Страница 182 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.264. Вырежите из бумаги «снежинку», имеющую восемь осей симметрии.

Чтобы вырезать из бумаги «снежинку», имеющую восемь осей симметрии, нужно выполнить следующую последовательность действий по сгибанию и вырезанию бумаги.

1. Подготовка листа. Начните с квадратного листа бумаги. Если у вас прямоугольный лист (например, A4), сделайте из него квадрат: согните один из углов так, чтобы короткая сторона легла ровно на длинную, и отрежьте лишнюю полоску бумаги.
2. Первое сгибание. Сложите квадрат по диагонали, чтобы получился равнобедренный треугольник. Линия сгиба станет одной из осей симметрии будущей снежинки.
3. Второе сгибание. Получившийся треугольник сложите ещё раз пополам, совместив его острые углы (концы гипотенузы). У вас получится треугольник вдвое меньшего размера. Если развернуть бумагу сейчас, у фигуры будет четыре оси симметрии.
4. Третье сгибание. Снова сложите получившийся треугольник пополам по его высоте (линии симметрии). В результате у вас получится узкий треугольный сектор. Вершина этого сектора, где сходятся все сгибы, станет центром снежинки. Угол при этой вершине составляет $22.5^\circ$, что равно $360^\circ / 16$.
5. Вырезание узора. Теперь можно вырезать узор. Наносите узоры на двух коротких сторонах получившейся заготовки (бывших катетах). Можно вырезать треугольники, полукруги или любые другие фигуры. Главное — не разрезайте заготовку полностью по линии сгиба и не отрезайте острый угол, который является центром, иначе снежинка распадется.
6. Разворачивание. Аккуратно разверните бумагу. Каждое разворачивание будет зеркально отображать вырезанный узор. В результате у вас получится симметричная снежинка с восемью осями симметрии.

Этот метод работает, потому что каждое из трёх сгибаний создаёт оси, относительно которых узор зеркально отражается. В итоге получается фигура, состоящая из 16 одинаковых секторов, которые образуют 8 пар зеркально-симметричных лучей. Оси симметрии проходят через центр снежинки под углом $45^\circ$ друг к другу.

Ответ: Чтобы вырезать снежинку с восемью осями симметрии, необходимо взять квадратный лист бумаги, последовательно сложить его три раза пополам (первый раз по диагонали, затем ещё два раза), вырезать узор на получившемся узком треугольнике, не затрагивая его центральную точку, и затем полностью развернуть.

4.265. Дан отрезок $AB$ и прямая $b$, не пересекающая этот отрезок. Постройте отрезок $MN$, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $b$.

Для того чтобы построить отрезок $MN$, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $b$, необходимо построить точки $M$ и $N$, которые являются симметричными отражениями конечных точек отрезка, $A$ и $B$ соответственно, относительно прямой $b$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки по следующему алгоритму:

1. Построение точки $M$, симметричной точке $A$ относительно прямой $b$.
   • Установим острие циркуля в точку $A$ и проведем дугу так, чтобы она пересекла прямую $b$ в двух точках. Обозначим их $P_1$ и $P_2$.
   • Из точек $P_1$ и $P_2$, как из центров, проведем две дуги одинакового радиуса (например, равного длине отрезка $AP_1$) на противоположной от точки $A$ стороне относительно прямой $b$.
   • Точка пересечения этих дуг и есть искомая точка $M$. По построению, прямая $b$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AM$, что означает, что точки $A$ и $M$ симметричны относительно прямой $b$.
2. Построение точки $N$, симметричной точке $B$ относительно прямой $b$.
   • Аналогично первому шагу, из точки $B$ проведем дугу, пересекающую прямую $b$ в двух точках, которые обозначим $Q_1$ и $Q_2$.
   • Из точек $Q_1$ и $Q_2$, как из центров, проведем две дуги одинакового радиуса на противоположной от точки $B$ стороне прямой $b$.
   • Точка пересечения этих дуг является искомой точкой $N$.
3. Построение отрезка $MN$.
   • С помощью линейки соединим полученные точки $M$ и $N$.

Полученный отрезок $MN$ является искомым отрезком, симметричным отрезку $AB$ относительно прямой $b$.

Ответ: Отрезок $MN$, построенный путем соединения точек $M$ и $N$, которые симметричны соответственно точкам $A$ и $B$ относительно прямой $b$, является искомым.

