Страница 162 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.167. Найдите координату точки $B$ по координатам точки $A$ и точки $C$ — середины отрезка $AB$, если:

а) $A (2)$, $C (5)$;

б) $A (\frac{1}{2})$, $C (3)$;

в) $A (\frac{1}{4})$, $C (\frac{2}{3})$.

Для решения задачи используется формула для нахождения координаты середины отрезка. Если точка $C$ с координатой $x_C$ является серединой отрезка $AB$, концы которого имеют координаты $A(x_A)$ и $B(x_B)$, то ее координата находится по формуле:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

В задаче известны координаты точки $A$ и середины отрезка $C$. Чтобы найти координату точки $B$ ($x_B$), необходимо выразить ее из этой формулы:

$2 \cdot x_C = x_A + x_B$

$x_B = 2x_C - x_A$

Теперь применим эту формулу для каждого случая.

а) Даны координаты $A(2)$ и $C(5)$.

Подставим значения $x_A = 2$ и $x_C = 5$ в формулу для нахождения $x_B$:

$x_B = 2 \cdot 5 - 2 = 10 - 2 = 8$.

Следовательно, координата точки $B$ равна 8.

Ответ: $B(8)$.

б) Даны координаты $A(\frac{1}{2})$ и $C(3)$.

Подставим значения $x_A = \frac{1}{2}$ и $x_C = 3$ в формулу:

$x_B = 2 \cdot 3 - \frac{1}{2} = 6 - \frac{1}{2} = 5\frac{1}{2}$.

Следовательно, координата точки $B$ равна $5\frac{1}{2}$.

Ответ: $B(5\frac{1}{2})$.

в) Даны координаты $A(\frac{1}{4})$ и $C(\frac{2}{3})$.

Подставим значения $x_A = \frac{1}{4}$ и $x_C = \frac{2}{3}$ в формулу:

$x_B = 2 \cdot \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{3} - \frac{1}{4}$.

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю 12:

$x_B = \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{16}{12} - \frac{3}{12} = \frac{13}{12}$.

Следовательно, координата точки $B$ равна $\frac{13}{12}$ (или $1\frac{1}{12}$).

Ответ: $B(\frac{13}{12})$.

4.168. Найдите координаты точек, делящих отрезок AB на три равные части, если:

a) A (5), B ($9\frac{1}{2}$);

б) A ($\frac{1}{3}$), B ($\frac{2}{9}$)

в) A ($\frac{1}{2}$), B ($3\frac{1}{6}$).

Чтобы найти координаты точек, делящих отрезок AB на три равные части, найдем координаты двух точек, которые делят отрезок в отношении 1:2 и 2:1. Для отрезка с концами $A(x_A)$ и $B(x_B)$ координаты этих точек (обозначим их $x_1$ и $x_2$) вычисляются по формулам:

$x_1 = \frac{2x_A + x_B}{3}$

$x_2 = \frac{x_A + 2x_B}{3}$

а) Даны точки $A(5)$ и $B(9\frac{1}{2})$.

Подставим координаты $x_A = 5$ и $x_B = 9\frac{1}{2} = 9.5$ в формулы:

$x_1 = \frac{2 \cdot 5 + 9.5}{3} = \frac{10 + 9.5}{3} = \frac{19.5}{3} = 6.5 = 6\frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{5 + 2 \cdot 9.5}{3} = \frac{5 + 19}{3} = \frac{24}{3} = 8$.

Искомые координаты: $6\frac{1}{2}$ и $8$.

Ответ: $6\frac{1}{2}; 8$.

б) Даны точки $A(\frac{1}{3})$ и $B(\frac{2}{9})$.

Подставим координаты $x_A = \frac{1}{3}$ и $x_B = \frac{2}{9}$ в формулы:

$x_1 = \frac{2 \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{9}}{3} = \frac{\frac{2}{3} + \frac{2}{9}}{3} = \frac{\frac{6}{9} + \frac{2}{9}}{3} = \frac{\frac{8}{9}}{3} = \frac{8}{27}$.

$x_2 = \frac{\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{2}{9}}{3} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{4}{9}}{3} = \frac{\frac{3}{9} + \frac{4}{9}}{3} = \frac{\frac{7}{9}}{3} = \frac{7}{27}$.

