами.

Ответ:

б)

Для точек $-\frac{1}{3}$, $-\frac{2}{3}$, $-1\frac{1}{3}$, $-1\frac{2}{3}$, $-2\frac{1}{3}$, $-2\frac{2}{3}$ все знаменатели дробных частей равны 3. Поэтому удобно выбрать единичный отрезок, который делится на 3. Например, если единичный отрезок равен 3 клеткам, то $\frac{1}{3}$ отрезка будет равна 1 клетке. Нанесем на координатную прямую целые числа, разделим единичные отрезки между ними на три равные части и отметим заданные точки.

Ответ:

4.164. На координатной прямой отметьте точку:

a) $A\left(-2\frac{1}{4}\right)$;

б) $B\left(-1\frac{1}{5}\right)$;

в) $C\left(-3\frac{1}{2}\right)$;

г) $D\left(-4\frac{1}{2}\right)$.

Для того чтобы отметить точки с отрицательными смешанными координатами на координатной прямой, нужно двигаться влево от нуля. Целая часть числа указывает, левее какого целого числа находится точка, а дробная часть показывает, на какую долю единичного отрезка нужно сместиться дальше влево.

а) Точка $ A(-2\frac{1}{4}) $. Координата точки — отрицательное число, значит, точка находится левее нуля. Целая часть равна -2. Это означает, что точка A расположена между целыми числами -3 и -2. Дробная часть равна $ \frac{1}{4} $. Это значит, что отрезок между -3 и -2 нужно разделить на 4 равные части и отсчитать одну такую часть влево от точки -2.
Ответ: Точка A находится на координатной прямой между -3 и -2, на расстоянии $ \frac{1}{4} $ единичного отрезка от -2 в отрицательном направлении.

б) Точка $ B(-1\frac{1}{5}) $. Координата точки — отрицательное число, значит, точка находится левее нуля. Целая часть равна -1. Это означает, что точка B расположена между целыми числами -2 и -1. Дробная часть равна $ \frac{1}{5} $. Это значит, что отрезок между -2 и -1 нужно разделить на 5 равных частей и отсчитать одну такую часть влево от точки -1.
Ответ: Точка B находится на координатной прямой между -2 и -1, на расстоянии $ \frac{1}{5} $ единичного отрезка от -1 в отрицательном направлении.

в) Точка $ C(-3\frac{1}{2}) $. Координата точки — отрицательное число, значит, точка находится левее нуля. Целая часть равна -3. Это означает, что точка C расположена между целыми числами -4 и -3. Дробная часть равна $ \frac{1}{2} $. Это значит, что точка C находится ровно посередине отрезка между -4 и -3.
Ответ: Точка C находится на координатной прямой ровно посередине между -4 и -3.

г) Точка $ D(-4\frac{1}{2}) $. Координата точки — отрицательное число, значит, точка находится левее нуля. Целая часть равна -4. Это означает, что точка D расположена между целыми числами -5 и -4. Дробная часть равна $ \frac{1}{2} $. Это значит, что точка D находится ровно посередине отрезка между -5 и -4.
Ответ: Точка D находится на координатной прямой ровно посередине между -5 и -4.

Если изобразить все точки на одной координатной прямой, они будут расположены следующим образом (двигаясь слева направо, в порядке возрастания их координат):
... ---(-5)--- D ---(-4)--- C ---(-3)--- A ---(-2)--- B ---(-1)--- 0 --- ...
Где:
- Точка D($ -4\frac{1}{2} $) находится ровно посередине между -5 и -4.
- Точка C($ -3\frac{1}{2} $) находится ровно посередине между -4 и -3.
- Точка A($ -2\frac{1}{4} $) находится между -3 и -2, ближе к -2.
- Точка B($ -1\frac{1}{5} $) находится между -2 и -1, ближе к -1.

4.165. Найдите координату середины отрезка, соединяющего точки:

а) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{4}{7} $;

в) $ 2\frac{1}{4} $ и $ \frac{5}{8} $;

г) $ 3\frac{1}{2} $ и $ 3\frac{1}{4} $.