4.266. Дана прямая $b$ и отрезок $AB$, пересекающий эту прямую. Постройте отрезок $MN$, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $b$. Где лежит точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$? Как это объяснить?

Постройте отрезок MN, симметричный отрезку AB относительно прямой b.

Чтобы построить отрезок $MN$, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $b$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Построить точку $M$, симметричную точке $A$ относительно прямой $b$. Для этого из точки $A$ опускаем перпендикуляр на прямую $b$. Пусть $H_A$ — точка пересечения перпендикуляра с прямой $b$. На продолжении отрезка $AH_A$ за точку $H_A$ откладываем отрезок $H_A M$, равный по длине отрезку $AH_A$. Точка $M$ — искомая.

2. Построить точку $N$, симметричную точке $B$ относительно прямой $b$. Аналогично, из точки $B$ опускаем перпендикуляр на прямую $b$. Пусть $H_B$ — точка пересечения. На продолжении отрезка $BH_B$ за точку $H_B$ откладываем отрезок $H_B N$, равный по длине отрезку $BH_B$. Точка $N$ — искомая.

3. Соединить точки $M$ и $N$. Полученный отрезок $MN$ является симметричным отрезку $AB$ относительно прямой $b$.

Ответ: Построение отрезка $MN$ выполняется путем нахождения точек $M$ и $N$, симметричных точкам $A$ и $B$ относительно прямой $b$, и их последующего соединения.

Где лежит точка пересечения отрезков AB и MN? Как это объяснить?

Точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$ лежит на прямой $b$.

Это можно объяснить следующим образом:

По условию, отрезок $AB$ пересекает прямую $b$. Обозначим точку их пересечения буквой $P$. Таким образом, точка $P$ принадлежит одновременно и отрезку $AB$, и прямой $b$.

Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой $b$.

1. По определению осевой симметрии, любая точка, лежащая на оси симметрии (в данном случае на прямой $b$), при симметрии отображается сама на себя. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $b$, её образом является она сама.

2. Отрезок $MN$ по построению является образом отрезка $AB$ при симметрии относительно прямой $b$. Это означает, что образ любой точки, принадлежащей отрезку $AB$, должен принадлежать отрезку $MN$.

3. Так как точка $P$ принадлежит отрезку $AB$, её образ (то есть сама точка $P$) должен принадлежать образу отрезка $AB$, которым является отрезок $MN$.

4. Таким образом, мы установили, что точка $P$ принадлежит как отрезку $AB$, так и отрезку $MN$. Следовательно, $P$ является точкой их пересечения.

Поскольку точка $P$ по определению лежит на прямой $b$, то и точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$ лежит на прямой $b$.

Ответ: Точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$ лежит на прямой $b$. Это происходит потому, что точка пересечения отрезка $AB$ с осью симметрии $b$ является неподвижной при этой симметрии и, следовательно, принадлежит и симметричному отрезку $MN$.

4.267. Дан треугольник $ABC$ и прямая $b$, не пересекающая стороны этого треугольника. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $b$.

Для того чтобы построить треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $b$, необходимо для каждой вершины исходного треугольника ($A$, $B$ и $C$) построить симметричную ей точку ($A'$, $B'$ и $C'$) относительно прямой $b$. Соединив эти новые точки, мы получим искомый треугольник. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

Построение симметричной точки основано на том, что прямая $b$ является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему исходную точку и ее симметричный образ (например, отрезок $AA'$).

1. Построение точки $A'$, симметричной вершине $A$.
a) Установите острие циркуля в точку $A$ и начертите дугу, пересекающую прямую $b$ в двух точках. Назовем их $M_1$ и $M_2$.
b) Не меняя раствора циркуля (или установив новый, но одинаковый для обеих дуг), установите острие циркуля сначала в точку $M_1$, а затем в $M_2$ и начертите две дуги с той стороны от прямой $b$, где не лежит точка $A$.
c) Точка пересечения этих двух дуг является искомой точкой $A'$.

2. Построение точек $B'$ и $C'$, симметричных вершинам $B$ и $C$.
Аналогичным образом, выполняя действия из пункта 1, постройте точку $B'$, симметричную вершине $B$, и точку $C'$, симметричную вершине $C$.