Искомые координаты: $\frac{7}{27}$ и $\frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{7}{27}; \frac{8}{27}$.

в) Даны точки $A(\frac{1}{2})$ и $B(3\frac{1}{6})$.

Подставим координаты $x_A = \frac{1}{2}$ и $x_B = 3\frac{1}{6} = \frac{19}{6}$ в формулы:

$x_1 = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{19}{6}}{3} = \frac{1 + \frac{19}{6}}{3} = \frac{\frac{6}{6} + \frac{19}{6}}{3} = \frac{\frac{25}{6}}{3} = \frac{25}{18} = 1\frac{7}{18}$.

$x_2 = \frac{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{19}{6}}{3} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{19}{3}}{3} = \frac{\frac{3}{6} + \frac{38}{6}}{3} = \frac{\frac{41}{6}}{3} = \frac{41}{18} = 2\frac{5}{18}$.

Искомые координаты: $1\frac{7}{18}$ и $2\frac{5}{18}$.

Ответ: $1\frac{7}{18}; 2\frac{5}{18}$.

4.169. Определите расстояние между точками:

а) $A(-3\frac{1}{2})$ и $B(2)$;

б) $A(-4)$ и $B(-2\frac{1}{2})$;

в) $A(-3\frac{1}{4})$ и $B(-4\frac{1}{8})$;

г) $A(-4\frac{7}{8})$ и $B(-6\frac{1}{2})$.

Чтобы определить расстояние между двумя точками на числовой прямой, необходимо найти модуль разности их координат. Если даны точки $A(x_1)$ и $B(x_2)$, то расстояние $d$ между ними вычисляется по формуле: $d = |x_2 - x_1|$.

а) Найдём расстояние между точками $A(-3\frac{1}{2})$ и $B(2)$.

$d = |2 - (-3\frac{1}{2})| = |2 + 3\frac{1}{2}| = |5\frac{1}{2}| = 5\frac{1}{2}$.

Ответ: $5\frac{1}{2}$.

б) Найдём расстояние между точками $A(-4)$ и $B(-2\frac{1}{2})$.

$d = |-2\frac{1}{2} - (-4)| = |-2\frac{1}{2} + 4| = |4 - 2\frac{1}{2}| = |1\frac{1}{2}| = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

в) Найдём расстояние между точками $A(-3\frac{1}{4})$ и $B(-4\frac{1}{8})$.

Для вычисления приведём дроби к общему знаменателю 8:

$d = |-4\frac{1}{8} - (-3\frac{1}{4})| = |-4\frac{1}{8} + 3\frac{2}{8}|$.

Так как модуль отрицательного слагаемого больше, вынесем минус за скобки и вычтем из большего модуля меньший:

$d = |-(4\frac{1}{8} - 3\frac{2}{8})| = |-(3\frac{9}{8} - 3\frac{2}{8})| = |-\frac{7}{8}| = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$.

г) Найдём расстояние между точками $A(-4\frac{7}{8})$ и $B(-6\frac{1}{2})$.

Приведём дроби к общему знаменателю 8:

$d = |-6\frac{1}{2} - (-4\frac{7}{8})| = |-6\frac{4}{8} + 4\frac{7}{8}|$.

Так как модуль отрицательного слагаемого больше, вынесем минус за скобки и вычтем из большего модуля меньший:

$d = |-(6\frac{4}{8} - 4\frac{7}{8})| = |-(5\frac{12}{8} - 4\frac{7}{8})| = |-1\frac{5}{8}| = 1\frac{5}{8}$.

Ответ: $1\frac{5}{8}$.

Найдите среднее арифметическое чисел (4.170–4.172):

4.170. а) 4 и 6;

б) $1/2$ и 3;

в) $1/2$ и $1\frac{1}{8}$;

г) $2\frac{1}{4}$ и $2/3$.

