Страница 176 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.241. а) На решение примеров Вася затратил $x$ мин, а на решение задачи — на 10 мин больше. Сколько минут Вася затратил на всё задание?

б) В классе $x$ девочек, а мальчиков на 4 меньше, чем девочек. Сколько всего учащихся в классе?

а)
По условию, Вася затратил на решение примеров $x$ минут. На решение задачи он потратил на 10 минут больше, следовательно, время на решение задачи составляет $(x + 10)$ минут.
Чтобы найти общее время, затраченное на всё задание, необходимо сложить время, потраченное на примеры, и время, потраченное на задачу:
$x + (x + 10)$
Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$x + x + 10 = 2x + 10$
Таким образом, на всё задание Вася затратил $(2x + 10)$ минут.
Ответ: $2x + 10$ минут.

б)
По условию, в классе $x$ девочек. Мальчиков на 4 меньше, чем девочек, значит, количество мальчиков равно $(x - 4)$.
Чтобы найти общее количество учащихся в классе, нужно сложить количество девочек и количество мальчиков:
$x + (x - 4)$
Упростим выражение:
$x + x - 4 = 2x - 4$
Следовательно, всего в классе $(2x - 4)$ учащихся.
Ответ: $2x - 4$ учащихся.

4.242. Через одну трубу можно наполнить бассейн за $a$ мин, а через другую — за $b$ мин. Через сколько минут наполнится бассейн, если открыть обе трубы? Составьте буквенное выражение для получения ответа, найдите его значение при:

а) $a=30, b=20;$

б) $a=70, b=30;$

в) $a=60, b=90.$

Чтобы решить задачу, сначала составим буквенное выражение. Примем весь объем бассейна за 1.

Производительность первой трубы (какую часть бассейна она наполняет за 1 минуту) равна $1/a$.

Производительность второй трубы равна $1/b$.

При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность двух труб будет равна:

$P_{совм} = 1/a + 1/b$

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем:

$1/a + 1/b = b/(ab) + a/(ab) = (a+b)/(ab)$

Время $t$, необходимое для наполнения всего бассейна (объем 1), равно отношению объема к совместной производительности:

$t = 1 / P_{совм} = 1 / ((a+b)/(ab))$

Таким образом, буквенное выражение для нахождения времени имеет вид:

$t = (ab)/(a+b)$

Теперь найдем значения этого выражения для данных условий.

а) при $a = 30$, $b = 20$

Подставляем значения в нашу формулу:

$t = (30 * 20) / (30 + 20) = 600 / 50 = 12$ (мин)

Ответ: 12 минут.

б) при $a = 70$, $b = 30$

Подставляем значения в формулу:

$t = (70 * 30) / (70 + 30) = 2100 / 100 = 21$ (мин)

Ответ: 21 минута.

в) при $a = 60$, $b = 90$

Подставляем значения в формулу:

$t = (60 * 90) / (60 + 90) = 5400 / 150 = 540 / 15 = 36$ (мин)

Ответ: 36 минут.

ДОКАЗЫВАЕМ

4.243. Докажите, что если из суммы двух чисел вычесть их разность, то получится удвоенное меньшее число, т. е. для любых чисел a и b верно равенство

$(a+b)-(a-b)=2b.$

Для доказательства утверждения необходимо преобразовать левую часть равенства $(a + b) - (a - b)$ и показать, что она равна $2b$.

Рассмотрим левую часть равенства: $(a + b) - (a - b)$.

Шаг 1: Раскроем скобки. Перед первой скобкой $(a + b)$ нет знака, что эквивалентно знаку «плюс», поэтому скобки можно просто убрать:

$a + b - (a - b)$

Шаг 2: Раскроем вторую скобку $(a - b)$. Так как перед ней стоит знак «минус», все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$a + b - a - (-b)$

Это выражение равносильно:

$a + b - a + b$

Шаг 3: Сгруппируем подобные слагаемые (члены с одинаковыми переменными):

$(a - a) + (b + b)$

Шаг 4: Выполним вычисления в каждой группе:

$a - a = 0$

$b + b = 2b$

Шаг 5: Подставим полученные значения обратно в выражение:

$0 + 2b = 2b$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства $(a + b) - (a - b)$ и получили $2b$, что в точности совпадает с правой частью. Следовательно, равенство верно для любых чисел $a$ и $b$.