3. Построение искомого треугольника $A'B'C'$.
С помощью линейки соедините отрезками построенные точки $A'$, $B'$ и $C'$.

Ответ: Треугольник $A'B'C'$, полученный в результате соединения точек $A'$, $B'$, $C'$, является искомым треугольником, симметричным треугольнику $ABC$ относительно прямой $b$. Так как осевая симметрия является движением, то полученный треугольник равен исходному: $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$.

4.268. Дан треугольник $ABC$ и прямая $b$, пересекающая стороны этого треугольника. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $b$.

Для построения треугольника, симметричного треугольнику $ABC$ относительно прямой $b$, необходимо построить точки $A'$, $B'$ и $C'$, которые симметричны вершинам $A$, $B$ и $C$ соответственно. Соединив эти новые точки, мы получим искомый треугольник $A'B'C'$.

Построение симметричной точки для каждой вершины (рассмотрим на примере вершины $A$) состоит из следующих шагов. Сначала нужно опустить перпендикуляр из точки $A$ на прямую $b$. Для этого с помощью циркуля и линейки выполняются следующие действия:
1. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности такого радиуса, чтобы она пересекла прямую $b$ в двух различных точках.
2. Из этих двух точек пересечения как из центров проводим две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния между ними) так, чтобы они пересеклись.
3. Прямая, проходящая через точку $A$ и точку пересечения этих дуг, будет перпендикулярна прямой $b$. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой $b$ как $H_A$.

Далее, на построенном перпендикуляре откладываем отрезок $H_A A'$, равный отрезку $AH_A$, на противоположной стороне от прямой $b$. Это можно сделать, измерив циркулем расстояние $AH_A$ и отложив его от точки $H_A$ вдоль перпендикуляра. Полученная точка $A'$ является симметричной точке $A$ относительно прямой $b$.

Аналогичные построения выполняются для вершин $B$ и $C$ для нахождения симметричных им точек $B'$ и $C'$.

После того как все три симметричные вершины $A'$, $B'$ и $C'$ найдены, их соединяют отрезками. Полученный треугольник $A'B'C'$ и будет искомым.

Ответ: Искомый треугольник $A'B'C'$ строится путем нахождения точек $A'$, $B'$, $C'$, симметричных вершинам $A, B, C$ исходного треугольника относительно прямой $b$, и их последующего соединения отрезками.

4.269. Дана прямая $b$ и окружность, пересекающая эту прямую. Постройте окружность, симметричную данной окружности относительно прямой $b$.

Для построения окружности, симметричной данной относительно прямой $b$, нужно использовать свойство осевой симметрии. Осевая симметрия — это движение, а значит, она сохраняет расстояния. Следовательно, образом окружности будет окружность того же радиуса, а её центр будет симметричен центру исходной окружности относительно прямой $b$.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и прямая $b$.

Построение

1. Построение центра $O'$ симметричной окружности.
   Точка $O'$ симметрична точке $O$ относительно прямой $b$. Чтобы её построить, выполним следующие шаги с помощью циркуля и линейки:
   • Выберем на прямой $b$ две произвольные различные точки, например, $P_1$ и $P_2$.
   • Поставим острие циркуля в точку $P_1$ и проведём дугу окружности радиусом, равным отрезку $P_1O$.
   • Поставим острие циркуля в точку $P_2$ и проведём дугу окружности радиусом, равным отрезку $P_2O$.
   • Эти дуги пересекутся в двух точках. Одна из них — это точка $O$. Вторая точка пересечения и есть искомый центр $O'$.
2. Определение радиуса искомой окружности.
   Радиус искомой окружности равен радиусу $R$ данной окружности. Измеряем радиус $R$ исходной окружности с помощью циркуля, установив его раствор равным расстоянию от центра $O$ до любой точки на окружности.
3. Построение искомой окружности.
   Устанавливаем острие циркуля в построенный центр $O'$, сохраняем раствор циркуля равным радиусу $R$ и чертим окружность.

Построенная окружность с центром в $O'$ и радиусом $R$ и является окружностью, симметричной данной относительно прямой $b$.

Ответ: Для построения искомой окружности нужно найти точку $O'$, симметричную центру $O$ данной окружности относительно прямой $b$, и построить окружность с центром в $O'$ и радиусом, равным радиусу данной окружности.

