Страница 170 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.204. a) Брат нашёл в 3 раза больше белых грибов, чем сестра. Всего они нашли 24 белых гриба. Сколько белых грибов нашёл брат и сколько — сестра?

б) На двух полках 63 книги, причём на одной в 2 раза меньше книг, чем на другой. Сколько книг на каждой полке?

а)

Обозначим количество грибов, которое нашла сестра, через $x$.

По условию, брат нашёл в 3 раза больше грибов, чем сестра, значит, он нашёл $3x$ грибов.

Всего они вместе нашли 24 гриба. Составим и решим уравнение:

$x + 3x = 24$

$4x = 24$

$x = 24 / 4$

$x = 6$

Таким образом, сестра нашла 6 белых грибов.

Теперь найдём, сколько грибов нашёл брат:

$3 * 6 = 18$

Брат нашёл 18 белых грибов.

Ответ: сестра нашла 6 белых грибов, а брат — 18.

б)

Пусть на полке, где книг меньше, стоит $y$ книг.

На другой полке книг в 2 раза больше, значит, на ней стоит $2y$ книг.

Всего на двух полках 63 книги. Составим и решим уравнение:

$y + 2y = 63$

$3y = 63$

$y = 63 / 3$

$y = 21$

Итак, на одной полке 21 книга.

Найдём количество книг на второй полке:

$2 * 21 = 42$

На другой полке 42 книги.

Ответ: на одной полке 21 книга, на другой — 42 книги.

4.205. a) В книжке 60 страниц. Прочитали в 2 раза больше страниц, чем осталось прочитать. Сколько страниц осталось прочитать?

б) На автомобильной стоянке стоит 72 автомобиля, причём легковых автомобилей в 7 раз больше, чем грузовых. Сколько грузовых автомобилей на автостоянке?

а) Пусть $x$ — это количество страниц, которое осталось прочитать. Согласно условию, прочитали в 2 раза больше страниц, чем осталось, значит, прочитали $2x$ страниц. Общее количество страниц в книге равно сумме прочитанных и оставшихся страниц. Составим и решим уравнение:
$x + 2x = 60$
$3x = 60$
$x = \frac{60}{3}$
$x = 20$
Таким образом, осталось прочитать 20 страниц.
Ответ: 20 страниц.

б) Пусть $y$ — это количество грузовых автомобилей на стоянке. По условию, легковых автомобилей в 7 раз больше, чем грузовых, следовательно, их количество составляет $7y$. Общее количество автомобилей на стоянке — это сумма легковых и грузовых автомобилей. Составим и решим уравнение:
$y + 7y = 72$
$8y = 72$
$y = \frac{72}{8}$
$y = 9$
Следовательно, на стоянке стоит 9 грузовых автомобилей.
Ответ: 9 грузовых автомобилей.

4.206. а) У хозяйки было 20 кур и цыплят. Кур было в 4 раза меньше, чем цыплят. Сколько цыплят было у хозяйки?

б) У хозяйки было 16 уток и утят. Уток было в 3 раза меньше, чем утят. Сколько утят было у хозяйки?

а)

Примем количество кур за 1 часть. Поскольку кур было в 4 раза меньше, чем цыплят, то количество цыплят составляет 4 такие же части.

1. Найдем общее количество частей, на которое можно разделить всех птиц:

$1$ (часть кур) $+ 4$ (части цыплят) $= 5$ (частей)

2. Эти 5 частей соответствуют 20 птицам. Найдем, сколько птиц приходится на одну часть:

$20 / 5 = 4$ (птицы)

3. Количество цыплят составляет 4 части. Чтобы найти общее число цыплят, умножим количество птиц в одной части на 4:

$4 * 4 = 16$ (цыплят)

Проверка: кур было $1 * 4 = 4$. Всего птиц: $4$ (куры) $+ 16$ (цыплят) $= 20$. Условие выполняется.

Ответ: 16 цыплят.

б)

Примем количество уток за 1 часть. Поскольку уток было в 3 раза меньше, чем утят, то количество утят составляет 3 такие же части.

1. Найдем общее количество частей, на которое можно разделить всех птиц:

$1$ (часть уток) $+ 3$ (части утят) $= 4$ (части)

2. Эти 4 части соответствуют 16 птицам. Найдем, сколько птиц приходится на одну часть:

$16 / 4 = 4$ (птицы)

3. Количество утят составляет 3 части. Чтобы найти общее число утят, умножим количество птиц в одной части на 3:

$4 * 3 = 12$ (утят)

Проверка: уток было $1 * 4 = 4$. Всего птиц: $4$ (утки) $+ 12$ (утят) $= 16$. Условие выполняется.

Ответ: 12 утят.

4.207. a) Кусок полотна длиной 124 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одной части была на 12 м больше, чем другой. Сколько метров полотна будет в каждой части?

б) Кусок лески длиной 16 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одной части была на 1 м больше, чем длина другой. Сколько метров лески будет в каждой части?

а)

Для решения задачи введем переменную. Пусть длина меньшей части полотна равна $x$ метров. По условию, другая часть на 12 м больше, значит, ее длина равна $(x + 12)$ метров. Сумма длин этих двух частей равна общей длине полотна — 124 м.