Что касается словесной формулировки "получится удвоенное меньшее число", она верна, если число $b$ является меньшим из двух чисел (или если числа равны, то есть $a \ge b$). Если же $a < b$, то результатом будет удвоенное большее число.

Ответ: Равенство $(a + b) - (a - b) = 2b$ доказано. Преобразование левой части выглядит так: $(a + b) - (a - b) = a + b - a + b = (a - a) + (b + b) = 0 + 2b = 2b$. Что и требовалось доказать.

4.244. Докажите, что для любых чисел $a$ и $b$ верно равенство

$$(a+b)+(a-b)=2a.$$

Сформулируйте доказанное свойство суммы и разности двух чисел в виде правила.

Докажите, что для любых чисел a и b верно равенство $(a + b) + (a - b) = 2a$.
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.
Исходное выражение: $(a + b) + (a - b)$.
1. Раскроем скобки. Так как перед обеими скобками стоит знак плюс (перед первой он подразумевается), знаки слагаемых внутри скобок не меняются:
$a + b + a - b$
2. Применим переместительное и сочетательное свойства сложения, чтобы сгруппировать слагаемые с одинаковыми переменными:
$(a + a) + (b - b)$
3. Выполним действия в каждой группе:
$a + a = 2a$
$b - b = 0$
4. Сложим полученные результаты:
$2a + 0 = 2a$
В результате преобразований левая часть равенства стала равна правой части ($2a = 2a$), что и доказывает верность равенства для любых чисел $a$ и $b$.
Ответ: Равенство доказано.

Сформулируйте доказанное свойство суммы и разности двух чисел в виде правила.
Доказанное равенство $(a+b) + (a-b) = 2a$ описывает свойство, связывающее сумму и разность двух чисел. Выражение $(a+b)$ является суммой чисел $a$ и $b$, а выражение $(a-b)$ — их разностью. Результатом сложения этих двух выражений является $2a$, то есть удвоенное первое число.
На основании этого можно сформулировать правило:
Правило: Сумма суммы и разности двух чисел равна удвоенному первому числу (тому числу, из которого производилось вычитание в разности).
Ответ: Сумма суммы и разности двух чисел равна удвоенному первому числу.

4.245. В старину для решения задач пользовались такими правилами: чтобы по сумме и разности двух чисел найти большее число, надо к полусумме двух чисел прибавить их полуразность; чтобы найти меньшее число, надо из полусуммы двух чисел вычесть их полуразность. Докажите равенства:

а) $ \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} = a; $

б) $ \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2} = b. $

а) Чтобы доказать данное равенство, необходимо преобразовать его левую часть. Так как обе дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем сложить их числители, записав результат над общим знаменателем.
$ \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} = \frac{(a+b) + (a-b)}{2} $
Теперь раскроем скобки в числителе:
$ \frac{a+b+a-b}{2} $
Приведем подобные слагаемые в числителе. Слагаемые $b$ и $-b$ взаимно уничтожаются, а $a+a$ равно $2a$.
$ \frac{2a}{2} $
Сократив дробь на 2, получаем:
$ a $
В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна $a$, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Равенство $ \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} = a $ доказано.

б) Докажем второе равенство аналогичным способом. Преобразуем его левую часть. Вычтем числители дробей, так как знаменатели у них одинаковые.
$ \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2} = \frac{(a+b) - (a-b)}{2} $
Раскроем скобки в числителе. Важно учесть, что знак "минус" перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные.
$ \frac{a+b-a+b}{2} $
Приведем подобные слагаемые в числителе. Слагаемые $a$ и $-a$ взаимно уничтожаются, а $b+b$ равно $2b$.
$ \frac{2b}{2} $
Сократив дробь на 2, получаем:
$ b $
В результате мы получили, что левая часть равенства равна $b$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.
Ответ: Равенство $ \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2} = b $ доказано.