4.270. На плане (рис. 94) показана железная дорога и два города $A$ и $B$. Укажите место на железной дороге, где надо построить станцию $C$, чтобы суммарная длина дороги от $A$ до $C$ и от $C$ до $B$ была наименьшей.

a) б) Рис. 94

Чтобы найти на железной дороге место для станции $C$ так, чтобы суммарная длина дороги от $A$ до $C$ и от $C$ до $B$ ($AC + CB$) была наименьшей, необходимо рассмотреть два случая, представленные на рисунке.

В этом случае города $A$ и $B$ расположены по разные стороны от железной дороги. Пусть железная дорога является прямой линией. Согласно аксиоме геометрии, кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая линия, соединяющая эти точки.

Рассмотрим три точки: $A$, $B$ и любую точку $C$ на железной дороге. Эти точки образуют треугольник $ABC$, для которого справедливо неравенство треугольника: $AC + CB \ge AB$.

Сумма длин $AC + CB$ будет наименьшей, когда она будет равна длине отрезка $AB$. Это возможно только в том случае, если точка $C$ лежит на отрезке $AB$.

Таким образом, для минимизации суммарного расстояния станция $C$ должна находиться в точке пересечения отрезка $AB$ и линии железной дороги.

Ответ: Станцию $C$ нужно построить в точке пересечения отрезка, соединяющего города $A$ и $B$, с линией железной дороги.

В этом случае города $A$ и $B$ расположены по одну сторону от железной дороги. Прямое соединение точек $A$ и $B$ не пересекает железную дорогу.

Для решения этой задачи используется метод осевой симметрии. Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой, на которой лежит железная дорога. По определению симметрии, для любой точки $C$ на железной дороге будет выполняться равенство $AC = A'C$.

Тогда задачу минимизации суммы $AC + CB$ можно свести к задаче минимизации равной ей суммы $A'C + CB$.

Точки $A'$ и $B$ теперь находятся по разные стороны от железной дороги, и эта задача сводится к предыдущему случаю (а). Сумма расстояний $A'C + CB$ будет минимальной, когда точки $A'$, $C$ и $B$ будут лежать на одной прямой.

Следовательно, оптимальное место для станции $C$ — это точка пересечения отрезка $A'B$ с линией железной дороги.

Ответ: Нужно построить точку $A'$, симметричную городу $A$ относительно линии железной дороги. Затем соединить точку $A'$ с городом $B$. Станцию $C$ следует строить в точке пересечения этого отрезка ($A'B$) с линией железной дороги.

4.271. В жаркий день медвежонок направился из своего дома ($A$) в гости к ослику ($B$), но сначала решил подойти к реке попить воды. Укажите кратчайший путь от $A$ до $B$ с заходом к реке (рис. 95).

Рис. 95

Для нахождения кратчайшего пути от дома медвежонка (точка A) до дома ослика (точка B) с заходом к реке, необходимо использовать метод геометрического отражения. Этот метод позволяет свести задачу о нахождении кратчайшего пути с заходом на прямую к более простой задаче о нахождении кратчайшего расстояния между двумя точками.

Построение и обоснование кратчайшего пути выглядит следующим образом:

1. Отразим одну из точек, например, дом медвежонка (точку A), симметрично относительно прямой, изображающей реку. Получим новую точку, которую назовем A'. Для этого нужно из точки A опустить перпендикуляр на прямую-реку и продлить его на такое же расстояние по другую сторону от реки.
2. Соединим прямой линией полученную точку A' и дом ослика (точку B).
3. Точка, в которой отрезок A'B пересекает реку, и будет тем местом, куда медвежонку нужно подойти, чтобы попить воды. Обозначим эту точку как P.
4. Искомый кратчайший путь — это ломаная линия APB.

Этот путь является кратчайшим, потому что длина любого пути от A до B с заходом к реке в точке P равна сумме длин отрезков $AP + PB$. По свойству осевой симметрии, расстояние от любой точки на оси симметрии (реке) до исходной точки (A) и до ее отражения (A') одинаково. Следовательно, $AP = A'P$.

Таким образом, длина нашего пути равна $A'P + PB$. Эта сумма будет минимальной, когда точки A', P и B лежат на одной прямой, так как кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая линия. Наше построение как раз и обеспечивает это условие. Любая другая точка P' на реке даст путь $AP' + P'B = A'P' + P'B$, который, согласно неравенству треугольника для треугольника A'P'B, будет длиннее, чем отрезок $A'B = A'P + PB$.

