Страница 169 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.197. В вазе лежало 15 яблок. Даша угостила трёх подруг, дав всем яблок поровну. Сколько яблок осталось в вазе?

Для того чтобы определить, сколько яблок осталось в вазе, необходимо выполнить несколько шагов. Сначала нужно узнать, сколько яблок Даша отдала подругам, а затем вычесть это число из общего количества яблок, которое было в вазе изначально.

В условии задачи сказано, что Даша угостила трёх подруг, дав всем яблок поровну. Хотя в задаче не указано, сколько яблок получила каждая подруга, наиболее логичным предположением является то, что Даша разделила все 15 яблок между тремя подругами. Это предположение основано на том, что число 15 делится на 3 без остатка, что часто встречается в подобных школьных задачах.

1. Найдем, сколько яблок получила каждая подруга. Для этого общее количество яблок разделим на количество подруг:

$15 \div 3 = 5$ (яблок)

Следовательно, каждая подруга получила по 5 яблок.

2. Теперь найдем общее количество яблок, которое Даша отдала. Для этого умножим количество подруг на количество яблок, которое получила каждая:

$3 \times 5 = 15$ (яблок)

Таким образом, Даша раздала все 15 яблок.

3. Наконец, вычислим, сколько яблок осталось в вазе. Для этого из первоначального количества яблок вычтем количество розданных яблок:

$15 - 15 = 0$ (яблок)

В вазе не осталось яблок.

Ответ: 0

4.198. а) Папа в 3 раза старше сына. На сколько лет сын моложе папы?

б) Дочь в 4 раза младше мамы. На сколько лет мама старше своей дочери?

в) Папа на 28 лет старше сына. Во сколько раз он старше сына?

г) Мама на 24 года старше дочери. Во сколько раз она старше дочери?

а)

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть возраст сына равен $x$ лет. Поскольку папа в 3 раза старше, его возраст составляет $3x$ лет. Чтобы найти, на сколько лет сын моложе папы, нужно из возраста папы вычесть возраст сына:

$3x - x = 2x$ (лет)

Это означает, что ответ на вопрос "на сколько лет сын моложе папы?" зависит от возраста самого сына. Сын моложе папы на удвоенный свой возраст. Так как возраст сына в условии не указан, дать однозначный численный ответ невозможно.

Например, если сыну 10 лет, то папе $3 \times 10 = 30$ лет, и разница в возрасте составляет $30 - 10 = 20$ лет. Если же сыну 14 лет, то папе $3 \times 14 = 42$ года, а разница в возрасте будет $42 - 14 = 28$ лет.

Ответ: Сын моложе папы на два своих возраста. Дать ответ в виде конкретного числа лет невозможно из-за недостатка данных.

б)

Пусть возраст дочери равен $y$ лет. Условие "дочь в 4 раза младше мамы" означает, что мама в 4 раза старше дочери. Следовательно, возраст мамы составляет $4y$ лет. Разница в возрасте между мамой и дочерью равна $4y - y = 3y$ лет.

Таким образом, мама старше дочери на утроенный возраст дочери. Ответ зависит от того, сколько лет дочери. Без этой информации дать точный ответ в годах нельзя.

Например, если дочери 6 лет, то маме $4 \times 6 = 24$ года, и мама старше на $24 - 6 = 18$ лет. Если дочери 8 лет, то маме $4 \times 8 = 32$ года, и она старше на $32 - 8 = 24$ года.

Ответ: Мама старше дочери на три возраста дочери. Дать ответ в виде конкретного числа лет невозможно из-за недостатка данных.

в)

Пусть возраст сына равен $x$ лет. Так как папа на 28 лет старше, его возраст составляет $x + 28$ лет. Чтобы определить, во сколько раз папа старше сына, необходимо разделить возраст папы на возраст сына. Получаем отношение: $\frac{x + 28}{x}$.

Это выражение можно записать как $1 + \frac{28}{x}$. Как видно из формулы, отношение возрастов напрямую зависит от возраста сына $x$. Поэтому дать однозначный ответ на вопрос задачи нельзя.

Например, если сыну 7 лет, то папе $7 + 28 = 35$ лет, и папа старше в $35 / 7 = 5$ раз. Если же сыну 14 лет, то папе $14 + 28 = 42$ года, и он старше в $42 / 14 = 3$ раза.

Ответ: Однозначный ответ дать невозможно, так как он зависит от возраста сына. Папа старше сына в $\frac{x+28}{x}$ раз, где $x$ — возраст сына в годах.