Чтобы найти координату середины отрезка, необходимо вычислить среднее арифметическое координат его концов. Если концы отрезка имеют координаты $x_1$ и $x_2$, то координата его середины $C$ вычисляется по формуле: $C = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

а) Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки с координатами $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.

1. Сложим координаты концов отрезка: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{6} + \frac{1 \cdot 2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$.

2. Разделим полученную сумму на 2: $\frac{5}{6} \div 2 = \frac{5}{6 \cdot 2} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$.

б) Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки с координатами $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$.

1. Сложим координаты: $\frac{3}{5} + \frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7}{35} + \frac{4 \cdot 5}{35} = \frac{21+20}{35} = \frac{41}{35}$.

2. Разделим сумму на 2: $\frac{41}{35} \div 2 = \frac{41}{35 \cdot 2} = \frac{41}{70}$.

Ответ: $\frac{41}{70}$.

в) Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки с координатами $2\frac{1}{4}$ и $\frac{5}{8}$.

1. Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.

2. Сложим координаты: $\frac{9}{4} + \frac{5}{8} = \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{5}{8} = \frac{18+5}{8} = \frac{23}{8}$.

3. Разделим сумму на 2: $\frac{23}{8} \div 2 = \frac{23}{8 \cdot 2} = \frac{23}{16}$.

Ответ: $\frac{23}{16}$ (или $1\frac{7}{16}$).

г) Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки с координатами $3\frac{1}{2}$ и $3\frac{1}{4}$.

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$ и $3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$.

2. Сложим координаты: $\frac{7}{2} + \frac{13}{4} = \frac{7 \cdot 2}{4} + \frac{13}{4} = \frac{14+13}{4} = \frac{27}{4}$.

3. Разделим сумму на 2: $\frac{27}{4} \div 2 = \frac{27}{4 \cdot 2} = \frac{27}{8}$.

Ответ: $3\frac{3}{8}$ (или $\frac{27}{8}$).

4.166. Даны точки A (2) и B $(2\frac{1}{2})$. Найдите координату точки C — середины отрезка AB, координату точки D — середины отрезка CB, координату точки E — середины отрезка CD. Изобразите эти точки на координатной прямой.

Найдите координату точки C — середины отрезка AB

Координата середины отрезка на координатной прямой находится как среднее арифметическое координат его концов. Для отрезка AB с концами в точках $A(2)$ и $B(2\frac{1}{2})$ координата его середины, точки C, вычисляется следующим образом:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + 2\frac{1}{2}}{2} = \frac{4\frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{9}{2}}{2} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.
Ответ: $C(2\frac{1}{4})$.

Найдите координату точки D — середины отрезка CB

Аналогично находим координату точки D, которая является серединой отрезка CB, используя координаты точек $C(2\frac{1}{4})$ и $B(2\frac{1}{2})$:
$x_D = \frac{x_C + x_B}{2} = \frac{2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{2}}{2} = \frac{2\frac{1}{4} + 2\frac{2}{4}}{2} = \frac{4\frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{19}{4}}{2} = \frac{19}{8} = 2\frac{3}{8}$.
Ответ: $D(2\frac{3}{8})$.

Найдите координату точки E — середины отрезка CD

Теперь находим координату точки E, середины отрезка CD, используя координаты точек $C(2\frac{1}{4})$ и $D(2\frac{3}{8})$:
$x_E = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{2\frac{1}{4} + 2\frac{3}{8}}{2} = \frac{2\frac{2}{8} + 2\frac{3}{8}}{2} = \frac{4\frac{5}{8}}{2} = \frac{\frac{37}{8}}{2} = \frac{37}{16} = 2\frac{5}{16}$.
Ответ: $E(2\frac{5}{16})$.

Изобразите эти точки на координатной прямой

Отметим на координатной прямой найденные точки в порядке их возрастания: $A(2)$, $C(2\frac{1}{4})$, $E(2\frac{5}{16})$, $D(2\frac{3}{8})$ и $B(2\frac{1}{2})$.