Ответ: Кратчайший путь — это ломаная линия, состоящая из двух отрезков: от точки A до точки P на реке и от точки P до точки B. Точка P находится как точка пересечения прямой-реки и отрезка A'B, где A' — точка, симметричная точке A относительно прямой-реки.

4.272. Другой раз медвежонок направился из дома (A) в гости к ослику (B), но сначала решил подойти к реке попить воды, а потом поесть малины. Укажите кратчайший путь от $A$ до $B$ с заходом к реке и к кустам малины (рис. 96).

Рис. 95

Рис. 96

кусты малины

Для решения этой задачи и нахождения кратчайшего пути используется метод геометрических преобразований, а именно осевая симметрия (отражение). Идея заключается в том, чтобы "распрямить" ломаный маршрут медвежонка в один прямой отрезок, так как кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая.

Пусть $A$ — это дом медвежонка, а $B$ — дом ослика. Река представляет собой горизонтальную прямую, а кусты малины — вертикальную прямую. Медвежонку нужно сначала дойти до некоторой точки $C$ на реке, чтобы попить, а затем до точки $D$ у кустов малины, чтобы поесть, и только после этого отправиться в точку $B$. Длина его пути $L$ будет равна сумме длин трех отрезков: $L = AC + CD + DB$. Задача состоит в том, чтобы найти такие точки $C$ и $D$ на соответствующих прямых, при которых длина пути $L$ будет минимальной.

Шаг 1. Отражение начальной точки относительно реки

Отразим точку $A$ симметрично относительно прямой, изображающей реку. Назовем полученную точку $A'$. По свойству осевой симметрии, для любой точки $C$, лежащей на прямой реки, расстояние от $A$ до $C$ равно расстоянию от $A'$ до $C$, то есть $AC = A'C$. Теперь длина всего маршрута может быть записана как $L = A'C + CD + DB$. Нам нужно минимизировать длину этой новой ломаной $A' \to C \to D \to B$.

Шаг 2. Отражение конечной точки относительно кустов малины

Теперь отразим точку $B$ симметрично относительно прямой, изображающей кусты малины. Назовем полученную точку $B'$. Аналогично первому шагу, для любой точки $D$, лежащей на прямой с кустами малины, расстояние $DB$ равно расстоянию $DB'$. Подставив это в наше выражение для длины, получим: $L = A'C + CD + DB'$. Эта сумма представляет собой длину ломаной линии, соединяющей точки $A'$, $C$, $D$ и $B'$.

Шаг 3. Построение кратчайшего пути

Длина ломаной линии между двумя точками ($A'$ и $B'$) минимальна, когда все ее промежуточные вершины ($C$ и $D$) лежат на отрезке прямой, соединяющем эти две точки. Следовательно, чтобы минимизировать $L$, точки $C$ и $D$ должны лежать на отрезке $A'B'$.

Таким образом, для построения кратчайшего пути необходимо выполнить следующие действия:
1. Построить точку $A'$, симметричную точке $A$ (дом) относительно прямой реки.
2. Построить точку $B'$, симметричную точке $B$ (дом ослика) относительно прямой, на которой растут кусты малины.
3. Соединить точки $A'$ и $B'$ отрезком прямой.
4. Точка $C$, где отрезок $A'B'$ пересекает прямую реки, — это место, где медвежонку нужно подойти к воде.
5. Точка $D$, где отрезок $A'B'$ пересекает прямую кустов малины, — это место, где нужно поесть малины.
6. Искомый кратчайший путь — это ломаная линия, состоящая из отрезков $AC$, $CD$ и $DB$.

Ответ: Кратчайший путь от $A$ до $B$ с заходом к реке и к кустам малины — это ломаная линия $ACDB$. Для ее построения нужно: 1) отразить точку $A$ относительно прямой реки, получив точку $A'$; 2) отразить точку $B$ относительно прямой кустов малины, получив точку $B'$; 3) соединить $A'$ и $B'$ отрезком. Точка $C$ (на реке) и точка $D$ (у кустов малины) будут точками пересечения отрезка $A'B'$ с соответствующими прямыми.