Номер 4.270, страница 182 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 4. Фигуры на плоскости, симметричные относительно прямой. Глава 4. Рациональные числа - номер 4.270, страница 182.

Условие.

4.270. На плане (рис. 94) показана железная дорога и два города $A$ и $B$. Укажите место на железной дороге, где надо построить станцию $C$, чтобы суммарная длина дороги от $A$ до $C$ и от $C$ до $B$ была наименьшей.

a) б) Рис. 94

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти на железной дороге место для станции $C$ так, чтобы суммарная длина дороги от $A$ до $C$ и от $C$ до $B$ ($AC + CB$) была наименьшей, необходимо рассмотреть два случая, представленные на рисунке.

a)

В этом случае города $A$ и $B$ расположены по разные стороны от железной дороги. Пусть железная дорога является прямой линией. Согласно аксиоме геометрии, кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая линия, соединяющая эти точки.

Рассмотрим три точки: $A$, $B$ и любую точку $C$ на железной дороге. Эти точки образуют треугольник $ABC$, для которого справедливо неравенство треугольника: $AC + CB \ge AB$.

Сумма длин $AC + CB$ будет наименьшей, когда она будет равна длине отрезка $AB$. Это возможно только в том случае, если точка $C$ лежит на отрезке $AB$.

Таким образом, для минимизации суммарного расстояния станция $C$ должна находиться в точке пересечения отрезка $AB$ и линии железной дороги.

Ответ: Станцию $C$ нужно построить в точке пересечения отрезка, соединяющего города $A$ и $B$, с линией железной дороги.

б)

В этом случае города $A$ и $B$ расположены по одну сторону от железной дороги. Прямое соединение точек $A$ и $B$ не пересекает железную дорогу.

Для решения этой задачи используется метод осевой симметрии. Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой, на которой лежит железная дорога. По определению симметрии, для любой точки $C$ на железной дороге будет выполняться равенство $AC = A'C$.

Тогда задачу минимизации суммы $AC + CB$ можно свести к задаче минимизации равной ей суммы $A'C + CB$.

Точки $A'$ и $B$ теперь находятся по разные стороны от железной дороги, и эта задача сводится к предыдущему случаю (а). Сумма расстояний $A'C + CB$ будет минимальной, когда точки $A'$, $C$ и $B$ будут лежать на одной прямой.

Следовательно, оптимальное место для станции $C$ — это точка пересечения отрезка $A'B$ с линией железной дороги.

Ответ: Нужно построить точку $A'$, симметричную городу $A$ относительно линии железной дороги. Затем соединить точку $A'$ с городом $B$. Станцию $C$ следует строить в точке пересечения этого отрезка ($A'B$) с линией железной дороги.