Страница 177 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.248. a) Сумма двух чисел равна 304, одно из них больше другого на 50. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел равна 760. Одно меньше другого на 98. Найдите эти числа.

а)

Пусть меньшее из двух чисел равно $x$. Согласно условию, второе число больше первого на 50, значит, оно равно $x + 50$. Сумма этих двух чисел равна 304. Составим уравнение на основе этих данных:

$x + (x + 50) = 304$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$. Сначала упростим левую часть:

$2x + 50 = 304$

Перенесем 50 в правую часть уравнения, изменив знак:

$2x = 304 - 50$

$2x = 254$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{254}{2}$

$x = 127$

Мы нашли меньшее число, оно равно 127. Теперь найдем второе, большее число:

$127 + 50 = 177$

Проверим, соответствуют ли найденные числа условиям задачи. Их сумма: $127 + 177 = 304$. Их разность: $177 - 127 = 50$. Условия выполнены.

Ответ: 127 и 177.

б)

Пусть большее из двух чисел равно $y$. По условию, второе число меньше первого на 98, следовательно, оно равно $y - 98$. Сумма этих двух чисел составляет 760. Составим уравнение:

$y + (y - 98) = 760$

Решим полученное уравнение. Упростим левую часть:

$2y - 98 = 760$

Перенесем -98 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2y = 760 + 98$

$2y = 858$

Найдем $y$, разделив обе части уравнения на 2:

$y = \frac{858}{2}$

$y = 429$

Мы нашли большее число, оно равно 429. Теперь найдем второе, меньшее число:

$429 - 98 = 331$

Проверим найденные числа. Их сумма: $429 + 331 = 760$. Их разность: $429 - 331 = 98$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 331 и 429.

4.249. Если собственную скорость лодки обозначить $x$ км/ч, а скорость течения — $y$ км/ч, то что можно найти, вычислив $x + y$; $x - y$?

Вычислив $x + y$;

По условию, $x$ км/ч — это собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде), а $y$ км/ч — это скорость течения реки.
Когда лодка движется по течению, её скорость складывается со скоростью течения. Результирующая скорость лодки относительно берега называется скоростью по течению. Она вычисляется по формуле:
$V_{\text{по течению}} = V_{\text{собственная}} + V_{\text{течения}}$
Подставляя заданные обозначения, получаем: $V_{\text{по течению}} = x + y$.
Следовательно, вычислив сумму $x + y$, можно найти скорость лодки, движущейся по течению.
Ответ: скорость лодки по течению.

$x - y$?

Когда лодка движется против течения, скорость течения вычитается из её собственной скорости, так как течение замедляет движение. Результирующая скорость лодки относительно берега называется скоростью против течения. Она вычисляется по формуле:
$V_{\text{против течения}} = V_{\text{собственная}} - V_{\text{течения}}$
Подставляя заданные обозначения, получаем: $V_{\text{против течения}} = x - y$.
Это возможно, только если собственная скорость лодки больше скорости течения ($x > y$), иначе лодка не сможет продвигаться вперед.
Следовательно, вычислив разность $x - y$, можно найти скорость лодки, движущейся против течения.
Ответ: скорость лодки против течения.

4.250. Если скорость лодки по течению $x$ км/ч, а скорость течения $y$ км/ч, то что такое $x-y$; $x-2y$?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_{с}$ — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде).
• $v_{теч}$ — скорость течения реки.
• $v_{по}$ — скорость лодки по течению.
• $v_{против}$ — скорость лодки против течения.

По условию задачи нам дано:

• $v_{по} = x$ км/ч
• $v_{теч} = y$ км/ч

Мы знаем, что скорость лодки по течению равна сумме её собственной скорости и скорости течения:

$v_{по} = v_{с} + v_{теч}$

А скорость лодки против течения равна разности её собственной скорости и скорости течения:

$v_{против} = v_{с} - v_{теч}$

Теперь проанализируем каждое выражение.

x − y
Подставим в это выражение известные нам значения. $x$ — это скорость по течению, а $y$ — скорость течения.Скорость по течению $x$ равна сумме собственной скорости лодки $v_{с}$ и скорости течения $y$. То есть, $x = v_{с} + y$.Теперь подставим это в искомое выражение:
$x - y = (v_{с} + y) - y = v_{с} + y - y = v_{с}$.
Таким образом, выражение $x - y$ — это собственная скорость лодки.
Ответ: собственная скорость лодки.

x − 2y
Воспользуемся результатами предыдущего пункта. Мы выяснили, что собственная скорость лодки $v_{с}$ равна $x - y$.Скорость лодки против течения $v_{против}$ вычисляется как разность собственной скорости лодки и скорости течения:
$v_{против} = v_{с} - v_{теч}$.
Подставим известные нам выражения: $v_{с} = x - y$ и $v_{теч} = y$.
$v_{против} = (x - y) - y = x - y - y = x - 2y$.
Следовательно, выражение $x - 2y$ — это скорость лодки против течения.
Ответ: скорость лодки против течения.

4.251. Если скорость лодки против течения $x$ км/ч, а скорость течения $y$ км/ч, то что такое $x+y$; $x+2y$?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_{собств}$ — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде).
• $v_{течения}$ — скорость течения реки.
• $v_{по}$ — скорость лодки по течению.
• $v_{против}$ — скорость лодки против течения.

Известно, что:

• Скорость против течения равна разности собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{против} = v_{собств} - v_{течения}$.
• Скорость по течению равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{по} = v_{собств} + v_{течения}$.

По условию задачи нам дано:

• $v_{против} = x$ км/ч.
• $v_{течения} = y$ км/ч.

Теперь найдем, что означают заданные выражения.

x + y

Мы знаем, что $v_{против} = v_{собств} - v_{течения}$. Подставим в эту формулу известные нам значения $x$ и $y$:
$x = v_{собств} - y$
Теперь выразим из этого уравнения собственную скорость лодки $v_{собств}$:
$v_{собств} = x + y$
Таким образом, выражение $x + y$ представляет собой собственную скорость лодки.

Ответ: собственная скорость лодки.

x + 2y

Мы ищем значение скорости лодки по течению $v_{по}$, которая равна $v_{собств} + v_{течения}$.
Из предыдущего пункта мы уже нашли, что собственная скорость лодки $v_{собств} = x + y$.
Скорость течения нам дана по условию: $v_{течения} = y$.
Подставим эти выражения в формулу для скорости по течению:
$v_{по} = (x + y) + y = x + 2y$
Следовательно, выражение $x + 2y$ представляет собой скорость лодки по течению.

Ответ: скорость лодки по течению.