Составим и решим уравнение:

$x + (x + 12) = 124$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x + 12 = 124$

Перенесем 12 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 124 - 12$

$2x = 112$

Найдем $x$:

$x = 112 / 2$

$x = 56$

Таким образом, длина меньшей части полотна составляет 56 м.

Теперь найдем длину большей части:

$56 + 12 = 68$ (м)

Проверка: $56 + 68 = 124$ м. Все верно.

Ответ: 56 метров и 68 метров.

б)

Решим задачу аналогично предыдущей. Пусть длина меньшей части лески равна $y$ метров. Тогда длина большей части, которая на 1 м длиннее, будет $(y + 1)$ метров. Общая длина лески составляет 16 м.

Составим и решим уравнение:

$y + (y + 1) = 16$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2y + 1 = 16$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$2y = 16 - 1$

$2y = 15$

Найдем $y$:

$y = 15 / 2$

$y = 7,5$

Итак, длина меньшей части лески равна 7,5 м.

Найдем длину большей части:

$7,5 + 1 = 8,5$ (м)

Проверка: $7,5 + 8,5 = 16$ м. Все верно.

Ответ: 7,5 метров и 8,5 метров.

4.208. a) В школу привезли 690 столов и стульев. Стульев было на 230 больше, чем столов. Сколько столов и стульев в отдельности привезли в школу?

б) В соревнованиях по лыжам участвовали 53 человека. Девочек было на 17 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и девочек в отдельности участвовало в соревнованиях?

а)

Пусть $x$ — количество столов.
Поскольку стульев было на 230 больше, их количество равно $x + 230$.
Всего привезли 690 столов и стульев. Составим уравнение:
$x + (x + 230) = 690$
$2x + 230 = 690$
$2x = 690 - 230$
$2x = 460$
$x = 460 \div 2$
$x = 230$
Таким образом, в школу привезли 230 столов.
Теперь найдем количество стульев:
$230 + 230 = 460$ (стульев)

Проверка: $230 + 460 = 690$.
Ответ: в школу привезли 230 столов и 460 стульев.

б)

Пусть $y$ — количество мальчиков.
Поскольку девочек было на 17 меньше, их количество равно $y - 17$.
Всего в соревнованиях участвовало 53 человека. Составим уравнение:
$y + (y - 17) = 53$
$2y - 17 = 53$
$2y = 53 + 17$
$2y = 70$
$y = 70 \div 2$
$y = 35$
Таким образом, в соревнованиях участвовало 35 мальчиков.
Теперь найдем количество девочек:
$35 - 17 = 18$ (девочек)

Проверка: $35 + 18 = 53$.
Ответ: в соревнованиях участвовали 35 мальчиков и 18 девочек.

4.209. Двое должны поделить между собой 150 р. так, чтобы одному досталось на 40 р. больше, чем другому. Сколько достанется каждому?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это сумма, которая достанется первому человеку, а $y$ — сумма, которая достанется второму.

Исходя из условия, что общая сумма равна 150 рублям, мы можем составить первое уравнение:
$x + y = 150$

Также известно, что одному человеку досталось на 40 рублей больше, чем другому. Это означает, что разница между их суммами составляет 40 рублей. Составим второе уравнение:
$x - y = 40$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} x + y = 150 \\ x - y = 40 \end{cases}$

Чтобы найти $x$, можно сложить оба уравнения:
$(x + y) + (x - y) = 150 + 40$
$2x = 190$
$x = \frac{190}{2}$
$x = 95$

Итак, сумма одного человека составляет 95 рублей. Теперь найдем сумму второго человека, подставив значение $x$ в первое уравнение:
$95 + y = 150$
$y = 150 - 95$
$y = 55$

Сумма второго человека составляет 55 рублей. Проверим, что разница между суммами равна 40: $95 - 55 = 40$. Условие выполняется.

Ответ: одному достанется 95 рублей, а другому 55 рублей.

4.210. a) За конфеты заплатили в 3 раза больше, или на 60 р. больше, чем за печенье. Сколько заплатили за печенье?

б) За тетради заплатили в 4 раза больше, или на 72 р. больше, чем за линейки. Сколько заплатили за линейки?

а) Пусть $x$ р. — это стоимость, которую заплатили за печенье. Согласно условию, за конфеты заплатили в 3 раза больше, что составляет $3x$ р. Также известно, что за конфеты заплатили на 60 р. больше, что можно выразить как $x + 60$ р. Поскольку обе суммы представляют стоимость конфет, мы можем их приравнять и составить уравнение:
$3x = x + 60$
Вычтем $x$ из обеих частей уравнения, чтобы сгруппировать неизвестные члены:
$3x - x = 60$
$2x = 60$
Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = 60 / 2$
$x = 30$
Следовательно, за печенье заплатили 30 рублей.
Ответ: 30 р.

б) Пусть $y$ р. — это стоимость, которую заплатили за линейки. Согласно условию, за тетради заплатили в 4 раза больше, то есть $4y$ р. В то же время, за тетради заплатили на 72 р. больше, чем за линейки, то есть $y + 72$ р. Составим уравнение, приравняв эти два выражения:
$4y = y + 72$
Вычтем $y$ из обеих частей уравнения:
$4y - y = 72$
$3y = 72$
Найдем $y$, разделив обе части уравнения на 3:
$y = 72 / 3$
$y = 24$
Следовательно, за линейки заплатили 24 рубля.
Ответ: 24 р.