а) Среднее арифметическое двух чисел — это частное от деления суммы этих чисел на их количество (в данном случае на 2).
1. Найдем сумму чисел 4 и 6:
$ 4 + 6 = 10 $
2. Разделим сумму на 2:
$ 10 \div 2 = 5 $
Ответ: 5

б) 1. Найдем сумму чисел $ \frac{1}{2} $ и 3. Для этого представим число 3 в виде дроби со знаменателем 2.
$ \frac{1}{2} + 3 = \frac{1}{2} + \frac{6}{2} = \frac{1+6}{2} = \frac{7}{2} $
2. Разделим полученную сумму на 2.
$ \frac{7}{2} \div 2 = \frac{7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4} $
3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.
$ \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} $
Ответ: $ 1\frac{3}{4} $

в) 1. Найдем сумму чисел $ \frac{1}{2} $ и $ 1\frac{1}{8} $. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби.
$ 1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8} $
2. Приведем дроби к общему знаменателю 8.
$ \frac{1}{2} + \frac{9}{8} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{9}{8} = \frac{4}{8} + \frac{9}{8} = \frac{4+9}{8} = \frac{13}{8} $
3. Разделим полученную сумму на 2.
$ \frac{13}{8} \div 2 = \frac{13}{8 \cdot 2} = \frac{13}{16} $
Ответ: $ \frac{13}{16} $

г) 1. Найдем сумму чисел $ 2\frac{1}{4} $ и $ \frac{2}{3} $. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби.
$ 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4} $
2. Приведем дроби $ \frac{9}{4} $ и $ \frac{2}{3} $ к общему знаменателю 12.
$ \frac{9}{4} + \frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{27}{12} + \frac{8}{12} = \frac{27+8}{12} = \frac{35}{12} $
3. Разделим полученную сумму на 2.
$ \frac{35}{12} \div 2 = \frac{35}{12 \cdot 2} = \frac{35}{24} $
4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.
$ \frac{35}{24} = 1\frac{11}{24} $
Ответ: $ 1\frac{11}{24} $

4.171. а) $\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{5}$;

б) $\frac{1}{4}$ и $-\frac{3}{5}$;

В) $-16$ и $-8$;

Г) $-16$ и $8$.

а) Для сравнения чисел $\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{5}$ необходимо определить их знаки. Число $\frac{1}{3}$ является положительным, так как не имеет знака минус. Число $-\frac{1}{5}$ является отрицательным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, $\frac{1}{3}$ больше, чем $-\frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{3} > -\frac{1}{5}$.

б) Сравнивая числа $\frac{1}{4}$ и $-\frac{3}{5}$, мы видим, что $\frac{1}{4}$ — это положительное число, а $-\frac{3}{5}$ — отрицательное. По правилу сравнения чисел с разными знаками, положительное число всегда больше отрицательного. Таким образом, $\frac{1}{4}$ больше, чем $-\frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{4} > -\frac{3}{5}$.

в) Для сравнения двух отрицательных чисел, $-16$ и $-8$, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Модуль числа — это его значение без знака. Модуль числа $-16$ равен $|-16| = 16$. Модуль числа $-8$ равен $|-8| = 8$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $8 < 16$, то $-8 > -16$. Это также можно представить на числовой оси, где $-8$ находится правее (ближе к нулю), чем $-16$.
Ответ: $-16 < -8$.

г) Для сравнения чисел $-16$ и $8$ определяем их знаки. Число $-16$ является отрицательным, а число $8$ — положительным. Любое положительное число больше любого отрицательного. Следовательно, $8$ больше, чем $-16$.
Ответ: $-16 < 8$.

4.172. a) $1, 3, 4;$

в) $10, 12, 14, 16;$

д) $-2, 0, 2, 5, 10;$

б) $-5, 8, 13;$

г) $-19, -9, 1, 11;$

е) $-2, -1, 0, 1, 2.$

а)

Чтобы определить, является ли последовательность 1, 3, 4 арифметической прогрессией, найдем разность между соседними членами.

Разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$.

Разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 4 - 3 = 1$.

Так как разности не равны ($2 \neq 1$), данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: последовательность не является арифметической прогрессией.

б)

Чтобы определить, является ли последовательность –5, 8, 13 арифметической прогрессией, найдем разность между соседними членами.

Разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = 8 - (-5) = 8 + 5 = 13$.

Разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 13 - 8 = 5$.

Так как разности не равны ($13 \neq 5$), данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: последовательность не является арифметической прогрессией.

в)

Чтобы определить, является ли последовательность 10, 12, 14, 16 арифметической прогрессией, найдем разность между соседними членами.

Разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = 12 - 10 = 2$.

Разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 14 - 12 = 2$.

Разность между четвертым и третьим членами: $a_4 - a_3 = 16 - 14 = 2$.

Так как разность между всеми соседними членами постоянна и равна 2, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = 2$.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией, разность $d = 2$.

г)

Чтобы определить, является ли последовательность –19, –9, 1, 11 арифметической прогрессией, найдем разность между соседними членами.

Разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = -9 - (-19) = -9 + 19 = 10$.

Разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 1 - (-9) = 1 + 9 = 10$.

Разность между четвертым и третьим членами: $a_4 - a_3 = 11 - 1 = 10$.

Так как разность между всеми соседними членами постоянна и равна 10, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = 10$.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией, разность $d = 10$.

д)

Чтобы определить, является ли последовательность –2, 0, 2, 5, 10 арифметической прогрессией, найдем разность между соседними членами.

Разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = 0 - (-2) = 2$.

Разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 2 - 0 = 2$.

Разность между четвертым и третьим членами: $a_4 - a_3 = 5 - 2 = 3$.

Так как разности не являются постоянными ($2 \neq 3$), данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: последовательность не является арифметической прогрессией.

е)

Чтобы определить, является ли последовательность –2, –1, 0, 1, 2 арифметической прогрессией, найдем разность между соседними членами.

Разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1$.

Разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 0 - (-1) = 0 + 1 = 1$.

Разность между четвертым и третьим членами: $a_4 - a_3 = 1 - 0 = 1$.

Разность между пятым и четвертым членами: $a_5 - a_4 = 2 - 1 = 1$.

Так как разность между всеми соседними членами постоянна и равна 1, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = 1$.

Ответ: последовательность является арифметической прогрессией, разность $d = 1$.

4.173. Определите координату середины отрезка AB, если:

а) A (-4), B (-1);

б) A (-8), B (3);

в) $A \left(-\frac{7}{10}\right), B \left(-\frac{1}{10}\right);$

г) $A \left(-\frac{1}{3}\right), B \left(\frac{1}{6}\right).$

Для нахождения координаты середины отрезка, зная координаты его концов $A(x_A)$ и $B(x_B)$, используется формула:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

где $x_C$ — координата искомой середины отрезка AB.

а) Даны точки $A(-4)$ и $B(-1)$.

Подставим их координаты в формулу:

$x_C = \frac{-4 + (-1)}{2} = \frac{-5}{2} = -2,5$.

Ответ: -2,5.

б) Даны точки $A(-8)$ и $B(3)$.

Подставим их координаты в формулу:

$x_C = \frac{-8 + 3}{2} = \frac{-5}{2} = -2,5$.

Ответ: -2,5.

в) Даны точки $A(-\frac{7}{10})$ и $B(-\frac{1}{10})$.

Подставим их координаты в формулу:

$x_C = \frac{-\frac{7}{10} + (-\frac{1}{10})}{2} = \frac{-\frac{7+1}{10}}{2} = \frac{-\frac{8}{10}}{2} = -\frac{8}{10 \cdot 2} = -\frac{8}{20} = -\frac{2}{5} = -0,4$.

Ответ: -0,4.

г) Даны точки $A(-\frac{1}{3})$ и $B(\frac{1}{6})$.

Подставим их координаты в формулу. Для сложения дробей в числителе приведем их к общему знаменателю 6:

$x_C = \frac{-\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}{2} = \frac{-\frac{2}{6} + \frac{1}{6}}{2} = \frac{\frac{-2+1}{6}}{2} = \frac{-\frac{1}{6}}{2} = -\frac{1}{6 \cdot 2} = -\frac{1}{12}$.

Ответ: $-\frac{1}{12}$.