г)

Пусть возраст дочери равен $y$ лет. Мама старше на 24 года, значит, её возраст — $y + 24$ года. Чтобы узнать, во сколько раз мама старше дочери, разделим возраст мамы на возраст дочери: $\frac{y + 24}{y}$.

Это отношение, равное $1 + \frac{24}{y}$, меняется в зависимости от возраста дочери $y$. Следовательно, без этой информации дать однозначный ответ невозможно.

Например, если дочери 8 лет, то маме $8 + 24 = 32$ года, и мама старше в $32 / 8 = 4$ раза. Если дочери 12 лет, то маме $12 + 24 = 36$ лет, и она старше в $36 / 12 = 3$ раза.

Ответ: Однозначный ответ дать невозможно, так как он зависит от возраста дочери. Мама старше дочери в $\frac{y+24}{y}$ раз, где $y$ — возраст дочери в годах.

4.199. а) Ученик задумал число, увеличил его в 3 раза и уменьшил результат на 5. Какое число он получил?

б) Ученик задумал число, уменьшил его на 3 и увеличил результат в 5 раз. Какое число он получил?

Для решения этой задачи обозначим задуманное учеником число переменной, например, $x$. Первое действие, которое выполнил ученик, — это увеличение числа в 3 раза. В математике это соответствует операции умножения: $x \cdot 3$, что можно записать как $3x$. Второе действие — уменьшение результата на 5. Это значит, что из полученного на первом шаге выражения нужно вычесть 5: $3x - 5$. Поскольку первоначальное число $x$ нам не дано, то полученное число можно записать только в виде этого алгебраического выражения. Ответ: $3x - 5$

Обозначим задуманное число переменной $x$. Первое действие — ученик уменьшил число на 3. Это соответствует операции вычитания: $x - 3$. Второе действие — увеличение полученного результата в 5 раз. Это значит, что весь результат первого действия (то есть разность $x - 3$) нужно умножить на 5. Для этого необходимо использовать скобки: $(x - 3) \cdot 5$ или $5(x - 3)$. Скобки показывают, что умножается именно результат вычитания, а не только число 3. Так как исходное число $x$ неизвестно, итоговое число можно записать в виде выражения $5(x - 3)$. Ответ: $5(x - 3)$

4.200. Обозначьте неизвестное число буквой и составьте уравнение по условию задачи.

а) Задумали число, прибавили к нему 8 и получили 33.

$x + 8 = 33$

б) Задумали число, умножили его на 4 и получили 52.

$x \cdot 4 = 52$

в) Задумали число, умножили его на 7, к произведению прибавили 12 и получили 26.

$x \cdot 7 + 12 = 26$

г) Задумали число, вычли из него 4, умножили разность на 5 и получили 35.

$(x - 4) \cdot 5 = 35$

а) Обозначим задуманное число буквой $x$. По условию, к этому числу прибавили 8, что можно записать в виде выражения $x + 8$. Результат этого действия равен 33. Таким образом, уравнение, соответствующее условию, будет: $x + 8 = 33$.
Ответ: $x + 8 = 33$.

б) Пусть задуманное число — это $x$. Его умножили на 4, что записывается как $x \cdot 4$ или $4x$. В результате получили 52. Следовательно, уравнение для данной задачи: $4x = 52$.
Ответ: $4x = 52$.

в) Обозначим задуманное число буквой $x$. Сначала его умножили на 7, получив произведение $7x$. Затем к этому произведению прибавили 12, что даёт выражение $7x + 12$. Итоговый результат равен 26. Составим уравнение: $7x + 12 = 26$.
Ответ: $7x + 12 = 26$.

г) Пусть задуманное число — это $x$. Сначала из него вычли 4, получив разность $(x - 4)$. Затем всю эту разность умножили на 5, что записывается как $5 \cdot (x - 4)$ или $5(x - 4)$. Результат равен 35. Таким образом, уравнение имеет вид: $5(x - 4) = 35$.
Ответ: $5(x - 4) = 35$.

4.201. Одно число на 6 больше другого, а сумма этих чисел равна 18. Составьте уравнение по условию задачи, обозначив буквой:

а) меньшее число;

$x + (x + 6) = 18$

б) большее число.

$y + (y - 6) = 18$

а) меньшее число

Обозначим меньшее из двух чисел переменной, например, $x$.