4.246. a) Сумма двух чисел равна 37, а разность равна 13. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел равна 48, а разность равна 12. Найдите эти числа.

в) Сумма двух чисел равна 120, а разность равна 100. Найдите эти числа.

а)

Пусть первое искомое число будет $x$, а второе – $y$. По условию задачи, их сумма равна 37, а разность – 13. Мы можем составить систему из двух уравнений:

$x + y = 37$

$x - y = 13$

Чтобы найти одно из чисел, сложим эти два уравнения:

$(x + y) + (x - y) = 37 + 13$

$2x = 50$

$x = 50 / 2 = 25$

Теперь, зная значение $x$, найдем $y$ из первого уравнения:

$25 + y = 37$

$y = 37 - 25 = 12$

Проверим: сумма чисел $25 + 12 = 37$, а их разность $25 - 12 = 13$. Все условия выполнены.

Ответ: 25 и 12.

б)

Пусть искомые числа – $x$ и $y$. Согласно условию, их сумма равна 48, а разность – 12. Составим систему уравнений:

$x + y = 48$

$x - y = 12$

Сложим левые и правые части уравнений:

$(x + y) + (x - y) = 48 + 12$

$2x = 60$

$x = 60 / 2 = 30$

Подставим значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$30 + y = 48$

$y = 48 - 30 = 18$

Проверим: сумма $30 + 18 = 48$, разность $30 - 18 = 12$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 30 и 18.

в)

Обозначим искомые числа как $x$ и $y$. Их сумма равна 120, а разность – 100. Запишем это в виде системы уравнений:

$x + y = 120$

$x - y = 100$

Сложим два уравнения для нахождения $x$:

$(x + y) + (x - y) = 120 + 100$

$2x = 220$

$x = 220 / 2 = 110$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$110 + y = 120$

$y = 120 - 110 = 10$

Проверим: сумма $110 + 10 = 120$, разность $110 - 10 = 100$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 110 и 10.

4.247. Найдите числа, сумма и разность которых равны соответствен-но:

а) 49 и 17;

б) 72 и 48;

в) 57 и 39;

г) 38 и 2.

Обозначим искомые числа как $x$ и $y$. Для каждого пункта составим и решим систему из двух линейных уравнений, где первое уравнение — это сумма чисел, а второе — их разность.

а)

Сумма чисел равна 49, а разность — 17. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 49 \\ x - y = 17 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти $x$:

$(x + y) + (x - y) = 49 + 17$

$2x = 66$

$x = 66 / 2 = 33$

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:

$(x + y) - (x - y) = 49 - 17$

$2y = 32$

$y = 32 / 2 = 16$

Проверка: $33 + 16 = 49$ (сумма), $33 - 16 = 17$ (разность).

Ответ: 33 и 16.

б)

Сумма чисел равна 72, а разность — 48. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 72 \\ x - y = 48 \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(x + y) + (x - y) = 72 + 48$

$2x = 120$

$x = 120 / 2 = 60$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x + y) - (x - y) = 72 - 48$

$2y = 24$

$y = 24 / 2 = 12$

Проверка: $60 + 12 = 72$ (сумма), $60 - 12 = 48$ (разность).

Ответ: 60 и 12.

в)

Сумма чисел равна 57, а разность — 39. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 57 \\ x - y = 39 \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(x + y) + (x - y) = 57 + 39$

$2x = 96$

$x = 96 / 2 = 48$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x + y) - (x - y) = 57 - 39$

$2y = 18$

$y = 18 / 2 = 9$

Проверка: $48 + 9 = 57$ (сумма), $48 - 9 = 39$ (разность).

Ответ: 48 и 9.

г)

Сумма чисел равна 38, а разность — 2. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 38 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(x + y) + (x - y) = 38 + 2$

$2x = 40$

$x = 40 / 2 = 20$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x + y) - (x - y) = 38 - 2$

$2y = 36$

$y = 36 / 2 = 18$

Проверка: $20 + 18 = 38$ (сумма), $20 - 18 = 2$ (разность).

Ответ: 20 и 18.