4.174. Точка $C$ – середина отрезка $AB$. Определите координату точки $B$, если:

а) $A(-2)$, $C(1)$;

б) $A(-5)$, $C(-1)$;

в) $A\left(-\frac{3}{10}\right)$, $C\left(\frac{9}{10}\right)$;

г) $A(0)$, $C\left(\frac{12}{13}\right)$.

Поскольку точка $C$ является серединой отрезка $AB$, её координата $x_C$ связана с координатами концов отрезка $A(x_A)$ и $B(x_B)$ следующей формулой:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

Для того чтобы найти координату точки $B$, необходимо выразить $x_B$ из этой формулы:

$2 \cdot x_C = x_A + x_B$

$x_B = 2x_C - x_A$

Используем полученную формулу для решения каждого из пунктов.

а) Даны координаты $A(-2)$ и $C(1)$.

Подставляем значения в формулу для нахождения координаты точки $B$:

$x_B = 2 \cdot 1 - (-2) = 2 + 2 = 4$.

Таким образом, координата точки $B$ равна 4.

Ответ: $B(4)$.

б) Даны координаты $A(-5)$ и $C(-1)$.

Подставляем значения в формулу:

$x_B = 2 \cdot (-1) - (-5) = -2 + 5 = 3$.

Таким образом, координата точки $B$ равна 3.

Ответ: $B(3)$.

в) Даны координаты $A(-\frac{3}{10})$ и $C(\frac{9}{10})$.

Подставляем значения в формулу:

$x_B = 2 \cdot \frac{9}{10} - (-\frac{3}{10}) = \frac{18}{10} + \frac{3}{10} = \frac{18+3}{10} = \frac{21}{10}$.

Таким образом, координата точки $B$ равна $\frac{21}{10}$.

Ответ: $B(\frac{21}{10})$.

г) Даны координаты $A(0)$ и $C(\frac{12}{13})$.

Подставляем значения в формулу:

$x_B = 2 \cdot \frac{12}{13} - 0 = \frac{24}{13}$.

Таким образом, координата точки $B$ равна $\frac{24}{13}$.

Ответ: $B(\frac{24}{13})$.

4.175. На координатной прямой отмечены числа. С помощью циркуля отметьте на координатной прямой число:

а) $a+2$ (рис. 74, а);

б) $a+4$ (рис. 74, б).

а) б) Рис. 74

Задача состоит в том, чтобы с помощью циркуля отложить от точки $a$ заданное расстояние. Для этого сначала нужно измерить это расстояние циркулем, используя уже отмеченные на прямой числа.

Чтобы отметить на координатной прямой число $a+2$, нужно к точке с координатой $a$ прибавить отрезок, длина которого равна 2. Построение выполняется следующим образом:
1. На координатной прямой (рис. 74, а) отмечен единичный отрезок — это расстояние между точками 0 и 1. С помощью циркуля измерим длину этого отрезка (установим ножки циркуля в точки 0 и 1).
2. Чтобы получить отрезок длиной 2, отложим единичный отрезок от точки 1 вправо. Установим ножку циркуля в точку 1 и сделаем на прямой засечку. Эта засечка будет соответствовать точке 2.
3. Теперь измерим циркулем расстояние от точки 0 до полученной точки 2. Это и будет искомая длина, равная 2.
4. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $a$ и отложим измеренное расстояние вправо по координатной прямой, сделав новую засечку.
5. Полученная точка и есть искомая точка $a+2$.

Ответ: Искомая точка $a+2$ находится на расстоянии, равном длине отрезка от 0 до 2, справа от точки $a$.

Чтобы отметить на координатной прямой число $a+4$, нужно к точке с координатой $a$ прибавить отрезок, длина которого равна 4. Построение выполняется следующим образом:
1. На координатной прямой (рис. 74, б) отмечены точки 0 и 4. Расстояние между ними как раз равно 4.
2. С помощью циркуля измерим это расстояние. Для этого установим ножки циркуля в точки 0 и 4.
3. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $a$.
4. Отложим измеренное расстояние (равное 4) вправо по координатной прямой, сделав засечку.
5. Полученная точка в месте засечки и есть искомая точка $a+4$.

Ответ: Искомая точка $a+4$ находится на расстоянии, равном длине отрезка от 0 до 4, справа от точки $a$.