Согласно условию, другое число на 6 больше. Следовательно, выражение для большего числа будет $x + 6$.

Сумма этих двух чисел равна 18. Составим уравнение, сложив выражения для меньшего и большего чисел и приравняв их к 18:

$x + (x + 6) = 18$

Уравнение можно упростить до $2x + 6 = 18$, но для составления по условию задачи достаточно и первоначальной формы.

Ответ: $x + (x + 6) = 18$

б) большее число

Обозначим большее из двух чисел переменной, например, $y$.

Согласно условию, это число на 6 больше другого. Следовательно, меньшее число будет равно $y - 6$.

Сумма этих двух чисел равна 18. Составим уравнение, сложив выражения для большего и меньшего чисел и приравняв их к 18:

$y + (y - 6) = 18$

Уравнение можно упростить до $2y - 6 = 18$, но для составления по условию задачи достаточно и первоначальной формы.

Ответ: $y + (y - 6) = 18$

4.202. Одно число на 4 меньше другого, а сумма этих чисел равна 22. Составьте уравнение по условию задачи, обозначив буквой:

а) меньшее число;

б) большее число.

Составьте уравнение по условию задачи, обозначив буквой неизвестное число, и решите его (4.203–4.218):

а) меньшее число;

Пусть меньшее число — это $x$. По условию задачи, другое число на 4 больше, следовательно, оно равно $x + 4$. Сумма этих двух чисел равна 22. Мы можем составить следующее уравнение:

$x + (x + 4) = 22$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x + 4 = 22$

Перенесем 4 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 22 - 4$

$2x = 18$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = 9$

Таким образом, меньшее число равно 9. Большее число будет $x + 4 = 9 + 4 = 13$.

Ответ: Уравнение: $x + (x + 4) = 22$. Искомые числа: 9 и 13.

б) большее число.

Пусть большее число — это $y$. По условию задачи, другое число на 4 меньше, следовательно, оно равно $y - 4$. Сумма этих двух чисел равна 22. Составим следующее уравнение:

$y + (y - 4) = 22$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2y - 4 = 22$

Перенесем 4 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2y = 22 + 4$

$2y = 26$

Найдем $y$, разделив обе части уравнения на 2:

$y = 13$

Таким образом, большее число равно 13. Меньшее число будет $y - 4 = 13 - 4 = 9$.

Ответ: Уравнение: $y + (y - 4) = 22$. Искомые числа: 9 и 13.

4.203. а) Одно число в 5 раз больше другого, а их сумма равна 42.

б) Одно число в 3 раза меньше другого, а их сумма равна 28.

в) Одно число в 4 раза больше другого, а их разность равна 39.

г) Одно число в 7 раз меньше другого, а их разность равна 54.

а) Пусть меньшее число равно $x$. Тогда большее число, которое в 5 раз больше, будет равно $5x$. По условию, их сумма равна 42. Составим и решим уравнение:
$x + 5x = 42$
$6x = 42$
$x = 42 / 6$
$x = 7$
Итак, меньшее число равно 7. Большее число равно $5 \cdot 7 = 35$.
Проверка: $7 + 35 = 42$.
Ответ: 7 и 35.

б) Пусть меньшее число равно $x$. Тогда большее число (поскольку первое в 3 раза меньше второго) будет равно $3x$. По условию, их сумма равна 28. Составим и решим уравнение:
$x + 3x = 28$
$4x = 28$
$x = 28 / 4$
$x = 7$
Итак, меньшее число равно 7. Большее число равно $3 \cdot 7 = 21$.
Проверка: $7 + 21 = 28$.
Ответ: 7 и 21.

в) Пусть меньшее число равно $x$. Тогда большее число, которое в 4 раза больше, будет равно $4x$. По условию, их разность равна 39. Составим и решим уравнение:
$4x - x = 39$
$3x = 39$
$x = 39 / 3$
$x = 13$
Итак, меньшее число равно 13. Большее число равно $4 \cdot 13 = 52$.
Проверка: $52 - 13 = 39$.
Ответ: 13 и 52.

г) Пусть меньшее число равно $x$. Тогда большее число (поскольку первое в 7 раз меньше второго) будет равно $7x$. По условию, их разность равна 54. Составим и решим уравнение:
$7x - x = 54$
$6x = 54$
$x = 54 / 6$
$x = 9$
Итак, меньшее число равно 9. Большее число равно $7 \cdot 9 = 63$.
Проверка: $63 - 9 = 54$.
Ответ: 9 и 63.