Номер 4.272, страница 182 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 4. Фигуры на плоскости, симметричные относительно прямой. Глава 4. Рациональные числа - номер 4.272, страница 182.

Условие.

4.272. Другой раз медвежонок направился из дома (A) в гости к ослику (B), но сначала решил подойти к реке попить воды, а потом поесть малины. Укажите кратчайший путь от $A$ до $B$ с заходом к реке и к кустам малины (рис. 96).

Рис. 95

Рис. 96

кусты малины

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи и нахождения кратчайшего пути используется метод геометрических преобразований, а именно осевая симметрия (отражение). Идея заключается в том, чтобы "распрямить" ломаный маршрут медвежонка в один прямой отрезок, так как кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая.

Пусть $A$ — это дом медвежонка, а $B$ — дом ослика. Река представляет собой горизонтальную прямую, а кусты малины — вертикальную прямую. Медвежонку нужно сначала дойти до некоторой точки $C$ на реке, чтобы попить, а затем до точки $D$ у кустов малины, чтобы поесть, и только после этого отправиться в точку $B$. Длина его пути $L$ будет равна сумме длин трех отрезков: $L = AC + CD + DB$. Задача состоит в том, чтобы найти такие точки $C$ и $D$ на соответствующих прямых, при которых длина пути $L$ будет минимальной.

Шаг 1. Отражение начальной точки относительно реки

Отразим точку $A$ симметрично относительно прямой, изображающей реку. Назовем полученную точку $A'$. По свойству осевой симметрии, для любой точки $C$, лежащей на прямой реки, расстояние от $A$ до $C$ равно расстоянию от $A'$ до $C$, то есть $AC = A'C$. Теперь длина всего маршрута может быть записана как $L = A'C + CD + DB$. Нам нужно минимизировать длину этой новой ломаной $A' \to C \to D \to B$.

Шаг 2. Отражение конечной точки относительно кустов малины

Теперь отразим точку $B$ симметрично относительно прямой, изображающей кусты малины. Назовем полученную точку $B'$. Аналогично первому шагу, для любой точки $D$, лежащей на прямой с кустами малины, расстояние $DB$ равно расстоянию $DB'$. Подставив это в наше выражение для длины, получим: $L = A'C + CD + DB'$. Эта сумма представляет собой длину ломаной линии, соединяющей точки $A'$, $C$, $D$ и $B'$.

Шаг 3. Построение кратчайшего пути

Длина ломаной линии между двумя точками ($A'$ и $B'$) минимальна, когда все ее промежуточные вершины ($C$ и $D$) лежат на отрезке прямой, соединяющем эти две точки. Следовательно, чтобы минимизировать $L$, точки $C$ и $D$ должны лежать на отрезке $A'B'$.

Таким образом, для построения кратчайшего пути необходимо выполнить следующие действия:
1. Построить точку $A'$, симметричную точке $A$ (дом) относительно прямой реки.
2. Построить точку $B'$, симметричную точке $B$ (дом ослика) относительно прямой, на которой растут кусты малины.
3. Соединить точки $A'$ и $B'$ отрезком прямой.
4. Точка $C$, где отрезок $A'B'$ пересекает прямую реки, — это место, где медвежонку нужно подойти к воде.
5. Точка $D$, где отрезок $A'B'$ пересекает прямую кустов малины, — это место, где нужно поесть малины.
6. Искомый кратчайший путь — это ломаная линия, состоящая из отрезков $AC$, $CD$ и $DB$.

Ответ: Кратчайший путь от $A$ до $B$ с заходом к реке и к кустам малины — это ломаная линия $ACDB$. Для ее построения нужно: 1) отразить точку $A$ относительно прямой реки, получив точку $A'$; 2) отразить точку $B$ относительно прямой кустов малины, получив точку $B'$; 3) соединить $A'$ и $B'$ отрезком. Точка $C$ (на реке) и точка $D$ (у кустов малины) будут точками пересечения отрезка $A'B'$ с соответствующими прямыми.